Matura próbna grudzień 2023 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Wykładnik $\frac{2}{5} = 0{,}4$. Mnożąc potęgi o tej samej podstawie, dodajemy wykładniki, a potęgę potęgi liczymy, mnożąc je:

$$\left(3^{-2{,}4 + 0{,}4}\right)^{\frac{1}{2}} = \left(3^{-2}\right)^{\frac{1}{2}} = 3^{-1} = \frac{1}{3}.$$

Odpowiedź B to $3^{-\frac{1}{2}}$, czyli liczba z innym wykładnikiem niż $-1$. Odpowiedź D ($0{,}3$) kusi tylko z wyglądu: $\frac{1}{3} \ne 0{,}3$.

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z zapisu jako jednej potęgi.

Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu:

$$\log_2 96 - \log_2 3 = \log_2 \frac{96}{3} = \log_2 32 = 5, \qquad\text{bo } 2^5 = 32.$$

Pułapka A: odejmowanie liczb logarytmowanych ($96 - 3 = 93$) - takiego prawa nie ma.

Odpowiedź: D. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z praw logarytmów.

Odsetki od bieżącego kapitału to procent składany: po dwóch latach kwota rośnie $1{,}05^2 = 1{,}1025$ razy.

$$K \cdot 1{,}1025 = 4851 \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{4851}{1{,}1025} = 4400.$$

Sprawdzenie: $4400 \cdot 1{,}05 = 4620$ zł po roku i $4620 \cdot 1{,}05 = 4851$ zł po dwóch latach. Przy procencie prostym ($4400 \cdot 1{,}1 = 4840$ zł) kwota się nie zgadza - stąd ważne słowa „od kwoty bieżącego kapitału”.

Odpowiedź: B. Zobacz: procent składany, lokaty i kredyty oraz zadania o lokatach.

Zaznaczony jest przedział otwarty $(-3, 7)$. Jego środek to $\frac{-3 + 7}{2} = 2$, a połowa długości $\frac{7 - (-3)}{2} = 5$. To dokładnie liczby, których odległość od $2$ jest mniejsza niż $5$:

$$|x - 2| < 5 \iff -5 < x - 2 < 5 \iff -3 < x < 7.$$

Nierówność ostra odpowiada pustym kółkom na końcach. Odpowiedź B opisuje dopełnienie tego przedziału (dwie półproste), a C i D zamieniają środek z promieniem.

Odpowiedź: A. Zobacz: interpretacja geometryczna wartości bezwzględnej oraz zadania z wartości bezwzględnej.

Sposób I - rozkład na czynniki. Trójmian rozkłada się na iloczyn:

$$3n^2 + 4n + 1 = (3n + 1)(n + 1).$$

(Sprawdzenie: $(3n + 1)(n + 1) = 3n^2 + 3n + n + 1$.) Gdy $n$ jest nieparzysta, to $n + 1$ jest parzysta, a $3n$ jest nieparzysta, więc $3n + 1$ też jest parzysta. Iloczyn dwóch liczb parzystych dzieli się przez $2 \cdot 2 = 4$.

Sposób II - podstawienie. Liczba nieparzysta ma postać $n = 2k + 1$, gdzie $k$ jest całkowite:

$$3(2k + 1)^2 + 4(2k + 1) + 1 = 12k^2 + 12k + 3 + 8k + 4 + 1 = 12k^2 + 20k + 8 = 4\left(3k^2 + 5k + 2\right).$$

Liczba $3k^2 + 5k + 2$ jest całkowita, więc całe wyrażenie jest wielokrotnością $4$. To kończy dowód.

Sprawdzenie kilku liczb ($n = 1$ daje $8$, $n = 3$ daje $40$) nie jest dowodem - trzeba pokazać, że teza działa dla każdej nieparzystej $n$.

Odpowiedź: $3n^2 + 4n + 1 = 4\left(3k^2 + 5k + 2\right)$ dla $n = 2k + 1$, więc liczba dzieli się przez $4$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z wyłączania czynnika przed nawias.

Z pierwszego równania $x = 3y - 5$. Podstawiamy do drugiego:

$$2(3y - 5) + y + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad 7y - 7 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 1, \quad x = -2.$$

Sprawdzenie: $-2 - 3 + 5 = 0$ i $-4 + 1 + 3 = 0$. Para z odpowiedzi A spełnia tylko pierwsze równanie, a B - tylko drugie; dlatego zawsze sprawdzaj oba.

Odpowiedź: C. Zobacz: metoda podstawiania oraz zadania z metody podstawiania.

Rozkładamy wszystko na czynniki: $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$, $x^2 + 2x = x(x + 2)$, $2x + 6 = 2(x + 3)$.

$$\frac{x + 3}{(x + 2)^2} \cdot \frac{x(x + 2)}{2(x + 3)} = \frac{x}{2(x + 2)} = \frac{x}{2x + 4}.$$

Skracają się $x + 3$ i jeden czynnik $x + 2$ - drugi zostaje w mianowniku. Odpowiedź A to wynik skrócenia obu nawiasów $(x + 2)$. Kontrola dla $x = 1$: $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{1}{6}$ oraz $\frac{1}{6}$ z odpowiedzi C.

Odpowiedź: C. Zobacz: mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych oraz zadania z mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych.

Zapis $W(x) = (x + 1) \cdot Q(x)$ oznacza, że $W$ dzieli się przez $x + 1$, czyli (twierdzenie Bézouta) $W(-1) = 0$:

$$W(-1) = -3 \cdot (-1) - 1 - k + 1 = 3 - k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = 3.$$

Pułapka B: błąd znaku przy potędze nieparzystej. Kto przyjmie $(-1)^3 = 1$, dostaje $-3 - 1 - k + 1 = 0$, czyli $k = -3$. Tymczasem $-3 \cdot (-1)^3 = -3 \cdot (-1) = 3$.

Odpowiedź: D. Zobacz: twierdzenie Bézouta oraz zadania z twierdzenia Bézouta.

Krok 1. Wszystko na jedną stronę: $2x^3 + 3x^2 - 10x - 15 = 0$.

Krok 2. Grupowanie wyrazów.

$$x^2(2x + 3) - 5(2x + 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad (2x + 3)\left(x^2 - 5\right) = 0.$$

Krok 3. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$2x + 3 = 0 \;\Longrightarrow\; x = -\frac{3}{2}, \qquad x^2 = 5 \;\Longrightarrow\; x = -\sqrt{5} \;\text{ lub }\; x = \sqrt{5}.$$

Najczęstszy błąd to podzielenie obu stron przez $2x + 3$ (albo przez $x$) bez rozpatrzenia, czy ten czynnik może być zerem - tak gubi się rozwiązanie $x = -\frac{3}{2}$. Drugi to zapisanie z $x^2 = 5$ tylko $x = \sqrt{5}$.

Odpowiedź: $x = -\frac{3}{2}$, $x = -\sqrt{5}$, $x = \sqrt{5}$. Zobacz: równania wielomianowe oraz zadania z równań wielomianowych.

Stwierdzenie 1. $f(4) = -\frac{4}{6} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{3} + \frac{2}{3} = 0$. Prawda.

Stwierdzenie 2. Wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, f(0)) = \left(0, \frac{2}{3}\right)$ - wyraz wolny, nie współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{6}$. Fałsz.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: funkcja liniowa - wykres i miejsce zerowe oraz zadania o miejscu zerowym funkcji liniowej.

Odczyt z wykresu. Parabola ma ramiona skierowane w górę, wierzchołek $W = (4, -2)$, miejsca zerowe $2$ i $6$ oraz przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 6)$.

11.1. Ramiona w górę, więc najmniejsza wartość to $y_W = -2$, a większe wartości są przyjmowane bez ograniczeń: $[-2, +\infty)$. Odpowiedź D bierze pierwszą współrzędną wierzchołka zamiast drugiej. Odpowiedź: C.

11.2. Parabola jest pod osią $Ox$ między miejscami zerowymi, a w samych punktach $2$ i $6$ funkcja ma wartość $0$, która nie jest ujemna. Odpowiedź: $(2, 6)$.

11.3. Postać iloczynowa ma czynniki $(x - 2)(x - 6)$, a postać kanoniczna $(x - 4)^2 - 2$; trzeba jeszcze współczynnika $a$. Z punktu $(0, 6)$: $a \cdot (0 - 2)(0 - 6) = 12a = 6$, więc $a = \frac{1}{2}$. Pasują A oraz B (kontrola: $\frac{1}{2}(0 - 4)^2 - 2 = 8 - 2 = 6$). Wzór C ma dobre miejsca zerowe, ale daje $f(0) = 24$; D, E i F mają złe znaki w nawiasach (wierzchołek lub miejsca zerowe po ujemnej stronie osi). Odpowiedź: A oraz B.

11.4. Wykres $y = f(x + 1)$ to wykres $f$ przesunięty o $1$ w lewo: wierzchołek $(4 - 1, -2) = (3, -2)$, miejsca zerowe $1$ i $5$. Tak wygląda rysunek B. Rysunek A to przesunięcie w prawo (wierzchołek $(5, -2)$), a C i D przesuwają wykres w pionie. Odpowiedź: B.

Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej, miejsca zerowe i postać iloczynowa, przesunięcie wzdłuż osi Ox oraz zadania z wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej.

Podstawiamy $x = 20$: wykładnik to $-0{,}05 \cdot 20 = -1$, więc

$$T(20) = 78 \cdot 2^{-1} + 22 = 39 + 22 = 61.$$

Pułapka B: samo $78 \cdot 2^{-1} = 39$ bez dodania temperatury otoczenia $22$. Odpowiedź A to temperatura, do której napar dąży po bardzo długim czasie.

Odpowiedź: D. Zobacz: zastosowania funkcji wykładniczej oraz zadania z zastosowań funkcji wykładniczej.

Różnica ciągu: $r = a_3 - a_2 = 5$. Od trzeciego do szóstego wyrazu są trzy kroki:

$$a_6 = a_3 + 3r = 9 + 15 = 24.$$

Odpowiedź B ($9 + 4 \cdot 5$) to siódmy wyraz - jeden krok za dużo. Odpowiedź C traktuje ciąg tak, jakby wyrazami były kwadraty ($a_2 = 2^2$, $a_3 = 3^2$, więc $a_6 = 6^2$), ale ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągu arytmetycznego.

Stwierdzenie 1. Suma jednego wyrazu to sam pierwszy wyraz: $a_1 = S_1 = 4 \cdot (2 - 1) = 4$. Prawda.

Stwierdzenie 2. $S_2 = 4 \cdot (4 - 1) = 12$ to suma dwóch wyrazów, więc $a_2 = S_2 - S_1 = 12 - 4 = 8$. Fałsz - liczba $12$ to suma, a nie drugi wyraz.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: suma ciągu geometrycznego oraz zadania o wyrazach ciągu.

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiadów:

$$12^2 = 48(1 - 2a) \quad\Longrightarrow\quad 1 - 2a = 3 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$$

Sprawdzenie: ciąg $(3, 12, 48)$ ma iloraz $4$. Pułapka D: warunek ciągu arytmetycznego$2 \cdot 12 = (1 - 2a) + 48$ daje właśnie $a = 12{,}5$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Jeśli drugie ramię kąta przechodzi przez punkt $(x, y)$ i $r = \sqrt{x^2 + y^2}$, to $\operatorname{tg} = \frac{y}{x}$ oraz $\cos = \frac{x}{r}$.

16.1. Tangens ujemny przy kącie z przedziału $(0^\circ, 180^\circ)$ oznacza kąt rozwarty, czyli punkt z $x < 0$ i $y > 0$. Potrzebujemy $\frac{y}{x} = -\frac{2}{3}$: to punkt $B = (-3, 2)$. Pułapka: $A = (-2, 3)$ daje $\operatorname{tg} = -\frac{3}{2}$ - odwrócony ułamek. Rysunek B.

16.2. Cosinus dodatni - kąt ostry, więc $x > 0$. Dla $D = (1, 3)$: $r = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$ i $\cos\beta = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Pułapki: $F = (3, 1)$ ma ten sam promień, ale cosinus $\frac{3}{\sqrt{10}}$, a $E = (-1, 3)$ ma cosinus $-\frac{1}{\sqrt{10}}$. Rysunek D.

Odpowiedź: 16.1 - B, 16.2 - D. Zobacz: funkcje trygonometryczne dowolnego kąta oraz zadania z funkcji dowolnego kąta.

Z jedynki trygonometrycznej: $\cos^2\alpha = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$, a kąt jest ostry, więc $\cos\alpha = \frac{2}{3}$. Stąd

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\sqrt{5}}{3} : \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{5}}{2}.$$

Odpowiedź B to cosinus, a C to $\frac{2}{\sqrt{5}}$, czyli odwrotność tangensa (cotangens).

Odpowiedź: A. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania ze związków między funkcjami trygonometrycznymi.

Współczynniki kierunkowe prostych prostopadłych mnożą się do $-1$: $a_k = -\frac{2}{3}$. Prosta $y = -\frac{2}{3}x + b$ ma przechodzić przez $(6, 0)$:

$$0 = -\frac{2}{3} \cdot 6 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 4.$$

Pułapka B: wpisanie $6$ jako wyrazu wolnego - ale punkt $(6, 0)$ leży na osi $Ox$, nie $Oy$.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z prostych prostopadłych.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

$$2m - 1 = -\frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2m = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{1}{4}.$$

Wyrazy wolne są różne ($-7 \ne 13$), więc proste się nie pokrywają. Odpowiedź A przyrównuje do $-\frac{1}{2}$ samo $m$, a nie cały współczynnik $2m - 1$; odpowiedź C daje proste prostopadłe ($2m - 1 = 2$).

Odpowiedź: B. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z prostych równoległych.

Okrąg styczny do osi $Ox$ ma promień równy odległości środka od tej osi: $r = |-2| = 2$. Równanie okręgu o środku $(4, -2)$:

$$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2^2 = 4.$$

Pułapki: po prawej stronie stoi $r^2$, nie $r$ (odpowiedź B), a współrzędne środka wchodzą do nawiasów ze zmienionym znakiem (C i D mają środek $(-4, 2)$).

Odpowiedź: A. Zobacz: równanie okręgu oraz zadania z równania okręgu.

Bok trójkąta to odcinek $KL$:

$$|KL| = \sqrt{(-1 + 7)^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$

Pole trójkąta równobocznego o boku $a$:

$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{72\sqrt{3}}{4} = 18\sqrt{3}.$$

Położenie trzeciego wierzchołka $M$ nie jest potrzebne - wystarczy długość boku.

Odpowiedź: D. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych oraz zadania z długości odcinka.

Krok 1. Kąt między styczną a cięciwą jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej cięciwie, a kąt środkowy jest dwa razy większy: $\angle AOB = 2 \cdot 32^\circ = 64^\circ$.

Inaczej: promień $OA$ jest prostopadły do stycznej, więc $\angle OAB = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$. Trójkąt $AOB$ jest równoramienny ($|OA| = |OB|$), więc $\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot 58^\circ = 64^\circ$.

Krok 2. $A$, $O$, $C$ leżą na jednej prostej (średnica), więc kąty $AOB$ i $BOC$ dają razem $180^\circ$:

$$\angle BOC = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ.$$

Odpowiedź A to $180^\circ - 32^\circ$ - pominięte podwojenie kąta.

Odpowiedź: B. Zobacz: styczna i sieczna oraz zadania z kątów w okręgu.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym w połowie. W trójkącie prostokątnym o wierzchołku $A$, środku rombu i wierzchołku $B$: połowa przekątnej $AC$ to $6$, a połowa przekątnej $BD$ leży naprzeciw kąta $30^\circ$:

$$\frac{|BD|}{2} = 6 \cdot \operatorname{tg}30^\circ = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}, \qquad |BD| = 4\sqrt{3}.$$

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych:

$$P = \frac{12 \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}.$$

Kontrola: bok $a = \frac{6}{\cos 30^\circ} = 4\sqrt{3}$, kąt rombu przy $A$ to $60^\circ$, więc $P = a^2 \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$. Odpowiedź A gubi $\sqrt{3}$.

Odpowiedź: C. Zobacz: pole równoległoboku i rombu oraz zadania z równoległoboku i rombu.

Krok 1. Trójkąty podobne. Kąty $DAB$ i $DCB$ są wpisane i oparte na tym samym łuku $DB$, więc są równe; tak samo kąty $ADC$ i $ABC$ (oparte na łuku $AC$). Trójkąty $APD$ i $CPB$ mają więc równe kąty, czyli są podobne:

$$\frac{|PA|}{|PC|} = \frac{|PD|}{|PB|} \quad\Longleftrightarrow\quad |PA| \cdot |PB| = |PC| \cdot |PD|.$$

To znane twierdzenie o cięciwach przecinających się wewnątrz okręgu.

Krok 2. Długość $PA$.

$$|PA| \cdot 4 = 8 \cdot 5 \quad\Longrightarrow\quad |PA| = 10.$$

Krok 3. Promień. Średnica $|AB| = |PA| + |PB| = 10 + 4 = 14$, więc $r = 7$.

Pułapka: dobranie odcinków „na krzyż” w złej kolejności ($|PA| \cdot |PC| = |PB| \cdot |PD|$ daje $|PA| = 2{,}5$). W iloczynach stoją zawsze dwa kawałki tej samej cięciwy.

Odpowiedź: $r = 7$. Zobacz: okrąg i prosta oraz zadania o stycznej i siecznej.

Ściany sześcianu tworzą trzy pary ścian równoległych odległych o $5$. Punkt leżący między dwiema równoległymi ścianami ma od nich odległości, które sumują się do $5$ - na przykład w układzie współrzędnych z sześcianem $[0, 5]^3$ i punktem $(x, y, z)$ mamy $x + (5 - x) = 5$, tak samo dla $y$ i $z$. Razem:

$$3 \cdot 5 = 15,$$

niezależnie od położenia punktu $P$. Odpowiedź D ($6 \cdot 5$) przyjmuje, że od każdej ściany odległość wynosi $5$.

Odpowiedź: A. Zobacz: prostopadłość prostych i płaszczyzn oraz zadania z graniastosłupów.

Krok 1. Trójkąt z kątem $\alpha$. Niech $a$ - krawędź podstawy, $H$ - wysokość ostrosłupa, $h$ - wysokość ściany bocznej. Trójkąt prostokątny tworzą $H$, połowa krawędzi podstawy $\frac{a}{2}$ i $h$ (przeciwprostokątna). Z tangensa:

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \frac{4}{3} \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{2a}{3}.$$

Krok 2. Objętość.

$$V = \frac{1}{3}a^2 H = \frac{1}{3}a^2 \cdot \frac{2a}{3} = \frac{2a^3}{9} = 384 \quad\Longrightarrow\quad a^3 = 1728 \quad\Longrightarrow\quad a = 12.$$

Stąd $H = 8$ i $\frac{a}{2} = 6$.

Krok 3. Wysokość ściany bocznej z twierdzenia Pitagorasa:

$$h = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{100} = 10.$$

Szybciej: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$ oznacza trójkąt o bokach w stosunku $3 : 4 : 5$, czyli $\frac{a}{2} = 3k$, $H = 4k$, $h = 5k$. Wtedy $V = \frac{1}{3}(6k)^2 \cdot 4k = 48k^3 = 384$, więc $k = 2$ i $h = 10$. Pułapka: w trójkącie z kątem $\alpha$ leży połowa krawędzi podstawy, a nie połowa przekątnej - ta byłaby potrzebna dla kąta nachylenia krawędzi bocznej.

Odpowiedź: $h = 10$. Zobacz: ostrosłupy oraz zadania z ostrosłupów.

Krok 1. Trzy pierwsze cyfry. Jeśli pierwsza cyfra to $c$, kolejne to $c - 3$ i $c - 6$. Najmniejsza musi być cyfrą: $c - 6 \ge 0$, więc $c \in \{6, 7, 8, 9\}$. Są cztery możliwe początki:

$$(6, 3, 0), \quad (7, 4, 1), \quad (8, 5, 2), \quad (9, 6, 3).$$

W każdym trzy cyfry są różne.

Krok 2. Trzy ostatnie cyfry. Muszą być różne od siebie i od trzech już użytych. Zostaje $10 - 3 = 7$ cyfr: czwarta pozycja ma $7$ możliwości, piąta $6$, szósta $5$:

$$7 \cdot 6 \cdot 5 = 210.$$

Krok 3. Reguła mnożenia.

$$4 \cdot 210 = 840.$$

Pułapki: dopuszczenie powtórzeń na końcu ($4 \cdot 10^3 = 4000$) albo pominięcie początku $(6, 3, 0)$ z zerem - zero może stać na trzecim miejscu, bo numer i tak zaczyna się od $6$.

Odpowiedź: $840$ numerów. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z wariacji.

Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy oba czynniki są nieparzyste. Wyników jest $6 \cdot 6 = 36$, a par z dwiema liczbami nieparzystymi ($1$, $3$, $5$) - $3 \cdot 3 = 9$:

$$P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}.$$

Odpowiedź D to prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego (iloczyn parzysty), a A - tego, że nieparzysta wypadnie w jednym rzucie.

Odpowiedź: C. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

29.1. Normę spełniają jabłka o masie $19$, $20$ i $21$ dag: $8 + 17 + 11 = 36$ sztuk. Każde z $50$ jabłek ma tę samą szansę wylosowania:

$$P = \frac{36}{50} = \frac{18}{25}.$$

Pułapka A: $\frac{3}{7}$ to „trzy masy z siedmiu” - ale mas nie losujemy, losujemy jabłka, a mas o różnej liczebności nie wolno traktować jednakowo. Odpowiedź: C.

29.2. Dominanta to wartość występująca najczęściej - najwyższy słupek, $17$ jabłek o masie $20$ dag. Uzasadnienie 1 opisuje maksimum ($23$ dag), a 2 nie ma związku z dominantą (przypadkiem też wskazuje $20$ dag, ale to nie jest definicja). Odpowiedź: A3.