Wektory równoległe z parametrem - u = [m − 1, 2] i v = [6, m + 3]

Szkoła średnia średnie

Dane są wektory $\vec{u} = [m - 1,\ 2]$ i $\vec{v} = [6,\ m + 3]$ .

a) Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$ , dla których wektory są równoległe.

b) Dla której z tych wartości wektory mają zgodne zwroty?

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek równoległości. Wektory $[u_1, u_2]$ i $[v_1, v_2]$ są równoległe, gdy $u_1 v_2 - u_2 v_1 = 0$ :

$(m - 1)(m + 3) - 2 \cdot 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 + 2m - 3 - 12 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m^2 + 2m - 15 = 0.$

Krok 2. Rozwiązanie równania. $\Delta = 4 + 60 = 64$ , $\sqrt{\Delta} = 8$ :

$m = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \qquad\text{lub}\qquad m = \frac{-2 + 8}{2} = 3.$

Krok 3. Zwroty.

$m = 3$ : $\vec{u} = [2, 2]$ , $\vec{v} = [6, 6] = 3\,\vec{u}$ - współczynnik dodatni, zwroty zgodne.
$m = -5$ : $\vec{u} = [-6, 2]$ , $\vec{v} = [6, -2] = -\vec{u}$ - współczynnik ujemny, zwroty przeciwne (wektory są przeciwne).

Odpowiedź. a) $m = 3$ lub $m = -5$ . b) Zgodne zwroty dla $m = 3$ (wtedy $\vec{v} = 3\vec{u}$ ).