Średnia z próby - średnia arytmetyczna, ważona i z danych pogrupowanych

Q: Co oznacza x z kreską?

Symbol barx oznacza średnią arytmetyczną danych x_1, ..., x_n.

Klasa 4 liceum i technikum

Średnia z próby - wzory

Średnia arytmetyczna danych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ :

$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$

Z tabeli liczebności (wartość $x_i$ wystąpiła $n_i$ razy, $n = n_1 + \ldots + n_k$ ):

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \ldots + n_k x_k}{n}$

Średnia ważona (wagi $w_i$ ):

$\bar{x}_w = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \ldots + w_k x_k}{w_1 + w_2 + \ldots + w_k}$

Szereg rozdzielczy: za $x_i$ bierzemy środek klasy - wynik jest przybliżeniem średniej.

Średnia z próby (średnia arytmetyczna) to suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę: $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$ . Oznacza się ją symbolem $\bar{x}$ („iks z kreską”). Na przykład średnia liczb $12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18$ wynosi $\frac{112}{8} = 14$ . Średnia to najczęściej używana miara położenia: mówi, wokół jakiej wartości skupiają się dane.

Średnia arytmetyczna z próby

Przykład 1. Ośmiu uczniów zdobyło na kartkówce $12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18$ punktów.

Krok 1. Suma danych: $12 + 15 + 9 + 18 + 15 + 11 + 14 + 18 = 112$ .

Krok 2. Dzielimy przez liczbę danych:

$\bar{x} = \frac{112}{8} = 14.$

Średnia nie musi być jedną z danych, a przy danych całkowitych może wyjść ułamkiem - to normalne.

Średnia z tabeli liczebności

Gdy wartości się powtarzają, nie wypisujemy ich wszystkich. Każdą wartość mnożymy przez jej liczebność (ile razy wystąpiła) i sumę dzielimy przez liczbę wszystkich danych.

Przykład 2. Liczba książek przeczytanych w miesiącu przez $25$ osób:

Liczba książek xᵢ	0	1	2	3	4
Liczba osób nᵢ	3	7	8	4	3
Iloczyn nᵢ · xᵢ	0	7	16	12	12

Suma iloczynów to $0 + 7 + 16 + 12 + 12 = 47$ , a osób jest $3 + 7 + 8 + 4 + 3 = 25$ :

$\bar{x} = \frac{47}{25} = 1{,}88.$

Uwaga. Dzielimy przez liczbę osób ( $25$ ), a nie przez liczbę kolumn tabeli ( $5$ ). To najczęstszy błąd w tym typie zadań.

Średnia ważona

Średnia z tabeli liczebności to szczególny przypadek średniej ważonej: każda dana ma swoją wagę, która mówi, ile razy „liczy się” do średniej. Wagami mogą być liczebności, ale też znaczenie oceny, liczba godzin, masa składnika.

Przykład 3. W dzienniku elektronicznym sprawdzian ma wagę $3$ , kartkówka wagę $2$ , a odpowiedź ustna wagę $1$ . Uczeń ma oceny: ze sprawdzianów $4$ i $5$ , z kartkówek $3$ , $4$ i $5$ , z odpowiedzi $6$ .

Ocena xᵢ	4	5	3	4	5	6
Waga wᵢ	3	3	2	2	2	1
Iloczyn wᵢ · xᵢ	12	15	6	8	10	6

$\bar{x}_w = \frac{12 + 15 + 6 + 8 + 10 + 6}{3 + 3 + 2 + 2 + 2 + 1} = \frac{57}{13} \approx 4{,}38.$

Zwykła średnia tych ocen to $\frac{27}{6} = 4{,}5$ - wyższa, bo najwyższa ocena ( $6$ ) ma najmniejszą wagę, a trójka z kartkówki ma wagę $2$ .

Średnia dwóch grup

Przykład 4. W klasie $12$ chłopców ma średnią ocen $4{,}2$ , a $18$ dziewcząt - $3{,}6$ . Średnia całej klasy nie wynosi $\frac{4{,}2 + 3{,}6}{2} = 3{,}9$ , bo grupy mają różną liczebność. Liczebności grup to wagi:

$\bar{x} = \frac{12 \cdot 4{,}2 + 18 \cdot 3{,}6}{12 + 18} = \frac{50{,}4 + 64{,}8}{30} = \frac{115{,}2}{30},$

$\bar{x} = 3{,}84.$

Średnia całości leży zawsze między średnimi grup, bliżej średniej grupy liczniejszej.

Średnia z danych pogrupowanych (szereg rozdzielczy)

Gdy dane podano w klasach (przedziałach), nie znamy dokładnych wartości. Przyjmujemy wtedy, że każda dana leży w środku swojej klasy, i liczymy średnią z tabeli liczebności. Wynik jest przybliżeniem prawdziwej średniej.

Przykład 5. Czas dojazdu do szkoły $40$ uczniów:

Czas [min]	[0, 10)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
Środek klasy xᵢ	5	15	25	35	45
Liczba uczniów nᵢ	6	12	14	5	3
Iloczyn nᵢ · xᵢ	30	180	350	175	135

Krok 1. Środki klas - średnia końców przedziału, np. $\frac{10 + 20}{2} = 15$ .

Krok 2. Suma iloczynów: $30 + 180 + 350 + 175 + 135 = 870$ .

Krok 3. Średnia:

$\bar{x} \approx \frac{870}{40} = 21{,}75 \text{ min}.$

Histogram czasu dojazdu; linia przerywana to średnia policzona ze środków klas.

Średnia wypada w klasie $[20, 30)$ , a nie dokładnie pośrodku osi, bo wysokie słupki leżą po lewej, a po prawej jest „ogon” uczniów dojeżdżających długo.

Własności średniej

1. Suma odchyleń od średniej jest równa zeru. W przykładzie 1 odchylenia $x_i - \bar{x}$ to $-2, 1, -5, 4, 1, -3, 0, 4$ , a ich suma wynosi $0$ . Dzieje się tak zawsze, bo suma danych to $x_1 + \ldots + x_n = n\bar{x}$ , więc

$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x}) = n\bar{x} - n\bar{x} = 0.$

Średnia jest więc „punktem równowagi” danych - jak środek ciężkości linijki z ciężarkami.

2. Przesunięcie i skalowanie. Jeśli do każdej danej dodamy liczbę $b$ , średnia też wzrośnie o $b$ . Jeśli każdą daną pomnożymy przez $a$ , średnia też zostanie pomnożona przez $a$ . Krótko: średnia danych $a x_i + b$ wynosi $a\bar{x} + b$ .

3. Suma danych to średnia razy liczba danych: $x_1 + \ldots + x_n = n \cdot \bar{x}$ . Z tej równości korzysta się w zadaniach typu „jak zmieni się średnia po dopisaniu wyniku”.

Średnia a wartości odstające

Średnia jest wrażliwa na wartości odstające - pojedyncze dane bardzo różne od pozostałych.

Przykład 6. Siedmiu pracowników firmy zarabia $3200$ , $3500$ , $3500$ , $3800$ , $4100$ , $4600$ i $12\,000$ zł. Średnia pensja wynosi

$\bar{x} = \frac{34\,700}{7} \approx 4957{,}14 \text{ zł},$

czyli więcej niż zarabia sześciu z siedmiu pracowników. Jedna wysoka pensja „ciągnie” średnią w górę. W takich sytuacjach lepiej opisuje dane mediana (tutaj $3800$ zł) - o niej w lekcji mediana, moda i skala centylowa.

Typowe błędy

Dzielenie przez liczbę kolumn tabeli zamiast przez liczbę wszystkich danych.
Uśrednianie średnich grup o różnej liczebności - trzeba ważyć liczebnościami.
Średnia ważona podzielona przez liczbę ocen zamiast przez sumę wag.
Zapominanie, że średnia z szeregu rozdzielczego jest przybliżona - dokładną średnią można policzyć tylko z surowych danych.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć średnią arytmetyczną? Dodaj wszystkie liczby i podziel sumę przez to, ile ich jest. Średnia liczb $4, 7, 10$ to $\frac{21}{3} = 7$ .

Jak obliczyć średnią ważoną? Pomnóż każdą daną przez jej wagę, dodaj iloczyny i podziel przez sumę wag. Oceny $5$ (waga $3$ ) i $3$ (waga $1$ ) dają $\frac{15 + 3}{4} = 4{,}5$ .

Jak obliczyć średnią z tabeli? Każdą wartość pomnóż przez jej liczebność, dodaj iloczyny i podziel przez sumę liczebności, czyli przez liczbę wszystkich danych.

Jak obliczyć średnią z szeregu rozdzielczego? Wyznacz środek każdej klasy, pomnóż go przez liczebność klasy, dodaj iloczyny i podziel przez liczbę danych. Otrzymasz przybliżoną średnią.

Czy średnia ocen to średnia ważona? W szkołach z wagami ocen - tak: ocena semestralna wynika ze średniej ważonej, w której sprawdziany liczą się bardziej niż kartkówki. Bez wag jest to zwykła średnia arytmetyczna.

Co oznacza x z kreską? Symbol $\bar{x}$ oznacza średnią arytmetyczną danych $x_1, \ldots, x_n$ .

Przećwicz

Średnia arytmetyczna - zadania → - brakująca liczba, dopisany lub wymieniony wynik, kolejne liczby o danej średniej i suma odchyleń.
Średnia ważona - zadania → - oceny z wagami, średnia dwóch grup, cena mieszanki, stężenie roztworu i średnia prędkość.
Szereg rozdzielczy i dane pogrupowane → - średnia ze środków klas i brakująca liczebność przy znanej średniej.
Cały zestaw: statystyka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

$\bar{x} = \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n}$ ; z tabeli liczebności: suma $n_i x_i$ przez $n$ .
Średnia ważona: suma $w_i x_i$ przez sumę wag; liczebności grup to też wagi.
Z szeregu rozdzielczego liczymy średnią ze środków klas - wynik przybliżony.
Suma odchyleń od średniej wynosi $0$ ; średnia danych $a x_i + b$ to $a\bar{x} + b$ .
Średnia jest wrażliwa na wartości odstające - wtedy lepiej sprawdza się mediana.
Inne rodzaje średnich (geometryczna, harmoniczna): średnie arytmetyczna, ważona, geometryczna i harmoniczna.