Wariancja i odchylenie standardowe - wzór, przykłady i interpretacja

Klasa 4 liceum i technikum

Odchylenie standardowe $\sigma$ mówi, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej - to typowa odległość danej od średniej. Oblicza się je jako pierwiastek z wariancji, czyli ze średniej kwadratów odchyleń od średniej: $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$. Na przykład dla danych $4, 7, 8, 9, 12$ średnia wynosi $8$, wariancja $6{,}8$, a odchylenie standardowe $\sqrt{6{,}8} \approx 2{,}61$. Im mniejsze odchylenie, tym dane są bardziej skupione przy średniej.

Po co mierzyć rozrzut

Średnia nie mówi wszystkiego. Dwaj łucznicy oddali po pięć strzałów i zdobyli punkty:

• łucznik A: $6, 7, 8, 9, 10$,
• łucznik B: $2, 5, 8, 11, 14$.

Obaj mają średnią $8$ i medianę $8$, ale łucznik A strzela równo, a B - raz świetnie, raz słabo. Tę różnicę opisują miary rozproszenia.

Najprostsza miara to rozstęp - różnica największej i najmniejszej wartości: dla A $10 - 6 = 4$, dla B $14 - 2 = 12$. Rozstęp zależy jednak tylko od dwóch skrajnych danych, a jedna nietypowa wartość potrafi go mocno zawyżyć. Dlatego częściej używa się wariancji i odchylenia standardowego, które uwzględniają wszystkie dane.

Wariancja z definicji

Wariancja to średnia kwadratów odchyleń od średniej. Odchyleń nie można po prostu uśrednić, bo ich suma zawsze wynosi zero (dodatnie znoszą się z ujemnymi - patrz własności średniej). Kwadraty są nieujemne, więc nic się nie znosi.

Przykład 1. Oblicz wariancję i odchylenie standardowe danych $4, 7, 8, 9, 12$.

Krok 1. Średnia: $\bar{x} = \frac{4 + 7 + 8 + 9 + 12}{5} = \frac{40}{5} = 8$.

Krok 2. Odchylenia i ich kwadraty - wygodnie liczyć w tabeli:

Krok 3. Wariancja - suma kwadratów przez liczbę danych:

$\sigma^2 = \frac{34}{5} = 6{,}8.$

Krok 4. Odchylenie standardowe:

$\sigma = \sqrt{6{,}8} \approx 2{,}61.$

Kolumna „suma” w wierszu odchyleń to sprawdzenie: jeśli nie wyszło $0$, źle policzono średnią.

Dla łuczników: wariancja A to $\frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{5} = 2$, czyli $\sigma_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41$; wariancja B to $\frac{36 + 9 + 0 + 9 + 36}{5} = 18$, czyli $\sigma_B = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24$. Rozrzut wyników B jest trzy razy większy.

Wzór skrócony na wariancję

Gdy średnia nie jest liczbą całkowitą, odchylenia są ułamkami i rachunki z definicji robią się uciążliwe. Wtedy przydaje się wzór

$\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2,$

gdzie $\overline{x^2} = \frac{x_1^2 + \ldots + x_n^2}{n}$ to średnia kwadratów danych.

Skąd ten wzór. Rozpisujemy kwadrat różnicy $(x_i - \bar{x})^2 = x_i^2 - 2\bar{x} x_i + \bar{x}^2$ i sumujemy po wszystkich danych (sumy biegną od $i = 1$ do $n$):

$\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - 2\bar{x} \sum x_i + n\bar{x}^2.$

Suma danych to $\sum x_i = n\bar{x}$, więc

$\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - 2n\bar{x}^2 + n\bar{x}^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2.$

Po podzieleniu obu stron przez $n$ dostajemy $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$.

Przykład 2. Dane $2, 3, 5, 6, 9$.

Krok 1. Średnia: $\bar{x} = \frac{25}{5} = 5$.

Krok 2. Średnia kwadratów: $\overline{x^2} = \frac{4 + 9 + 25 + 36 + 81}{5} = \frac{155}{5} = 31$.

Krok 3. Wariancja i odchylenie:

$\sigma^2 = 31 - 5^2 = 6, \qquad \sigma = \sqrt{6} \approx 2{,}45.$

Uwaga. $\overline{x^2}$ (średnia kwadratów) i $\bar{x}^2$ (kwadrat średniej) to dwie różne liczby: tu $31$ i $25$. Ich różnica jest zawsze nieujemna, bo jest wariancją.

Wariancja z tabeli liczebności

Gdy dane są w tabeli, każdy kwadrat odchylenia (albo każdy kwadrat danej) mnożymy przez liczebność - tak jak przy średniej z tabeli.

Przykład 3. Liczba książek przeczytanych w miesiącu przez $25$ osób:

Krok 1. Średnia: $\bar{x} = \frac{47}{25} = 1{,}88$.

Krok 2. Średnia kwadratów: $\overline{x^2} = \frac{123}{25} = 4{,}92$.

Krok 3. Wariancja wzorem skróconym:

$\sigma^2 = 4{,}92 - 1{,}88^2 = 4{,}92 - 3{,}5344 = 1{,}3856, \qquad \sigma \approx 1{,}18.$

Z definicji trzeba by liczyć odchylenia $-1{,}88$, $-0{,}88$, $0{,}12$… - wzór skrócony jest tu znacznie wygodniejszy.

Jak interpretować odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co dane (punkty, centymetry, złote), dlatego łatwo je interpretować - wariancja ma jednostkę „do kwadratu” (cm², zł²).

• $\sigma$ to typowa odległość danej od średniej. Przy $\bar{x} = 170$ cm i $\sigma = 6$ cm większość osób ma wzrost w okolicy $164$-$176$ cm.
• Dla danych o kształcie „dzwonu” (wzrost, wyniki dużych egzaminów) w przedziale od $\bar{x} - \sigma$ do $\bar{x} + \sigma$ leży około dwóch trzecich danych, a od $\bar{x} - 2\sigma$ do $\bar{x} + 2\sigma$ - około $95\%$.
• $\sigma = 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie dane są równe.
• Porównujemy odchylenia zestawów o tej samej jednostce i podobnej średniej: mniejsze odchylenie oznacza wyniki bardziej wyrównane (łucznik A jest regularniejszy niż B).

Współczynnik zmienności

Gdy chcemy porównać rozrzut danych o różnych jednostkach albo bardzo różnych średnich, dzielimy odchylenie przez średnią:

$V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\%.$

Przykład 4. Cena chleba w różnych sklepach: $\bar{x} = 5$ zł, $\sigma = 0{,}50$ zł. Cena telewizora: $\bar{x} = 2000$ zł, $\sigma = 100$ zł. Odchylenie ceny telewizora jest $200$ razy większe, ale względnie to cena chleba waha się bardziej: $V = 10\%$ wobec $V = 5\%$.

Dodanie stałej i mnożenie danych

• Dodanie tej samej liczby $b$ do każdej danej przesuwa wszystkie dane razem ze średnią - odchylenia od średniej się nie zmieniają, więc wariancja i odchylenie zostają takie same.
• Pomnożenie każdej danej przez $a$ mnoży każde odchylenie przez $a$, więc wariancja mnoży się przez $a^2$, a odchylenie standardowe przez $|a|$.

Przykład 5. Dane $4, 7, 8, 9, 12$ mają $\sigma \approx 2{,}61$. Dane $14, 17, 18, 19, 22$ (dodane $10$) mają to samo odchylenie, a dane $8, 14, 16, 18, 24$ (pomnożone przez $2$) - odchylenie $2 \cdot \sqrt{6{,}8} \approx 5{,}22$ i wariancję $4 \cdot 6{,}8 = 27{,}2$.

Dlaczego kalkulator daje inny wynik

W szkole wariancję z próby liczymy, dzieląc przez $n$. Kalkulatory naukowe i arkusze kalkulacyjne mają często dwie wersje odchylenia: $\sigma$ (dzielenie przez $n$) i $s$ (dzielenie przez $n - 1$). Ta druga służy do szacowania rozrzutu całej populacji na podstawie próby i daje nieco większy wynik. W zadaniach szkolnych i maturalnych używa się wzoru z dzieleniem przez $n$.

Typowe błędy

• Zapomniany pierwiastek - wariancja to nie odchylenie standardowe.
• Mylenie $\overline{x^2}$ z $\bar{x}^2$ we wzorze skróconym.
• Dzielenie przez liczbę kolumn tabeli zamiast przez liczbę wszystkich danych.
• Zaokrąglanie średniej przed podniesieniem do kwadratu - błąd zaokrąglenia rośnie; licz na dokładnych wartościach i zaokrąglaj dopiero wynik.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć odchylenie standardowe? Oblicz średnią, odejmij ją od każdej danej, podnieś różnice do kwadratu, uśrednij kwadraty (to wariancja) i wyciągnij pierwiastek. Dla $1, 3, 5$: średnia $3$, kwadraty odchyleń $4, 0, 4$, wariancja $\frac{8}{3}$, odchylenie $\sqrt{\frac{8}{3}} \approx 1{,}63$.

Jak obliczyć wariancję? Z definicji: średnia kwadratów odchyleń od średniej. Szybciej wzorem skróconym: średnia kwadratów danych minus kwadrat średniej, $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$.

Co mówi odchylenie standardowe? Jak daleko od średniej leżą typowo dane. Małe odchylenie - dane skupione, wyrównane; duże - dane rozrzucone. Ma tę samą jednostkę co dane.

Czym różni się wariancja od odchylenia standardowego? Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji. Wariancja ma jednostkę w kwadracie (np. cm²), odchylenie - tę samą co dane (cm), dlatego to ono służy do opisu i porównań.

Czy odchylenie standardowe może być ujemne? Nie. Wariancja jest średnią kwadratów, więc jest nieujemna, a odchylenie jest jej pierwiastkiem arytmetycznym. Równe zeru jest tylko wtedy, gdy wszystkie dane są jednakowe.

Jak zmieni się odchylenie standardowe, gdy do każdej liczby dodamy 5? Nie zmieni się. Dodanie stałej przesuwa dane i średnią o tyle samo, więc odległości od średniej zostają te same. Zmienia się dopiero przy mnożeniu danych.

Przećwicz

• Wariancja i odchylenie standardowe - zadania → - z definicji, wzorem skróconym, z tabeli i diagramu, porównanie rozrzutu, przedział $\bar{x} \pm \sigma$ i współczynnik zmienności (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Szereg rozdzielczy i dane pogrupowane → - wariancja ze środków klas.
• Cały zestaw: statystyka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Rozstęp to największa minus najmniejsza wartość - zależy tylko od dwóch danych.
• Wariancja $\sigma^2$ - średnia kwadratów odchyleń od średniej; szybciej $\sigma^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$.
• Odchylenie standardowe $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ - typowa odległość danej od średniej, w jednostkach danych.
• Dodanie stałej nie zmienia $\sigma$, pomnożenie danych przez $a$ mnoży $\sigma$ przez $|a|$.
• Do porównań danych o różnych jednostkach służy współczynnik zmienności $V = \frac{\sigma}{\bar{x}} \cdot 100\%$.
• Zestawienie wszystkich miar statystycznych: statystyka - wzory i przykłady.