Dwusieczna kąta trójkąta w układzie współrzędnych - punkt na boku z twierdzenia o dwusiecznej

Krok 1. Twierdzenie o dwusiecznej. Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwległy bok na odcinki proporcjonalne do boków przyległych:

$|BD| : |DC| = |AB| : |AC|.$

Krok 2. Długości boków przy $A$.

$|AB| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, \qquad |AC| = \sqrt{15^2 + 0^2} = 15.$

Zatem $|BD| : |DC| = 5 : 15 = 1 : 3$.

Krok 3. Punkt $D$. $D$ dzieli odcinek $BC$ w stosunku $1 : 3$, więc $\overrightarrow{BD} = \frac{1}{4}\,\overrightarrow{BC}$:

$\overrightarrow{BC} = [12, -4], \qquad \overrightarrow{BD} = [3, -1], \qquad D = (1 + 3,\ 5 - 1) = (4, 4).$

Krok 4. Równanie dwusiecznej $AD$. Współczynnik kierunkowy:

$a = \frac{4 - 1}{4 - (-2)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}, \qquad 1 = \frac{1}{2} \cdot (-2) + b \ \Longrightarrow\ b = 2.$

Krok 5. Kontrola kierunku. Kierunek dwusiecznej to suma wektorów jednostkowych wzdłuż boków $AB$ i $AC$:

$\frac{1}{5}[3, 4] + \frac{1}{15}[15, 0] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right] + [1, 0] = \left[\frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right] = \frac{4}{5}[2, 1].$

Wektor $[2, 1]$ ma nachylenie $\frac{1}{2}$ - zgodnie z krokiem 4.

Odpowiedź. $D = (4, 4)$, dwusieczna: $y = \frac{1}{2}x + 2$.