Trzeci wierzchołek trójkąta ze środka ciężkości G = (1, 2) i długość środkowej

Szkoła średnia trudne

Wierzchołki trójkąta $ABC$ to $A = (-4, -1)$ i $B = (4, 1)$ , a jego środkiem ciężkości jest punkt $G = (1, 2)$ . Wyznacz wierzchołek $C$ oraz długość środkowej poprowadzonej z wierzchołka $C$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Wzór na środek ciężkości. $G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$ , więc $C = 3G - A - B$ , osobno dla każdej współrzędnej:

$x_C = 3 \cdot 1 - (-4) - 4 = 3, \qquad y_C = 3 \cdot 2 - (-1) - 1 = 6.$

Zatem $C = (3, 6)$ .

Krok 2. Środek boku $AB$ .

$M = \left(\frac{-4 + 4}{2},\ \frac{-1 + 1}{2}\right) = (0, 0).$

Krok 3. Długość środkowej $CM$ .

$|CM| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}.$

Środkowa CM, gdzie M = (0, 0) jest środkiem boku AB. Środek ciężkości G = (1, 2) dzieli ją w stosunku 2 : 1 licząc od wierzchołka C.

Krok 4. Kontrola podziału $2 : 1$ . $\overrightarrow{CM} = [-3, -6]$ , a $C + \frac{2}{3}\overrightarrow{CM} = (3 - 2,\ 6 - 4) = (1, 2) = G$ . Rzeczywiście $|CG| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$ i $|GM| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ .

Odpowiedź. $C = (3, 6)$ , środkowa z wierzchołka $C$ ma długość $3\sqrt{5}$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →