Ostrosłup - spodek wysokości, ostrosłup prawidłowy i czworościan foremny

Klasa 4 liceum i technikum

Ostrosłup to wielościan, którego jedna ściana - podstawa - jest dowolnym wielokątem, a wszystkie pozostałe ściany - ściany boczne - są trójkątami o wspólnym wierzchołku $S$, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Wysokość ostrosłupa to odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka $S$ do płaszczyzny podstawy; jego koniec $O$ to spodek wysokości.

Definicje i tabele wzorów na pole i objętość są na stronie ostrosłupy - pole, objętość, spodek wysokości. Tu uczymy się pracować z ostrosłupem: ustalić, gdzie leży spodek wysokości, i wyłuskać z bryły trójkąty prostokątne, w których liczy się wszystko.

Ile krawędzi, wierzchołków i ścian ma ostrosłup

Ostrosłup $n$-kątny ma podstawę z $n$ wierzchołkami i $n$ krawędziami oraz wierzchołek $S$ połączony z każdym wierzchołkiem podstawy:

• wierzchołki: $n + 1$;
• krawędzie: $n$ w podstawie i $n$ bocznych - razem $2n$;
• ściany: podstawa i $n$ ścian bocznych - razem $n + 1$.

Wzór Eulera znów się zgadza: $(n + 1) - 2n + (n + 1) = 2$. Liczba krawędzi ostrosłupa jest zawsze parzysta, a liczba wierzchołków równa liczbie ścian.

Przykład 1. Ostrosłup ma $20$ krawędzi. Ile ma wierzchołków i ścian?

$2n = 20$, więc $n = 10$ - to ostrosłup dziesięciokątny. Ma $11$ wierzchołków i $11$ ścian.

Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa

Spodek wysokości nie zawsze leży „w środku” podstawy. Decydują o tym dwa twierdzenia:

Twierdzenie 1. Jeżeli wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa są równe (albo równo nachylone do podstawy), to spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

Dlaczego? Trójkąty $SOA$, $SOB$, $SOC$, … są prostokątne (kąt prosty przy $O$), mają wspólną przyprostokątną $SO = H$ i równe przeciwprostokątne $SA = SB = SC = b$. Z twierdzenia Pitagorasa $|OA| = |OB| = |OC| = \sqrt{b^2 - H^2}$ - punkt $O$ jest jednakowo odległy od wszystkich wierzchołków podstawy, czyli jest środkiem okręgu opisanego na podstawie. Wniosek: ostrosłup o równych krawędziach bocznych może mieć w podstawie tylko wielokąt, na którym da się opisać okrąg.

Twierdzenie 2. Jeżeli wszystkie ściany boczne są jednakowo nachylone do podstawy (albo mają równe wysokości, a spodek leży wewnątrz podstawy), to spodek wysokości jest środkiem okręgu wpisanego w podstawę.

Rozumowanie jest takie samo, tylko zamiast wierzchołków podstawy bierzemy spodki wysokości ścian bocznych: z równych kątów nachylenia wynika, że $O$ jest jednakowo odległy od wszystkich boków podstawy - to środek okręgu wpisanego.

Przykład 2. Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6$ i $8$, a każda krawędź boczna ma długość $13$. Oblicz wysokość ostrosłupa.

Krok 1. Krawędzie boczne są równe, więc spodek $O$ to środek okręgu opisanego na podstawie. W trójkącie prostokątnym leży on w środku przeciwprostokątnej, a $R$ to połowa przeciwprostokątnej: $|BC| = \sqrt{36 + 64} = 10$, $R = 5$.

Krok 2. Trójkąt $SOB$ jest prostokątny: $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{144} = 12$.

Odpowiedź. $H = 12$.

Dla tej samej podstawy ostrosłup o ścianach jednakowo nachylonych miałby spodek w środku okręgu wpisanego, odległym o $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2$ od każdego boku.

Ostrosłup prawidłowy

Ostrosłup prawidłowy to ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a spodek wysokości jest środkiem tego wielokąta. Wtedy spełnione są oba twierdzenia jednocześnie: wszystkie krawędzie boczne są równe, wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi i są tak samo nachylone do podstawy.

Wysokość ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego (poprowadzona z wierzchołka $S$) nazywa się czasem apotemą i oznacza literą $h$. Jej spodek $E$ to środek krawędzi podstawy.

Trzy trójkąty prostokątne „w środku” ostrosłupa

Każde zadanie z ostrosłupem prawidłowym sprowadza się do jednego z trzech trójkątów prostokątnych. Narysuj je na rysunku, zanim zaczniesz liczyć:

Promienie $R$ i $r$ zależą od kształtu podstawy - to jedyne miejsce, w którym ostrosłup trójkątny, czworokątny i sześciokątny różnią się od siebie:

Ostrosłup prawidłowy czworokątny

Podstawą jest kwadrat, $O$ to punkt przecięcia jego przekątnych. Trójkąt $SOE$ ma przyprostokątne $H$ i $|OE| = \frac{a}{2}$, a jego kąt przy $E$ to kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.

Trójkąt $AOS$ ma przyprostokątne $H$ i $|AO| = \frac{a\sqrt{2}}{2}$ (połowa przekątnej kwadratu), a jego kąt przy $A$ to kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Przykład 3. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz wysokość ściany bocznej, długość krawędzi bocznej oraz tangensy kątów nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do podstawy.

Krok 1. Trójkąt $SOE$: $|OE| = 3$, więc $h = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 2. Trójkąt $SEB$: $|EB| = 3$, więc $b = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$. (Ten sam wynik z trójkąta $SOA$: $|AO| = 3\sqrt{2}$, $b = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}$.)

Krok 3. Kąty:

$\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{|OE|} = \frac{4}{3}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{|AO|} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$

Odpowiedź. $h = 5$, $b = \sqrt{34}$, $\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{3}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2\sqrt{2}}{3}$. Ściana jest nachylona bardziej stromo niż krawędź ($\beta > \alpha$), bo $|OE| < |OA|$ - tak jest w każdym ostrosłupie prawidłowym.

Przykład 4. Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $10$ i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz wysokość ostrosłupa i krawędź podstawy.

Trójkąt $AOS$: $H = 10 \sin 60^\circ = 5\sqrt{3}$ oraz $|AO| = 10 \cos 60^\circ = 5$. Przekątna kwadratu to $2 \cdot 5 = 10$, więc $a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $H = 5\sqrt{3}$, $a = 5\sqrt{2}$.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny

Podstawą jest trójkąt równoboczny, a $O$ to jego środek - punkt przecięcia wysokości i środkowych. Środkowe dzielą się w stosunku $2 : 1$, więc $R = \frac{2}{3}$ wysokości podstawy, a $r = \frac{1}{3}$ wysokości podstawy.

Przykład 5. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6\sqrt{3}$ i wysokość $4$. Oblicz wysokość ściany bocznej i krawędź boczną.

Krok 1. Wysokość podstawy: $\frac{6\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = 9$. Stąd $R = 6$, $r = 3$.

Krok 2. Trójkąt $SOE$: $h = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 3. Trójkąt $SOA$: $b = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Odpowiedź. $h = 5$, $b = 2\sqrt{13}$, a przy okazji $\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{3}$ i $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny

Sześciokąt foremny dzieli się na sześć trójkątów równobocznych o boku $a$, więc $R = a$, a $r$ to wysokość takiego trójkąta: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Przykład 6. Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $4$ i krawędź boczną $5$. Oblicz wysokość ostrosłupa i wysokość ściany bocznej.

$H = \sqrt{b^2 - R^2} = \sqrt{25 - 16} = 3, \qquad h = \sqrt{b^2 - \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 4} = \sqrt{21}.$

Sprawdzenie trójkątem $SOE$: $r = 2\sqrt{3}$, $H^2 + r^2 = 9 + 12 = 21 = h^2$.

Czworościan foremny

Czworościan foremny to ostrosłup trójkątny, którego wszystkie cztery ściany są przystającymi trójkątami równobocznymi - ma sześć równych krawędzi $a$. Jest szczególnym ostrosłupem prawidłowym trójkątnym: każdą ścianę można uznać za podstawę.

Wyprowadzenie wysokości. Spodek $O$ leży w środku ściany $ABC$, więc $|AO| = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$. Z trójkąta prostokątnego $AOD$:

$H^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2 = a^2 - \frac{a^2}{3} = \frac{2a^2}{3} \quad\Rightarrow\quad H = a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Przykład 7. Oblicz wysokość czworościanu foremnego o krawędzi $6$ i wysokość jego ściany.

$H = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}, \qquad h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.$

Najczęstsze pytania

Ile krawędzi ma ostrosłup? Ostrosłup $n$-kątny ma $2n$ krawędzi: $n$ krawędzi podstawy i $n$ krawędzi bocznych. Ostrosłup czworokątny ma ich $8$, sześciokątny $12$.

Ile ścian i wierzchołków ma ostrosłup? Po $n + 1$: podstawa i $n$ ścian bocznych, $n$ wierzchołków podstawy i wierzchołek $S$.

Gdzie leży spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego? W środku podstawy: w punkcie przecięcia przekątnych kwadratu, w środku trójkąta równobocznego (punkt przecięcia wysokości), w środku sześciokąta foremnego.

Jak obliczyć wysokość ściany bocznej ostrosłupa? W ostrosłupie prawidłowym na dwa sposoby: $h = \sqrt{H^2 + r^2}$ (trójkąt $SOE$) albo $h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}$ (trójkąt $SEB$), gdzie $r$ to odległość środka podstawy od jej boku.

Jak obliczyć krawędź boczną ostrosłupa? Z trójkąta $SOA$: $b = \sqrt{H^2 + R^2}$, gdzie $R$ to odległość środka podstawy od jej wierzchołka (w kwadracie połowa przekątnej).

Ile wynosi wysokość czworościanu foremnego?$H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$, gdzie $a$ to krawędź. Dla $a = 6$ wychodzi $2\sqrt{6} \approx 4{,}9$.

Czym różni się kąt nachylenia ściany bocznej od kąta nachylenia krawędzi bocznej? Kąt krawędzi leży przy wierzchołku podstawy (trójkąt $SOA$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{R}$), kąt ściany - przy środku krawędzi podstawy (trójkąt $SOE$, $\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{r}$). Więcej w lekcji kąt dwuścienny.

Czy czworościan to to samo co ostrosłup trójkątny? Tak - każdy ostrosłup trójkątny ma cztery ściany, więc jest czworościanem. Czworościan foremny to szczególny przypadek, w którym wszystkie krawędzie są równe.

Przećwicz

• Ostrosłupy → - spodek wysokości, krawędź boczna, wysokość ściany bocznej, ostrosłup prawidłowy trójkątny, czworokątny i sześciokątny, czworościan foremny.
• Kąt dwuścienny → - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.
• Kąt między prostą a płaszczyzną → - kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Ostrosłup $n$-kątny ma $n + 1$ wierzchołków, $2n$ krawędzi i $n + 1$ ścian.
• Równe krawędzie boczne → spodek wysokości w środku okręgu opisanego na podstawie; ściany jednakowo nachylone → w środku okręgu wpisanego.
• Ostrosłup prawidłowy: wielokąt foremny w podstawie, spodek wysokości w jego środku.
• Wszystko liczymy w trzech trójkątach prostokątnych: $SOA$ ($H$, $R$, $b$), $SOE$ ($H$, $r$, $h$) i $SEB$ ($h$, $\frac{a}{2}$, $b$).
• Czworościan foremny o krawędzi $a$ ma wysokość $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.