Prawdopodobieństwo warunkowe - wzór P(A|B), przykłady i typowe pułapki

Klasa 4 liceum i technikum

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A \mid B)$ to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ obliczone przy dodatkowej wiedzy, że zaszło zdarzenie $B$. Liczymy je ze wzoru $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, a przy jednakowo prawdopodobnych wynikach - jeszcze prościej: $\tfrac{|A \cap B|}{|B|}$. Zapis $P(A \mid B)$ czytamy „prawdopodobieństwo $A$ pod warunkiem $B$”.

Intuicja jest prosta: informacja „zaszło $B$” wyrzuca z gry wszystkie wyniki spoza $B$. Zbiór $B$ staje się nowym $\Omega$, a z $A$ zostaje tylko część wspólna $A \cap B$.

Skąd wzór - przykład z kostkami

Przykład 1. Rzucamy dwiema kostkami. Wiemy, że suma oczek wynosi $8$. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na obu kostkach wypadła parzysta liczba oczek?

Krok 1. Warunek. $B$ - „suma wynosi $8$”: $B = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$, $|B| = 5$.

Krok 2. Część wspólna. $A$ - „obie liczby parzyste”. Spośród par z $B$ parzyste są $(2,6), (4,4), (6,2)$: $|A \cap B| = 3$.

Krok 3. $P(A \mid B) = \tfrac{|A \cap B|}{|B|} = \tfrac{3}{5}$.

Bez warunku $P(A) = \tfrac{9}{36} = \tfrac{1}{4}$. Informacja o sumie zmieniła prawdopodobieństwo z $\tfrac{1}{4}$ na $\tfrac{3}{5}$. Ten sam wynik daje wzór ogólny: $\tfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \tfrac{3/36}{5/36} = \tfrac{3}{5}$ - mianowniki $36$ się skracają.

Z tabeli liczebności

Przykład 2. W klasie jest $30$ osób. Okulary nosi $4$ z $14$ chłopców i $6$ z $16$ dziewcząt.

Losujemy jedną osobę. $O$ - „nosi okulary”, $D$ - „jest dziewczyną”.

• $P(O \mid D) = \tfrac{6}{16} = \tfrac{3}{8}$ - warunek $D$: patrzymy tylko na wiersz dziewcząt.
• $P(D \mid O) = \tfrac{6}{10} = \tfrac{3}{5}$ - warunek $O$: patrzymy tylko na kolumnę okularów.

Te liczby są różne. $P(A \mid B)$ i $P(B \mid A)$ to dwa różne pytania: „jaka część dziewcząt nosi okulary?” i „jaka część osób w okularach to dziewczęta?”. Mylenie ich to najczęstszy błąd w tym temacie - a w medycynie i sądach bywa bardzo kosztowny (patrz wzór Bayesa).

Wzór na iloczyn - losowanie bez zwracania

Przekształcając definicję, dostajemy $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$. To dokładnie reguła mnożenia wzdłuż gałęzi drzewka z poprzedniej lekcji - liczby na gałęziach drugiego poziomu są prawdopodobieństwami warunkowymi.

Przykład 3. W urnie są $4$ kule białe i $3$ czarne. Losujemy kolejno dwie bez zwracania. $B_1$ - „pierwsza biała”, $B_2$ - „druga biała”.

$P(B_2 \mid B_1) = \tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$ (po wyjęciu białej zostały $3$ białe na $6$ kul), więc

$P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2 \mid B_1) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{7}.$

Gdy dane są prawdopodobieństwa

Przykład 4. $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $P(A \cup B) = 0{,}7$. Oblicz $P(A \mid B)$ i $P(B \mid A)$.

Krok 1. $P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}7 = 0{,}2$.

Krok 2. $P(A \mid B) = \tfrac{0{,}2}{0{,}4} = \tfrac{1}{2}$, $\quad P(B \mid A) = \tfrac{0{,}2}{0{,}5} = \tfrac{2}{5}$.

Paradoks dwojga dzieci

Przykład 5. Rodzina ma dwoje dzieci (zakładamy, że każde jest z równym prawdopodobieństwem chłopcem lub dziewczynką). Wiemy, że co najmniej jedno jest chłopcem. Jakie jest prawdopodobieństwo, że oboje są chłopcami?

$\Omega = \{CC, CD, DC, DD\}$ (starsze, młodsze). Warunek: $B = \{CC, CD, DC\}$, a $A \cap B = \{CC\}$:

$P(A \mid B) = \frac{1}{3}.$

Wiele osób odpowiada $\tfrac{1}{2}$ - ale to odpowiedź na inne pytanie: „starsze dziecko jest chłopcem”. Wtedy $B = \{CC, CD\}$ i $P = \tfrac{1}{2}$. Drobna zmiana informacji zmienia warunek, a więc i wynik.

Problem Monty Halla

W teleturnieju są trzy drzwi, za jednymi samochód. Wybierasz drzwi, prowadzący (który wie, gdzie jest samochód) otwiera inne drzwi z kozą i pyta, czy chcesz zmienić wybór. Zmiana wygrywa z prawdopodobieństwem $\tfrac{2}{3}$, pozostanie - tylko $\tfrac{1}{3}$: pierwszy wybór trafia w samochód w $1$ przypadku na $3$, a prowadzący swoim ruchem tego nie zmienia. Zmiana wygrywa zawsze wtedy, gdy pierwszy wybór był chybiony. Pełne rozumowanie i symulator, w którym można zagrać tysiące razy: problem Monty Halla.

Typowe błędy

• Dzielenie przez $|\Omega|$ zamiast przez $|B|$ - warunek zmienia mianownik.
• Mylenie $P(A \mid B)$ z $P(B \mid A)$ - przykład z okularami: $\tfrac{3}{8}$ i $\tfrac{3}{5}$.
• Mylenie $P(A \mid B)$ z $P(A \cap B)$. „Obie białe” to iloczyn ($\tfrac{2}{7}$), a „druga biała, gdy pierwsza biała” - warunkowe ($\tfrac{1}{2}$).
• Nieuważne czytanie warunku - „co najmniej jedno” i „starsze” to różne $B$.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo warunkowe?$P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$, gdzie $P(B) > 0$. Przy jednakowo prawdopodobnych wynikach $P(A \mid B) = \tfrac{|A \cap B|}{|B|}$.

Jak czytać zapis P(A|B)? „Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem zdarzenia $B$” - czyli jak prawdopodobne jest $A$, gdy wiemy, że zaszło $B$.

Czy P(A|B) to to samo co P(B|A)? Nie. W klasie z przykładu $P(\text{okulary} \mid \text{dziewczyna}) = \tfrac{3}{8}$, a $P(\text{dziewczyna} \mid \text{okulary}) = \tfrac{3}{5}$. Związek między nimi daje wzór Bayesa.

Czym różni się prawdopodobieństwo warunkowe od prawdopodobieństwa iloczynu?$P(A \cap B)$ mówi, jak często zachodzą oba zdarzenia wśród wszystkich wyników; $P(A \mid B)$ - jak często zachodzi $A$ wśród wyników, w których zaszło $B$. Łączy je wzór $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$.

Czy w problemie Monty Halla opłaca się zmienić drzwi? Tak - zmiana wygrywa z prawdopodobieństwem $\tfrac{2}{3}$, pozostanie przy pierwszym wyborze z $\tfrac{1}{3}$.

Przećwicz

• Prawdopodobieństwo warunkowe - zadania → - kostki z warunkiem, kule bez zwracania, tabela liczebności, P(A | B) i P(B | A), paradoks dwojga dzieci, dwa asy z talii (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• $P(A \mid B) = \tfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ - warunek $B$ staje się nowym $\Omega$.
• Przy równych szansach: $P(A \mid B) = \tfrac{|A \cap B|}{|B|}$; w tabeli - wiersz albo kolumna warunku.
• $P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)$ - to reguła mnożenia na drzewku.
• $P(A \mid B) \ne P(B \mid A)$ w ogólności - zawsze sprawdzaj, co jest warunkiem.
• Monty Hall i paradoks dzieci pokazują, że dokładna treść informacji zmienia wynik.