Brakujący koniec odcinka z punktu podziału - P = (2, 3) dzieli AB w stosunku 1 : 3

Krok 1. Zależność wektorów. Odcinek ma $1 + 3 = 4$ części, z czego $3$ przypadają na $PB$. Zatem $\overrightarrow{PB} = \frac{3}{4}\,\overrightarrow{AB}$, czyli

$\overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}\,\overrightarrow{PB}.$

Krok 2. Rachunek.

$\overrightarrow{PB} = [11 - 2,\ 0 - 3] = [9, -3], \qquad \overrightarrow{AB} = \frac{4}{3}[9, -3] = [12, -4].$

Krok 3. Punkt $A$. Skoro $B = A + \overrightarrow{AB}$, to

$A = B - \overrightarrow{AB} = (11 - 12,\ 0 - (-4)) = (-1, 4).$

Krok 4. Kontrola wzorem na podział. Dla $|AP| : |PB| = 1 : 3$ waga punktu $B$ to $1$, punktu $A$ - $3$:

$P = \left(\frac{3 \cdot (-1) + 1 \cdot 11}{4},\ \frac{3 \cdot 4 + 1 \cdot 0}{4}\right) = \left(\frac{8}{4},\ \frac{12}{4}\right) = (2, 3).$

Zgadza się. Dodatkowo $\overrightarrow{AP} = [3, -1]$, a $\overrightarrow{PB} = [9, -3] = 3\,\overrightarrow{AP}$.

Odpowiedź. $A = (-1, 4)$.