Przekrój sześcianu i ostrosłupa - jak narysować przekrój płaszczyzną

Klasa 4 liceum i technikum

Konstrukcja przekroju - trzy zasady

Dwa punkty przekroju leżące w jednej ścianie łączymy odcinkiem - to bok przekroju.
Płaszczyzna przecina dwie równoległe ściany wzdłuż odcinków równoległych.
Metoda śladów: prosta z płaszczyzny przekroju i prosta krawędzi leżące w jednej płaszczyźnie ściany przecinają się w punkcie (śladzie), który należy do przekroju i do prostej krawędzi.

Przekrój wielościanu wypukłego to wielokąt wypukły, który ma co najwyżej jeden bok na każdej ścianie. Przekrój sześcianu może więc mieć $3$ , $4$ , $5$ albo $6$ boków.

Przekrój wielościanu płaszczyzną to część wspólna wielościanu i tej płaszczyzny. Gdy płaszczyzna przechodzi przez wnętrze wielościanu wypukłego, przekrój jest wielokątem: jego wierzchołki leżą na krawędziach bryły, a boki - na jej ścianach. Skonstruować przekrój znaczy znaleźć wszystkie te wierzchołki, mając dane tylko trzy punkty wyznaczające płaszczyznę.

Płaszczyzna jest wyznaczona przez trzy punkty niewspółliniowe albo przez prostą i punkt spoza niej (zobacz płaszczyzny i proste w przestrzeni). Rysunki prowadzimy w rzucie równoległym, w którym zachowana jest równoległość odcinków i stosunek długości odcinków równoległych - dlatego środek krawędzi na rysunku to naprawdę jej środek (rysowanie figur w rzucie równoległym). Na rysunkach przekrój jest wypełniony kolorem, a jego boki leżące na niewidocznych ścianach są przerywane.

Trzy zasady konstrukcji

Zasada 1 - punkty w jednej ścianie. Jeśli dwa punkty płaszczyzny przekroju leżą w tej samej ścianie, to cały odcinek między nimi należy i do ściany, i do płaszczyzny - jest bokiem przekroju. Nigdy nie łączymy punktów leżących w różnych ścianach: taki odcinek biegnie przez wnętrze bryły.

Zasada 2 - ściany równoległe. Dwie płaszczyzny równoległe przecięte trzecią płaszczyzną dają dwie proste równoległe. W sześcianie i graniastosłupie podstawy są równoległe (a w sześcianie także przeciwległe ściany boczne), więc gdy znamy bok przekroju w jednej z nich, w drugiej rysujemy bok równoległy.

Zasada 3 - ślad. Gdy żadne dwa znane punkty nie leżą w jednej ścianie, przedłużamy prostą z płaszczyzny przekroju do przecięcia z przedłużeniem krawędzi leżącej w tej samej płaszczyźnie. Otrzymany punkt (ślad) leży zwykle poza bryłą, ale należy do płaszczyzny przekroju i do płaszczyzny sąsiedniej ściany - a to daje nowy punkt do zasady 1.

Przekrój trójkątny i prostokątny

Płaszczyzna przez środki K, L, M krawędzi A₁B₁, B₁C₁ i BB₁ odcina naroże sześcianu. Przekrój to trójkąt równoboczny o boku a√2/2.

Przykład 1. Narysuj przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez środki $K$ , $L$ , $M$ krawędzi $A_1B_1$ , $B_1C_1$ i $BB_1$ .

Punkty $K$ i $L$ leżą w górnej ścianie, $K$ i $M$ - w przedniej, $L$ i $M$ - w prawej. Z zasady 1 łączymy każdą parę i dostajemy trójkąt $KLM$ . Każdy jego bok to przekątna połowy ściany, np.

$|KL| = \sqrt{\left(\tfrac{a}{2}\right)^2 + \left(\tfrac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{2}}{2},$

więc trójkąt jest równoboczny. Dla $a = 6$ jego bok ma długość $3\sqrt{2}$ .

Przekrój przekątny ACC₁A₁ to prostokąt o bokach a i a√2 (przekątna podstawy).

Przekrój przekątny sześcianu (i każdego graniastosłupa) przechodzi przez dwie krawędzie boczne nieleżące w jednej ścianie, np. $AA_1$ i $CC_1$ . To prostokąt $ACC_1A_1$ o bokach $a$ i $a\sqrt{2}$ , a jego pole wynosi $a^2\sqrt{2}$ .

Przekrój w kształcie trapezu

Płaszczyzna przez A, C i środek K krawędzi B₁C₁. W górnej ścianie ślad jest równoległy do AC, więc trafia w środek L krawędzi A₁B₁. Przekrój ACKL to trapez równoramienny.

Przykład 2. Narysuj przekrój sześcianu płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołki $A$ , $C$ i środek $K$ krawędzi $B_1C_1$ .

Krok 1. $A$ i $C$ leżą w dolnej ścianie - bok $AC$ . $C$ i $K$ leżą w prawej ścianie - bok $CK$ .

Krok 2. Górna ściana jest równoległa do dolnej, więc z zasady 2 bok przekroju w górnej ścianie przechodzi przez $K$ równolegle do $AC$ , czyli równolegle do $A_1C_1$ . Odcinek $LK$ równoległy do $A_1C_1$ i wychodzący ze środka $B_1C_1$ trafia w środek $L$ krawędzi $A_1B_1$ (to odcinek łączący środki boków trójkąta $A_1B_1C_1$ ).

Krok 3. $L$ i $A$ leżą w przedniej ścianie - bok $LA$ . Przekrój to czworokąt $ACKL$ , w którym $LK \parallel AC$ - trapez. Jest równoramienny, bo $|AL| = |CK|$ . Dla $a = 6$ :

$|AC| = 6\sqrt{2}, \qquad |LK| = \frac{|A_1C_1|}{2} = 3\sqrt{2}, \qquad |AL| = |CK| = \sqrt{3^2 + 6^2} = 3\sqrt{5}.$

Metoda śladów - przekrój pięciokątny

Przykład 3. Sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma krawędź $6$ . Punkty $M$ i $N$ są środkami krawędzi $AB$ i $BC$ . Skonstruuj przekrój sześcianu płaszczyzną $MND_1$ .

Odcinek $MN$ leży w dolnej ścianie, ale $D_1$ nie leży w żadnej ścianie razem z $M$ ani z $N$ . Tu pomaga metoda śladów.

Krok 1-2: prosta MN leży w płaszczyźnie podstawy i przecina przedłużenia krawędzi DA i DC w punktach P i Q. Proste PD₁ i QD₁ leżą w płaszczyźnie przekroju.

Krok 1. Ślady na prostych krawędzi podstawy. Prosta $MN$ leży w płaszczyźnie podstawy, tak jak proste $DA$ i $DC$ . Przedłużamy je: prosta $MN$ przecina prostą $DA$ w punkcie $P$ , a prostą $DC$ w punkcie $Q$ . Trójkąty $MAP$ i $MBN$ są przystające (kąt prosty, $|AM| = |MB|$ , kąty wierzchołkowe przy $M$ ), więc $|AP| = |BN| = 3$ . Tak samo $|CQ| = 3$ .

Krok 2. Proste w płaszczyźnie przekroju. Punkty $P$ i $D_1$ należą do płaszczyzny przekroju i do płaszczyzny lewej ściany $ADD_1A_1$ . Prosta $PD_1$ jest więc krawędzią przecięcia tych płaszczyzn. Tak samo prosta $QD_1$ leży w płaszczyźnie tylnej ściany $DCC_1D_1$ .

Krok 3: prosta PD₁ przecina krawędź AA₁ w punkcie K, a QD₁ - krawędź CC₁ w punkcie L. Przekrój MNLD₁K jest pięciokątem.

Krok 3. Punkty na krawędziach bocznych. Prosta $PD_1$ przecina krawędź $AA_1$ w punkcie $K$ . Z podobieństwa trójkątów $PAK$ i $PDD_1$ :

$\frac{|AK|}{|DD_1|} = \frac{|PA|}{|PD|} = \frac{3}{9} \quad\Longrightarrow\quad |AK| = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2.$

Tak samo prosta $QD_1$ przecina krawędź $CC_1$ w punkcie $L$ , $|CL| = 2$ .

Krok 4. Boki przekroju. Łączymy kolejne punkty leżące w jednej ścianie: $MN$ (podstawa), $NL$ (prawa ściana), $LD_1$ (tylna), $D_1K$ (lewa), $KM$ (przednia). Przekrój $MNLD_1K$ jest pięciokątem.

Sprawdzenie zasady 2: ściana przednia i tylna są równoległe, więc $KM \parallel D_1L$ ; ściana lewa i prawa też, więc $D_1K \parallel LN$ . Pięciokąt ma dwie pary boków równoległych.

Przekrój w kształcie sześciokąta foremnego

Płaszczyzna przez środki krawędzi AB, BC, CC₁, C₁D₁, D₁A₁ i A₁A przecina sześcian wzdłuż sześciokąta foremnego o boku a√2/2. Jest prostopadła do przekątnej DB₁.

Płaszczyzna przechodząca przez środki krawędzi $AB$ , $BC$ , $CC_1$ , $C_1D_1$ , $D_1A_1$ i $A_1A$ przecina wszystkie sześć ścian. Każdy bok przekroju łączy środki dwóch sąsiednich krawędzi jednej ściany, więc ma długość $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , a wszystkie kąty są równe $120^\circ$ . Ten przekrój to sześciokąt foremny, a jego płaszczyzna jest prostopadła do przekątnej sześcianu $DB_1$ i dzieli ją na połowy.

Dla $a = 6$ bok sześciokąta ma długość $3\sqrt{2}$ , a jego pole (sześć trójkątów równobocznych):

$P = 6 \cdot \frac{\left(3\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{18\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}.$

Ile boków może mieć przekrój sześcianu

Każdy bok przekroju leży na innej ścianie, a sześcian ma sześć ścian. Przekrój ma więc od $3$ do $6$ boków - siedmiokąta nie da się uzyskać. Przykłady:

przekrój	płaszczyzna przechodzi przez	ściany przecięte
trójkąt (np. równoboczny)	trzy punkty na krawędziach wychodzących z jednego wierzchołka	3
prostokąt	dwie przeciwległe krawędzie (przekrój przekątny) albo równolegle do ściany	4
trapez	przekątną ściany i punkt na krawędzi przeciwległej ściany	4
pięciokąt	środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy i przeciwległy wierzchołek górnej podstawy	5
sześciokąt foremny	środki sześciu krawędzi (płaszczyzna prostopadła do przekątnej)	6

Przekrój sześcianu nie może być pięciokątem foremnym: pięciokątny przekrój zawsze ma dwie pary boków równoległych (zasada 2), a pięciokąt foremny nie ma żadnej.

Przekrój ostrosłupa

W ostrosłupie nie ma dwóch równoległych ścian, ale zasada 2 działa w innej postaci: jeśli prosta z płaszczyzny przekroju jest równoległa do ściany, to płaszczyzna przecina tę ścianę wzdłuż prostej do niej równoległej.

Płaszczyzna przez krawędź AB i środek K krawędzi SC. Krawędź AB jest równoległa do ściany SCD, więc ślad KL w tej ścianie jest równoległy do CD. Przekrój ABKL to trapez.

Przykład 4. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym $ABCDS$ punkt $K$ jest środkiem krawędzi $SC$ . Narysuj przekrój płaszczyzną przechodzącą przez krawędź $AB$ i punkt $K$ .

Krok 1. $B$ i $K$ leżą w ścianie $SBC$ - bok $BK$ .

Krok 2. Krawędź $AB$ jest równoległa do $CD$ , a więc do płaszczyzny ściany $SCD$ . Płaszczyzna przekroju przecina tę ścianę wzdłuż prostej przechodzącej przez $K$ równolegle do $CD$ . Trafia ona w środek $L$ krawędzi $SD$ (odcinek łączący środki boków trójkąta $SCD$ ), więc $|KL| = \frac{|CD|}{2}$ .

Krok 3. $L$ i $A$ leżą w ścianie $SAD$ - bok $LA$ . Przekrój $ABKL$ ma $KL \parallel AB$ , więc jest trapezem (równoramiennym, bo ostrosłup jest prawidłowy). Dla krawędzi podstawy $6$ podstawy trapezu mają długości $6$ i $3$ .

Przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $S$ i przekątną podstawy to trójkąt (przekrój przekątny), a płaszczyzną równoległą do podstawy - wielokąt podobny do podstawy. Pola takich przekrojów liczymy w lekcji przekroje wielościanów - zadania.

Najczęstsze pytania

Jak narysować przekrój sześcianu? Zaznacz trzy dane punkty i połącz te, które leżą w jednej ścianie. W ścianie równoległej do już przeciętej poprowadź bok równoległy. Gdy to nie wystarcza, przedłuż prostą z przekroju do przecięcia z przedłużeniem krawędzi (ślad) i połącz ślad z punktem przekroju w sąsiedniej ścianie.

Jaki kształt może mieć przekrój sześcianu? Trójkąt, czworokąt (kwadrat, prostokąt, trapez, romb), pięciokąt albo sześciokąt. Nie może być siedmiokątem, bo sześcian ma tylko sześć ścian.

Czy przekrój sześcianu może być pięciokątem foremnym? Nie. Pięciokątny przekrój sześcianu ma zawsze dwie pary boków równoległych, a pięciokąt foremny nie ma boków równoległych.

Kiedy przekrój sześcianu jest sześciokątem foremnym? Gdy płaszczyzna przechodzi przez środki sześciu krawędzi - jest wtedy prostopadła do przekątnej sześcianu w jej środku. Bok sześciokąta to $\frac{a\sqrt{2}}{2}$ .

Co to jest przekrój przekątny? W graniastosłupie: przekrój płaszczyzną przechodzącą przez dwie krawędzie boczne nieleżące w jednej ścianie (prostokąt w graniastosłupie prostym). W ostrosłupie: przekrój płaszczyzną przez wierzchołek i przekątną podstawy (trójkąt).

Co to jest ślad płaszczyzny? Prosta, wzdłuż której płaszczyzna przekroju przecina płaszczyznę ściany lub podstawy. Śladem nazywa się też punkt, w którym prosta z płaszczyzny przekroju przecina prostą krawędzi - to od niego pochodzi nazwa metody śladów.

Czy przekrój zawsze przechodzi przez wierzchołki bryły? Nie. Wierzchołki przekroju leżą na krawędziach bryły - mogą być jej wierzchołkami, środkami krawędzi albo dowolnymi punktami krawędzi.

Przećwicz

Przekroje wielościanów → - kształt i pole przekroju sześcianu, graniastosłupa i ostrosłupa, przekrój przekątny i przekrój równoległy do podstawy.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Przekrój wielościanu wypukłego to wielokąt o wierzchołkach na krawędziach i bokach na ścianach, najwyżej jeden bok na ścianę.
Łączymy tylko punkty leżące w jednej ścianie; w ścianach równoległych boki przekroju są równoległe.
Metoda śladów: przedłuż prostą z przekroju do przecięcia z przedłużeniem krawędzi; ślad łączy się z punktem przekroju w sąsiedniej ścianie.
Przekrój sześcianu ma 3, 4, 5 lub 6 boków; przez środki sześciu krawędzi przechodzi sześciokąt foremny.
Gdy prosta przekroju jest równoległa do ściany ostrosłupa, przekrój przecina tę ścianę równolegle do niej.