Współliniowość punktów wektorami - czy A, B, C leżą na jednej prostej i w jakim stosunku B dzieli AC

Krok 1. Wektory zaczepione w $A$.

$\overrightarrow{AB} = [3, -2], \qquad \overrightarrow{AC} = [9, -6].$

Krok 2. Warunek równoległości.

$3 \cdot (-6) - (-2) \cdot 9 = -18 + 18 = 0.$

Wektory są równoległe i mają wspólny początek $A$, więc punkty $A$, $B$, $C$ leżą na jednej prostej.

Krok 3. Stosunek. $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$, więc $|AB|$ to jedna trzecia $|AC|$, a $|BC|$ - dwie trzecie. Współczynnik $3$ jest dodatni, zatem $B$ leży między $A$ i $C$ i

$|AB| : |BC| = 1 : 2.$

Kontrola długości: $|AB| = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$, $|BC| = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Krok 4. Parametr $m$. $\overrightarrow{AD} = [m + 2,\ 4]$ musi być równoległy do $\overrightarrow{AB} = [3, -2]$:

$3 \cdot 4 - (-2)(m + 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad 12 + 2m + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = -8.$

Kontrola: $\overrightarrow{AD} = [-6, 4] = -2\,\overrightarrow{AB}$ - punkt $D$ leży na prostej $AB$, po przeciwnej stronie punktu $A$ niż $B$.

Odpowiedź. a) Punkty są współliniowe, $B$ dzieli $AC$ w stosunku $|AB| : |BC| = 1 : 2$. b) $m = -8$.