Matura 2020 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Zamiast podstawiać do każdego wyrazu osobno, zauważamy wzór skróconego mnożenia: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$. Dla $x = \sqrt{3} + 3$:

$$(x - 3)^2 = \left(\sqrt{3}\right)^2 = 3.$$

Odpowiedzi C i D powstają przy rachunkowych błędach w rozwijaniu $(\sqrt{3} + 3)^2$ - na przykład przy zgubieniu podwojonego iloczynu albo znaku.

Odpowiedź: B. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z obliczania wartości wyrażeń.

Mianownik rozkładamy na te same podstawy: $36 = 2^2 \cdot 3^2$, więc $36^{10} = 2^{20} \cdot 3^{20}$. Dzielimy potęgi o tej samej podstawie, odejmując wykładniki:

$$\frac{2^{50} \cdot 3^{40}}{2^{20} \cdot 3^{20}} = 2^{30} \cdot 3^{20}.$$

Odpowiedzi A i B łączą potęgi o różnych podstawach, czego prawa działań na potęgach nie pozwalają (można mnożyć potęgi o różnych podstawach tylko przy równych wykładnikach).

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku naturalnym oraz zadania z praw działań na potęgach.

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę piątki: $\sqrt{125} = \left(5^3\right)^{1/2} = 5^{3/2}$. Stąd

$$\log_5 5^{3/2} = \frac{3}{2}.$$

Pułapka to odpowiedź C - to $\log_5 125$, bez pierwiastka. Odpowiedź A odwraca ułamek.

Odpowiedź: D. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów z definicji.

Po obniżce $y = 0{,}8x$, więc $x = \frac{y}{0{,}8} = 1{,}25y$. Trzeba podnieść cenę $y$ o $25\%$.

Pułapka to odpowiedź B: podwyżka liczy się od nowej, niższej ceny, więc te same $20\%$ nie wystarczą. Przykład: $100$ zł po obniżce to $80$ zł, a $80$ zł podniesione o $20\%$ daje tylko $96$ zł.

Odpowiedź: A. Zobacz: procenty oraz zadania z podwyżek i obniżek.

Wymnażamy nawiasy i porządkujemy:

$$3 - 3x > 6x - 2 - 12x \quad\Longrightarrow\quad 3 - 3x > -6x - 2 \quad\Longrightarrow\quad 3x > -5 \quad\Longrightarrow\quad x > -\frac{5}{3}.$$

Odpowiedź D ma ten sam koniec przedziału, ale zły kierunek - tak wychodzi przy pomyłce znaku podczas przenoszenia wyrazów na drugą stronę.

Odpowiedź: A. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik: $x = 0$, $x = 3$ lub $x = -2$. Suma rozwiązań:

$$0 + 3 + (-2) = 1.$$

Rozwiązania odczytujemy z czynników ze zmienionym znakiem: z $x - 3$ wychodzi $3$, a z $x + 2$ wychodzi $-2$. Odwrócenie znaków ($-3$ i $2$) dałoby sumę $-1$, której nie ma wśród odpowiedzi - to dobry sygnał kontrolny.

Odpowiedź: B. Zobacz: równania wielomianowe.

Wierzchołek $W = (2, 1)$ leży na wykresie, więc $f(2) = 1$:

$$a(2 - 1)(2 - 3) = -a = 1 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$$

Zgadza się to z rysunkiem: ramiona paraboli są skierowane w dół, więc $a < 0$ - odpadają A i B. Kontrola: $f(0) = -1 \cdot (-1) \cdot (-3) = -3$, i tak przecina oś $Oy$ wykres na rysunku.

Odpowiedź: D. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa oraz zadania z wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej.

Ramiona paraboli są skierowane w dół, a odcięta wierzchołka $x = 2$ należy do przedziału $\langle 1, 4\rangle$, więc największą wartością jest druga współrzędna wierzchołka: $f(2) = 1$. Na końcach przedziału wartości są mniejsze: $f(1) = 0$ i $f(4) = -1 \cdot 3 \cdot 1 = -3$.

Pułapka to odpowiedź D - odcięta wierzchołka zamiast wartości. Odpowiedź A to wartość na prawym końcu, czyli najmniejsza wartość w tym przedziale.

Odpowiedź: C. Zobacz: wartości funkcji kwadratowej w przedziale.

Oś symetrii to pionowa prosta przez wierzchołek $W = (2, 1)$, czyli $x = 2$ - leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi $1$ i $3$. Odpowiedź C to prosta pozioma przez wierzchołek, a A przechodzi przez miejsce zerowe.

Odpowiedź: B. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Przenosimy wszystko na lewą stronę i wyłączamy wspólny czynnik $(x - 2)$:

$$x(x - 2) - (x - 2)^2 = (x - 2)\big(x - (x - 2)\big) = 2(x - 2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$$

Pułapka to odpowiedź A: po podzieleniu obu stron przez $x - 2$ wychodzi $x = x - 2$, czyli sprzeczność. Ale dzielić przez $x - 2$ wolno tylko przy $x \ne 2$ - a właśnie $x = 2$ jest rozwiązaniem ($0 = 0$).

Odpowiedź: B. Zobacz: równania kwadratowe.

Znak $a$. Funkcja jest malejąca, więc $a < 0$.

Znak $b$. Wykres przecina oś $Oy$ powyżej zera (w punkcie $(0, 1)$), więc $b = f(0) > 0$.

Iloczyn liczby ujemnej i dodatniej jest ujemny: $a \cdot b < 0$. Z rysunku można odczytać nawet więcej: prosta przechodzi przez $(0, 1)$ i $(1, -1)$, czyli $f(x) = -2x + 1$. Wtedy $a + b = f(1) = -1 < 0$, więc odpowiedzi A i B są fałszywe.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z monotoniczności funkcji liniowej.

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = 4^{-1/2} + 1 = \frac{1}{\sqrt{4}} + 1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}.$$

Pułapki: A gubi dodanie jedynki, C bierze $4^{1/2} = 2$ bez minusa w wykładniku, a D liczy $4^2 + 1$.

Odpowiedź: B. Zobacz: własności funkcji wykładniczej oraz potęga o wykładniku wymiernym.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m - 2 = \frac{3}{4} \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{11}{4}.$$

Pułapka to odpowiedź A - odjęcie dwójki zamiast dodania ($m = \frac{3}{4} - 2$). Odpowiedź B ($\frac{2}{3}$) to warunek prostopadłości ($m - 2 = -\frac{4}{3}$), a D ($\frac{10}{3}$) - pomylenie współczynnika z jego odwrotnością ($m - 2 = \frac{4}{3}$).

Odpowiedź: C. Zobacz: zadania o prostych równoległych.

Liczymy oba wyrazy ze wzoru ogólnego:

$$a_5 - a_4 = 2 \cdot 25 - 2 \cdot 16 = 50 - 32 = 18.$$

Ten ciąg nie jest arytmetyczny, więc różnica kolejnych wyrazów zależy od $n$. Nie można więc przyjąć jednej „stałej różnicy” - trzeba policzyć oba wyrazy. Krócej: $a_5 - a_4 = 2\left(5^2 - 4^2\right) = 2 \cdot 9 = 18$.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg liczbowy oraz zadania o wyrazach ciągu.

Cofamy się od czwartego wyrazu o trzy kroki: $a_1 = a_4 - 3r = 3 - 15 = -12$. Wyrazy to $-12, -7, -2, 3$, a ich suma

$$S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = \frac{-12 + 3}{2} \cdot 4 = -18.$$

Częsty błąd to $a_1 = a_4 - 4r$ - o jeden krok za dużo; od $a_4$ do $a_1$ są trzy kroki. Kontrola: wyrazy $-12, -7, -2, 3$ rzeczywiście różnią się o $5$.

Odpowiedź: C. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego oraz zadania z sumy ciągu arytmetycznego.

Podstawiamy współrzędne punktu: $f\left(\frac{1}{3}\right) = -1$, czyli

$$3 \cdot \frac{1}{3} + b = -1 \quad\Longrightarrow\quad 1 + b = -1 \quad\Longrightarrow\quad b = -2.$$

Pułapka to odpowiedź C - przepisanie drugiej współrzędnej punktu jako $b$; to byłoby poprawne tylko dla punktu leżącego na osi $Oy$.

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcja liniowa - wykres i miejsce zerowe.

Krok 1. Kąt $AOC$. Na rysunku odcinki $AD$ i $BC$ przechodzą przez środek $O$ (to średnice), więc kąty $DOC$ i $AOC$ są przyległe:

$$|\angle AOC| = 180° - 118° = 62°.$$

Krok 2. Kąt wpisany. Kąt wpisany $ABC$ i kąt środkowy $AOC$ są oparte na tym samym łuku $AC$, więc kąt wpisany jest dwa razy mniejszy: $|\angle ABC| = 31°$.

Pułapki: A ($59°$) to połowa kąta $118°$ - ale kąt $DOC$ jest oparty na innym łuku; C ($62°$) to kąt środkowy $AOC$ bez dzielenia przez $2$.

Odpowiedź: D. Zobacz: koła i kąty oraz zadania z kątów w okręgu.

Współczynnik kierunkowy:

$$a = \frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \frac{8}{-4} = -2.$$

Wyraz wolny z punktu $A$: $-2 = -2 \cdot 3 + b$, więc $b = 4$. Kontrola punktem $B$: $-2 \cdot (-1) + 4 = 6$ - zgadza się. Odpowiedzi C i D mają dodatni współczynnik, czyli błąd znaku w ilorazie różnic.

Odpowiedź: A. Zobacz: zadania z prostej przez dwa punkty.

Przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ leży naprzeciw kąta $\beta$. Dlatego oba stosunki są równe: $\cos\alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}} = \sin\beta$ (to samo daje wzór $\sin\beta = \sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$). Stąd

$$2\cos\alpha - \sin\beta = 2\cos\alpha - \cos\alpha = \cos\alpha.$$

Kontrola na liczbach: w trójkącie o bokach $3$ (przy kącie $\alpha$), $4$ i $5$ mamy $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ i $\sin\beta = \frac{3}{5}$, więc wyrażenie jest równe $\frac{6}{5} - \frac{3}{5} = \frac{3}{5} = \cos\alpha$.

Odpowiedź: B. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania o związkach między funkcjami.

W symetrii względem punktu $(0, 0)$ obie współrzędne zmieniają znak: $B = (3, -5)$. Wtedy

$$|AB| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}.$$

Pułapka to odpowiedź C - to odległość punktu $A$ od początku układu, czyli tylko połowa odcinka $AB$.

Odpowiedź: A. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych oraz zadania o odległości i środku odcinka.

Cyfrę dziesiątek wybieramy na $5$ sposobów, a cyfrę jedności - na $4$ sposoby (bez powtórzenia). Zera w zbiorze nie ma, więc każda para daje liczbę dwucyfrową:

$$5 \cdot 4 = 20.$$

Pułapki: D ($25$) dopuszcza powtórzenia cyfr, a A ($10$) nie rozróżnia kolejności (traktuje $13$ i $31$ jak tę samą liczbę).

Odpowiedź: C. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z wariacji.

Oznaczmy $|AB| = a$, $|AD| = h$, więc $ah = 90$. Z proporcji $|AP| = \frac{3}{5}a$ i $|CR| = \frac{3}{5}a$.

Czworokąt $APCR$ ma dwa boki $AP$ i $RC$ równoległe (leżą na przeciwległych bokach prostokąta) i równej długości - to równoległobok o podstawie $\frac{3}{5}a$ i wysokości $h$:

$$P_{APCR} = \frac{3}{5}a \cdot h = \frac{3}{5} \cdot 90 = 54.$$

Inaczej: od prostokąta odejmujemy dwa przystające trójkąty prostokątne $PBC$ i $RDA$, każdy o polu $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5}a \cdot h = 18$, i zostaje $90 - 36 = 54$. Pułapka to odpowiedź A ($36$) - pole tych dwóch trójkątów, a nie czworokąta.

Odpowiedź: C. Zobacz: pole prostokąta i równoległoboku oraz zadania z pól czworokątów.

Mediana drugiego zestawu. Porządkujemy: $2, 3, 5, 6, 8$ - środkowa liczba to $5$.

Mediana pierwszego zestawu. Zestaw $2, 3, a, 8$ jest już uporządkowany i ma parzystą liczbę danych, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{3 + a}{2} = 5 \quad\Longrightarrow\quad a = 7.$$

Pułapka: B ($6$) to środkowa liczba drugiego zestawu bez uporządkowania ($5, 3, 6, 8, 2$), a C ($5$) zakłada, że $a$ samo jest medianą.

Odpowiedź: A. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa oraz zadania z mediany.

Przekątna sześcianu o krawędzi $a$ ma długość $a\sqrt{3}$, więc $a = 4$. Sześcian ma sześć ścian kwadratowych:

$$P = 6a^2 = 6 \cdot 16 = 96.$$

Pułapka: $4\sqrt{3}$ to przekątna sześcianu, nie ściany, więc korzystamy z $a\sqrt{3}$, a nie z $a\sqrt{2}$. Odpowiedź C ($192$) to podwojony wynik, a B i D zostawiają pierwiastek z przekątnej. Kontrola: przy $a = 4$ przekątna ma długość $\sqrt{16 + 16 + 16} = 4\sqrt{3}$.

Odpowiedź: A. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z pola powierzchni.

Objętość stożka to $\frac{1}{3}\pi r^2 H$. Oba stożki mają tę samą podstawę, więc ich objętości są w tym samym stosunku co wysokości - stożek wyższy ma objętość

$$V_1 = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \text{ cm}^3, \qquad V = 18 + 12 = 30 \text{ cm}^3.$$

Pułapki: A ($20$) bierze stosunek odwrotnie ($\frac{2}{3} \cdot 12 = 8$), a C i D traktują stożki jak bryły podobne i podnoszą stosunek wysokości do potęgi - ale tu promienie są równe, więc stożki nie są podobne.

Odpowiedź: B. Zobacz: stożek oraz zadania ze stożka.

Krok 1. Wspólny czynnik. Przenosimy wszystko na lewą stronę i wyłączamy $(x - 1)$:

$$2(x - 1)(x + 3) - (x - 1) > 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)(2x + 6 - 1) > 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 1)(2x + 5) > 0.$$

Krok 2. Pierwiastki i szkic. Pierwiastki to $x = 1$ i $x = -\frac{5}{2}$. Po wymnożeniu współczynnik przy $x^2$ jest równy $2 > 0$, więc parabola ma ramiona w górę i jest dodatnia na zewnątrz przedziału między pierwiastkami.

Pułapka: nie wolno dzielić obu stron przez $x - 1$ - ten czynnik może być ujemny (wtedy zmienia się kierunek nierówności) albo równy zeru. Po takim dzieleniu zostaje $2(x + 3) > 1$, czyli tylko część rozwiązania.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right) \cup (1, +\infty)$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z nierówności kwadratowych.

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś czynnik jest zerem:

$$x^2 - 1 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -1 \;\text{ lub }\; x = 1,$$

$$x^2 - 2x = x(x - 2) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \;\text{ lub }\; x = 2.$$

Typowy błąd to podzielenie równania $x^2 - 2x = 0$ przez $x$ - ginie wtedy rozwiązanie $x = 0$. Drugi - zapisanie z $x^2 = 1$ tylko $x = 1$.

Odpowiedź: $x = -1$, $x = 0$, $x = 1$, $x = 2$. Zobacz: równania wielomianowe oraz zadania z równań wielomianowych.

Krok 1. Przekształcamy. Wymnażamy nawias i wydzielamy kwadrat różnicy:

$$a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a - b)^2 + b^2.$$

Krok 2. Wniosek. Liczby $a$ i $b$ są różne, więc $a - b \ne 0$ i $(a - b)^2 > 0$. Do tego $b^2 \ge 0$. Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia, więc $a(a - 2b) + 2b^2 > 0$. To kończy dowód.

Założenie $a \ne b$ jest potrzebne: dla $a = b = 0$ wyrażenie jest równe $0$, więc nierówność ostra by nie zachodziła. Sprawdzenie kilku par liczb nie jest dowodem.

Odpowiedź: $a(a - 2b) + 2b^2 = (a - b)^2 + b^2 > 0$ dla $a \ne b$. Zobacz: dowodzenie nierówności - zadania.

Oznaczmy długość boku trójkąta przez $a$.

Krok 1. Odcinek $CE$. Wysokość trójkąta równobocznego to $|CD| = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, więc

$$|CE| = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{8}.$$

Krok 2. Trójkąt $CFE$. Jest prostokątny (kąt prosty przy $F$). Wysokość $CD$ jest też dwusieczną kąta $ACB$, więc $|\angle FCE| = 30°$. Bok $CF$ jest przyprostokątną przy tym kącie:

$$|CF| = |CE| \cdot \cos 30° = \frac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9a}{16}.$$

Krok 3. Wniosek. $|CB| = a$, więc $|CF| = \frac{9}{16}|CB|$. To kończy dowód.

(Można też skorzystać z podobieństwa trójkątów $CFE$ i $CDB$ - oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy $C$, więc $\frac{|CF|}{|CE|} = \frac{|CD|}{|CB|}$.)

Odpowiedź: $|CF| = |CE|\cos 30° = \frac{9}{16}|CB|$. Zobacz: wysokości i środkowe w trójkącie oraz trygonometria kąta ostrego.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Dwa rzuty to pary uporządkowane: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$.

Krok 2. Zdarzenie przeciwne. „Co najmniej raz piątka” jest przeciwne do „ani razu piątki”. W każdym rzucie jest wtedy $5$ możliwości, więc $|A'| = 5 \cdot 5 = 25$ i

$$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}.$$

Kontrola wprost: piątka w pierwszym rzucie to $6$ par, w drugim - $6$ par, para $(5, 5)$ jest liczona dwa razy, więc $|A| = 6 + 6 - 1 = 11$. Typowy błąd to wynik $\frac{12}{36}$ - podwójnie policzona para $(5, 5)$.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{11}{36}$. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

Kąt jest ostry, więc $\cos\alpha > 0$ i można podzielić każdy wyraz licznika przez $\cos\alpha$:

$$\frac{2\sin\alpha}{\cos\alpha} + \frac{3\cos\alpha}{\cos\alpha} = 2\,\mathrm{tg}\,\alpha + 3 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}.$$

Typowy błąd to „skrócenie” $\cos\alpha$ tylko z jednym składnikiem i zapis $2\sin\alpha + 3 = 4$.

Odpowiedź: $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{1}{2}$. Zobacz: tożsamości trygonometryczne oraz zadania o związkach między funkcjami.

Przekątne kwadratu są prostopadłe i przecinają się w połowie. Punkt przecięcia $S$ jest więc rzutem punktu $A$ na prostą $BD$.

Krok 1. Prosta $AC$. Jest prostopadła do $y = \frac{4}{3}x$, więc ma współczynnik $-\frac{3}{4}$. Przechodzi przez $A$:

$$-\frac{5}{3} = -\frac{3}{4} \cdot 5 + b \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{15}{4} - \frac{5}{3} = \frac{25}{12}, \qquad y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}.$$

Krok 2. Punkt przecięcia przekątnych.

$$\frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12} \quad\Big|\cdot 12 \quad\Longrightarrow\quad 16x = -9x + 25 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \quad y = \frac{4}{3}.$$

Krok 3. Połowa przekątnej.

$$|AS| = \sqrt{(5 - 1)^2 + \left(-\frac{5}{3} - \frac{4}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$$

Krok 4. Pole. Przekątna kwadratu ma długość $d = 2 \cdot 5 = 10$, a pole kwadratu to $\frac{d^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$.

Częsty błąd to policzenie pola jako $|AS|^2 = 25$ albo $d^2 = 100$ - $|AS|$ to połowa przekątnej, nie bok.

Odpowiedź: przekątne przecinają się w punkcie $\left(1, \frac{4}{3}\right)$, pole kwadratu wynosi $50$. Zobacz: równanie kierunkowe prostej oraz zadania z figur w układzie współrzędnych.

Krok 1. Równanie z ilorazem. Podstawiamy $a_2 = a_1 q$ i $a_3 = a_1 q^2$:

$$6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_1\left(q^2 - 5q + 6\right) = 0.$$

Krok 2. Rozwiązujemy. Wyrazy są dodatnie, więc $a_1 \ne 0$ i możemy podzielić przez $a_1$:

$$q^2 - 5q + 6 = (q - 2)(q - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = 2 \;\text{ lub }\; q = 3.$$

Krok 3. Wybór z przedziału. $2\sqrt{2} = \sqrt{8} \approx 2{,}83$ i $3\sqrt{2} = \sqrt{18} \approx 4{,}24$. Liczba $2 = \sqrt{4}$ jest mniejsza od $\sqrt{8}$, więc odpada; $3 = \sqrt{9}$ leży między $\sqrt{8}$ i $\sqrt{18}$. Porównywanie pierwiastków najpewniej zrobić po podniesieniu do kwadratu, bez kalkulatora.

Odpowiedź: $q = 3$. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Oznaczmy: $a$ - krawędź podstawy, $H$ - wysokość ostrosłupa, $O$ - środek kwadratu $ABCD$.

Krok 1. Kąt nachylenia ściany. Kąt między ścianą boczną a podstawą leży w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $H$ i $\frac{a}{2}$ (od środka podstawy do środka krawędzi podstawy). Zatem

$$\mathrm{tg}\,\beta = \frac{H}{\frac{a}{2}} = \sqrt{7} \quad\Longrightarrow\quad H = \frac{a\sqrt{7}}{2}.$$

Krok 2. Krawędź boczna. Krawędź $SC$ jest przeciwprostokątną trójkąta $SOC$, gdzie $|OC|$ to połowa przekątnej kwadratu, $\frac{a\sqrt{2}}{2}$:

$$H^2 + \frac{a^2}{2} = 36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{7a^2}{4} + \frac{2a^2}{4} = 36 \quad\Longrightarrow\quad \frac{9a^2}{4} = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 4.$$

Krok 3. Wysokość. $H = \frac{4\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7}$. Kontrola: $28 + 8 = 36$ - krawędź boczna ma długość $6$.

Krok 4. Objętość.

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{7} = \frac{32\sqrt{7}}{3}.$$

Pułapka: kąt nachylenia ściany to nie kąt nachylenia krawędzi bocznej. W tangensie ściany jest połowa boku $\frac{a}{2}$, a w trójkącie z krawędzią boczną - połowa przekątnej $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Pomylenie ich daje $a = \sqrt{8}$ i zupełnie inną objętość. Drugi częsty błąd to pominięcie $\frac{1}{3}$.

Odpowiedź: $V = \frac{32\sqrt{7}}{3}$. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny oraz zadania z kąta dwuściennego.