Bryły obrotowe - zadania: obrót figury, kula wpisana i opisana, przetapianie

Klasa 4 liceum i technikum

Zadania z brył obrotowych rozwiązuje się prawie zawsze w przekroju osiowym - płaskiej figurze, którą płaszczyzna zawierająca oś wycina z bryły. Walec daje w nim prostokąt, stożek - trójkąt równoramienny, kula - koło. Kula wpisana w stożek staje się okręgiem wpisanym w trójkąt, walec wpisany w kulę - prostokątem wpisanym w koło. Wymiary odczytane z przekroju wstawiamy na końcu do wzorów na pole i objętość.

Jaka bryła powstaje z obrotu figury

Każdy bok figury, obracając się dookoła osi, zakreśla jakąś powierzchnię:

• bok równoległy do osi - powierzchnię boczną walca,
• bok prostopadły do osi - koło (albo pierścień),
• bok ukośny, którego koniec leży na osi - powierzchnię boczną stożka.

Bryłę składamy z walców i stożków, dodając je albo odejmując. Najpierw zawsze rysujemy figurę razem z jej odbiciem względem osi - to jest przekrój osiowy bryły.

Przykład 1. Trapez prostokątny $ABCD$ ma podstawy $|AB| = 7$, $|CD| = 4$ i wysokość $|AD| = 4$. Obracamy go dookoła prostej $CD$, czyli dookoła krótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły.

Krok 1. Rozpoznanie bryły. Bok $AB$ jest równoległy do osi w odległości $4$ - zakreśla walec o promieniu $4$ i wysokości $7$. Ramię $BC$ ma koniec $C$ na osi - zakreśla stożek o promieniu $4$ i wysokości $7 - 4 = 3$. Ten stożek jest wycięty z walca: między osią a ramieniem $BC$ nie ma trapezu. Tworząca wnęki: $|BC| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$.

Krok 2. Objętość: walec minus stożek.

$V = \pi \cdot 4^2 \cdot 7 - \frac{1}{3}\pi \cdot 4^2 \cdot 3 = 112\pi - 16\pi = 96\pi.$

Krok 3. Pole: tylko to, co jest na zewnątrz. Bok $AD$ daje koło o promieniu $4$, bok $AB$ - powierzchnię boczną walca, ramię $BC$ - powierzchnię boczną stożka (ściankę wnęki). Podstawy walca po stronie wnęki nie ma - w jej miejscu jest właśnie wnęka.

$P = \pi \cdot 4^2 + 2\pi \cdot 4 \cdot 7 + \pi \cdot 4 \cdot 5 = 16\pi + 56\pi + 20\pi = 92\pi.$

Odpowiedź. $V = 96\pi$, $P = 92\pi$. Obrót tego samego trapezu dookoła dłuższej podstawy daje walec z doklejonym stożkiem - to zadanie jest w zestawie bryła powstała z obrotu.

Kula wpisana w stożek i kula opisana na stożku

Kula jest wpisana w stożek, gdy jest styczna do podstawy i do powierzchni bocznej. W przekroju osiowym to okrąg wpisany w trójkąt równoramienny. Kula jest opisana na stożku, gdy wierzchołek i okrąg podstawy leżą na sferze - w przekroju to okrąg opisany na trójkącie.

Przykład 2. Stożek ma promień podstawy $6$ i wysokość $8$. Oblicz promień kuli wpisanej w stożek i promień kuli opisanej na stożku.

Krok 1. Przekrój osiowy. Trójkąt o podstawie $12$, wysokości $8$ i ramionach $l = \sqrt{36 + 64} = 10$. Jego pole $P = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$, połowa obwodu $p = \frac{10 + 10 + 12}{2} = 16$.

Krok 2. Kula wpisana. Promień okręgu wpisanego w trójkąt to $\rho = \frac{P}{p}$ (lekcja o okręgu wpisanym):

$\rho = \frac{48}{16} = 3.$

Ogólnie $P = rH$ i $p = r + l$, więc $\rho = \frac{rH}{r + l}$.

Krok 3. Kula opisana. Środek kuli leży na osi w odległości $R$ od wierzchołka, więc od środka podstawy dzieli go $H - R$. Odległość od środka kuli do punktu okręgu podstawy też wynosi $R$:

$(H - R)^2 + r^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad H^2 + r^2 = 2HR \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{l^2}{2H} = \frac{100}{16} = 6{,}25.$

Odpowiedź. $\rho = 3$, $R = 6{,}25$. Objętość kuli wpisanej to $\frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi$, a stożka $\frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$ - kula zajmuje $\frac{36}{96} = 37{,}5\%$ stożka.

Uwaga: tu $R < H$, więc środek kuli opisanej leży wewnątrz stożka. Gdy kąt rozwarcia jest rozwarty, wychodzi $R > H$ i środek leży pod podstawą - wzór działa tak samo.

Kula wpisana w walec i walec wpisany w kulę

Kula wpisana w walec jest styczna do obu podstaw i do powierzchni bocznej. To możliwe tylko w walcu równobocznym: $H = 2R$, a przekrój osiowy jest kwadratem. Stosunek objętości jest stały:

$\frac{V_{\text{kuli}}}{V_{\text{walca}}} = \frac{\frac{4}{3}\pi R^3}{\pi R^2 \cdot 2R} = \frac{2}{3}.$

To odkrycie Archimedesa - także pole sfery stanowi $\frac{2}{3}$ pola całkowitego walca ($4\pi R^2$ wobec $6\pi R^2$).

Walec wpisany w kulę ma oba okręgi podstaw na sferze. W przekroju osiowym prostokąt $2r \times H$ jest wpisany w koło o promieniu $R$, a jego przekątna jest średnicą koła.

Przykład 3. W kulę o promieniu $5$ wpisano walec o wysokości $6$. Oblicz objętość walca i jaką część kuli zajmuje.

Krok 1. Promień walca. Z trójkąta o bokach $r$, $\frac{H}{2} = 3$ i $R = 5$: $r = \sqrt{25 - 9} = 4$.

Krok 2. Objętości. $V_w = \pi \cdot 16 \cdot 6 = 96\pi$, $V_k = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 = \frac{500}{3}\pi$.

Krok 3. Stosunek. $\frac{96\pi}{\frac{500}{3}\pi} = \frac{288}{500} = 0{,}576$.

Odpowiedź. $V_w = 96\pi$; walec zajmuje $57{,}6\%$ objętości kuli. Który walec wpisany w kulę ma największą objętość, liczymy pochodną w lekcji zadania optymalizacyjne - wychodzi niewiele więcej, około $57{,}7\%$.

Przetapianie brył

Przy przetapianiu (przelewaniu, przesypywaniu) zmienia się kształt, ale nie zmienia się objętość. Zapisujemy równanie „objętość przed = objętość po” i wyznaczamy nieznany wymiar.

Przykład 4. Metalowy walec o promieniu $2$ i wysokości $9$ przetopiono na kulę. Oblicz jej promień i porównaj pola powierzchni.

Krok 1. Równanie objętości.

$\pi \cdot 2^2 \cdot 9 = \frac{4}{3}\pi R^3 \quad\Longrightarrow\quad 36 = \frac{4}{3}R^3 \quad\Longrightarrow\quad R^3 = 27, \ \ R = 3.$

Krok 2. Pola. Walec: $2\pi \cdot 4 + 2\pi \cdot 2 \cdot 9 = 8\pi + 36\pi = 44\pi$. Kula: $4\pi \cdot 9 = 36\pi$.

Odpowiedź. $R = 3$. Kula ma mniejsze pole niż walec o tej samej objętości - spośród wszystkich brył o danej objętości najmniejsze pole ma właśnie kula. Dlatego krople i bańki mydlane są okrągłe.

Typowe błędy

• Średnica zamiast promienia. Treść podaje średnicę puszki, kuli, rury - dzielimy przez $2$.
• Wysokość zamiast tworzącej we wzorze $P_b = \pi r l$.
• Pole bryły złożonej liczone jako suma pól brył. Przy sklejaniu walca ze stożkiem wspólna podstawa znika z powierzchni - nie dodajemy jej.
• Jednostki. Litr to $1 \text{ dm}^3$, a $1 \text{ m}^3 = 1000$ litrów.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć promień kuli wpisanej w stożek? To promień okręgu wpisanego w przekrój osiowy: $\rho = \frac{P}{p} = \frac{rH}{r + l}$. Dla stożka o promieniu $6$ i wysokości $8$ wychodzi $\rho = 3$.

Jak obliczyć promień kuli opisanej na stożku?$R = \frac{l^2}{2H}$, gdzie $l$ to tworząca, a $H$ - wysokość stożka. Wzór wynika z równania $(H - R)^2 + r^2 = R^2$.

Jaka bryła powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej? Dwa stożki o wspólnej podstawie. Promień podstawy to wysokość trójkąta opuszczona na przeciwprostokątną, a suma wysokości stożków - przeciwprostokątna.

Jaką część walca zajmuje wpisana w niego kula? Dokładnie $\frac{2}{3}$ - niezależnie od promienia.

Czy przy przetapianiu zmienia się pole powierzchni? Tak, zachowuje się tylko objętość. Pole zwykle się zmienia - kula ma najmniejsze pole spośród brył o tej samej objętości.

Przećwicz

• Bryła powstała z obrotu → - obrót prostokąta, trójkąta (także wokół przeciwprostokątnej i podstawy), rombu, kwadratu i trapezu, walec wydrążony.
• Zadania mieszane → - przetapianie, kula wpisana i opisana, poziom wody po wrzuceniu kuli, lody, silos i pojemność w litrach.
• Cały zestaw: bryły obrotowe - zadania z rozwiązaniami

Podsumowanie

• Bryłę obrotową rozpoznajemy po bokach figury: równoległy do osi - walec, ukośny z końcem na osi - stożek.
• Bryły złożone liczymy przez dodawanie i odejmowanie walców i stożków; do pola bierzemy tylko zewnętrzne powierzchnie.
• Kula wpisana w stożek: $\rho = \frac{rH}{r + l}$; opisana: $R = \frac{l^2}{2H}$.
• Kula wpisana w walec zajmuje $\frac{2}{3}$ jego objętości; walec wpisany w kulę: $r^2 + \frac{H^2}{4} = R^2$.
• Przy przetapianiu zachowuje się objętość, nie pole.