Punkt dzielący odcinek w stosunku 2 : 3 - A = (−3, 4), B = (7, −1)

Krok 1. Jaką część odcinka stanowi $AP$. Odcinek dzielimy na $2 + 3 = 5$ równych części, z czego $2$ przypadają na $AP$. Zatem

$\overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}\,\overrightarrow{AB}.$

Krok 2. Wektor $\overrightarrow{AB}$ i jego część.

$\overrightarrow{AB} = [7 - (-3),\ -1 - 4] = [10, -5], \qquad \overrightarrow{AP} = \frac{2}{5}[10, -5] = [4, -2].$

Krok 3. Punkt $P$.

$P = A + \overrightarrow{AP} = (-3 + 4,\ 4 - 2) = (1, 2).$

Krok 4. To samo ze wzoru. Waga punktu $B$ to $m = 2$, waga punktu $A$ to $n = 3$:

$P = \left(\frac{3 \cdot (-3) + 2 \cdot 7}{5},\ \frac{3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1)}{5}\right) = \left(\frac{5}{5},\ \frac{10}{5}\right) = (1, 2).$

Krok 5. Kontrola. $\overrightarrow{AP} = [4, -2]$ i $\overrightarrow{PB} = [6, -3]$. Oba wektory są wielokrotnościami $[2, -1]$ (odpowiednio $2$ i $3$ razy), więc leżą na jednej prostej, mają zgodny zwrot i długości w stosunku $2 : 3$.

Odpowiedź. $P = (1, 2)$.