Logarytm - powtórzenie: definicja, prawa logarytmów, zamiana podstawy

Klasa 4 liceum i technikum

Logarytm $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę $a$, aby otrzymać liczbę $b$: $\log_a b = c$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a^c = b$. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$, a liczba logarytmowana - dodatnia. Na przykład $\log_3 81 = 4$, bo $3^4 = 81$.

Ta lekcja otwiera rozdział o funkcji logarytmicznej w klasie czwartej. Najpierw krótko przypominamy to, co było w klasie pierwszej, a potem dokładamy rachunki, bez których trudno rozwiązywać równania i nierówności logarytmiczne: logarytm w wykładniku, iloczyn logarytmów, wyrażanie logarytmu przez dane liczby i szacowanie wartości logarytmu.

Co już wiemy z klasy 1

Definicję logarytmu, sposób liczenia „do której potęgi” i najczęstsze błędy omawia lekcja definicja logarytmu, a prawa logarytmów razem z ich wyprowadzeniem - lekcja prawa logarytmów i zamiana podstawy. W skrócie:

• logarytm iloczynu to suma logarytmów, logarytm ilorazu - różnica, a wykładnik potęgi „wychodzi przed logarytm”;
• wzór na zamianę podstawy pozwala policzyć dowolny logarytm za pomocą $\log$ albo $\ln$;
• $\log x$ oznacza logarytm dziesiętny, a $\ln x$ - naturalny, o podstawie liczba e $\approx 2{,}718$.

Szybki test: $\log_6 4 + \log_6 9 = \log_6 36 = 2$ oraz $\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 8 = 3$. Jeśli to jest jasne, można iść dalej.

Logarytm w wykładniku: ile wynosi a do potęgi logₐb

Z definicji logarytmu wynika tożsamość

$a^{\log_a b} = b.$

Liczba $\log_a b$ jest bowiem dokładnie tym wykładnikiem, który z $a$ robi $b$. Przydaje się to wszędzie tam, gdzie logarytm stoi w wykładniku potęgi o tej samej (albo pokrewnej) podstawie.

Przykład 1. $3^{\log_3 7} = 7$.

Przykład 2. Oblicz $2^{2 + \log_2 5}$. Rozbijamy wykładnik na sumę i korzystamy z prawa działań na potęgach:

$2^{2 + \log_2 5} = 2^2 \cdot 2^{\log_2 5} = 4 \cdot 5 = 20.$

Przykład 3. Oblicz $9^{\log_3 5}$. Podstawa $9$ to $3^2$, więc dwójka przechodzi do wykładnika, a stamtąd - pod logarytm:

$9^{\log_3 5} = 3^{2\log_3 5} = 3^{\log_3 25} = 25.$

Przykład 4. Oblicz $10^{2 - \log 4}$. Tu działa ta sama sztuczka z dzieleniem potęg: $10^{2 - \log 4} = \dfrac{10^2}{10^{\log 4}} = \dfrac{100}{4} = 25$.

Iloczyn logarytmów i podstawa w postaci potęgi

Ze wzoru na zamianę podstawy wynikają dwie reguły, które bardzo skracają rachunki. Pierwsza to „łańcuch” logarytmów: liczba logarytmowana jednego logarytmu jest podstawą drugiego.

$\log_a b \cdot \log_b c = \frac{\log b}{\log a} \cdot \frac{\log c}{\log b} = \frac{\log c}{\log a} = \log_a c.$

W szczególności $\log_a b \cdot \log_b a = 1$ - zamiana miejscami podstawy i liczby logarytmowanej daje odwrotność.

Przykład 5. $\log_2 5 \cdot \log_5 32 = \log_2 32 = 5$. Żadnego z czynników nie da się policzyć „ładnie”, a iloczyn jest liczbą całkowitą.

Druga reguła dotyczy sytuacji, gdy podstawa i liczba logarytmowana są potęgami tej samej liczby:

$\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b.$

Przykład 6. $\log_8 32 = \log_{2^3} 2^5 = \dfrac{5}{3}$. Sprawdzenie: $8^{5/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^5 = 2^5 = 32$.

Przykład 7. $\log_{\sqrt{3}} 27 = \log_{3^{1/2}} 3^3 = \dfrac{3}{1/2} = 6$.

Jak wyrazić logarytm przez log 2 i log 3

Typowe zadanie maturalne: „wiadomo, że $\log 2 = a$ i $\log 3 = b$; wyraź $\log 12$ przez $a$ i $b$”. Metoda zawsze jest ta sama: rozłóż liczbę na czynniki $2$, $3$ i $10$ (bo $\log 10 = 1$), a potem użyj praw logarytmów.

Przykład 8. $\log 12 = \log (2^2 \cdot 3) = 2\log 2 + \log 3 = 2a + b$.

Przykład 9. $\log 15$. Piątki nie ma wśród danych, ale $5 = \frac{10}{2}$:

$\log 15 = \log \frac{3 \cdot 10}{2} = \log 3 + \log 10 - \log 2 = b + 1 - a.$

Przykład 10. $\log_6 18$ - inna podstawa, więc najpierw zamiana na logarytm dziesiętny:

$\log_6 18 = \frac{\log 18}{\log 6} = \frac{\log (2 \cdot 3^2)}{\log (2 \cdot 3)} = \frac{a + 2b}{a + b}.$

Szacowanie logarytmu bez kalkulatora

Gdy wynik nie jest „ładny”, często wystarczy wiedzieć, między jakimi liczbami całkowitymi leży. Szukamy dwóch kolejnych potęg podstawy, między którymi jest liczba logarytmowana.

Przykład 11. $8 < 10 < 16$, czyli $2^3 < 10 < 2^4$, więc $3 < \log_2 10 < 4$.

Przykład 12. $27 < 50 < 81$, czyli $3^3 < 50 < 3^4$, więc $3 < \log_3 50 < 4$.

Ten rachunek opiera się na tym, że $\log_2 x$ i $\log_3 x$ są funkcjami rosnącymi - większa liczba ma większy logarytm. Dokładnie tę własność badamy w następnej lekcji, funkcja logarytmiczna - monotoniczność i porównywanie logarytmów.

Typowe błędy

• Logarytm sumy. $\log(x + y)$ nie jest równy $\log x + \log y$. Prawo dotyczy iloczynu.
• Kwadrat logarytmu a logarytm kwadratu. $(\log x)^2$ i $\log x^2$ to różne rzeczy: $(\log 100)^2 = 4$, a $\log 100^2 = \log 10\,000 = 4$ - tu przypadkiem wyszło to samo, ale już $(\log 1000)^2 = 9$, a $\log 1000^2 = 6$.
• $\log x^2 = 2\log x$ tylko dla $x > 0$. Dla $x = -3$ lewa strona istnieje ($\log 9$), a prawa nie. Bezpieczny wzór to $\log x^2 = 2\log |x|$ - ważne przy równaniach logarytmicznych.
• Iloraz logarytmów to nie logarytm ilorazu. $\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4} = \dfrac{3}{2}$, ale $\log_2 \dfrac{8}{4} = 1$.

Najczęstsze pytania

Ile wynosi 2 do potęgi log₂5? Dokładnie $5$. Ogólnie $a^{\log_a b} = b$, bo $\log_a b$ to wykładnik, do którego trzeba podnieść $a$, żeby dostać $b$.

Jak wyrazić log 12 przez log 2 i log 3? Rozłóż $12 = 2^2 \cdot 3$ i użyj praw logarytmów: $\log 12 = 2\log 2 + \log 3$. Gdy w rozkładzie pojawia się $5$, zapisz ją jako $\frac{10}{2}$, bo $\log 10 = 1$.

Ile wynosi logₐb razy log_b a? Zawsze $1$, bo $\log_a b \cdot \log_b a = \log_a a = 1$. Na przykład $\log_2 9 \cdot \log_9 2 = 1$.

Czy log x² = 2 log x? Tylko dla $x > 0$. W ogólności $\log x^2 = 2\log|x|$, bo $\log x^2$ istnieje także dla ujemnych $x$.

Jak oszacować logarytm bez kalkulatora? Znajdź dwie kolejne całkowite potęgi podstawy otaczające liczbę logarytmowaną. Na przykład $2^3 < 10 < 2^4$, więc $\log_2 10$ leży między $3$ a $4$ (dokładniej $\approx 3{,}32$).

Przećwicz

• Prawa logarytmów - zadania → - od $\log_6 4 + \log_6 9$ po wyrażanie $\log 1{,}2$ i $\log_6 24$ przez $a = \log 2$ i $b = \log 3$, iloczyn łańcuchowy $\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \ldots \cdot \log_7 8$ i logarytm w wykładniku.
• Zamiana podstawy logarytmu → - $\log_4 8$, $\log_{27} 9$ i podobne.
• Obliczanie logarytmów z definicji → - dla rozgrzewki.
• Cały zestaw: logarytmy - zadania →

Podsumowanie

• $\log_a b = c \iff a^c = b$, przy $a > 0$, $a \ne 1$, $b > 0$.
• $a^{\log_a b} = b$ - logarytm w wykładniku „znika”, np. $9^{\log_3 5} = 25$.
• $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$ oraz $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n}\log_a b$.
• Logarytm przez dane: rozłóż liczbę na czynniki $2$, $3$, $10$; piątka to $\frac{10}{2}$.
• Szacowanie: znajdź potęgi podstawy otaczające liczbę - $3 < \log_2 10 < 4$.
• Dalej w rozdziale: funkcja logarytmiczna i porównywanie logarytmów.