Mediana, moda i kwartyle z próby - skala centylowa i siatki centylowe

Q: Co to jest centyl?

k-ty centyl to wartość, poniżej której (lub na której) leży około k\% danych uporządkowanych rosnąco. 50. centyl to mediana, 25. i 75. - pierwszy i trzeci kwartyl.

Q: Co oznacza 90. centyl wzrostu?

Że dziecko jest wyższe lub tak samo wysokie jak około 90\% rówieśników tej samej płci, a około 10\% jest od niego wyższych. To wynik wysoki, ale mieszczący się w normie.

Q: Jak obliczyć kwartyle?

Uporządkuj dane i wyznacz 25. i 75. centyl: oblicz p = 0,25 · n (oraz 0,75 · n); gdy p nie jest całkowite, weź daną na miejscu p zaokrąglonym w górę, a gdy jest - średnią danych na miejscach p i p + 1.

Klasa 4 liceum i technikum

Mediana, moda, kwartyle i centyle

Mediana danych uporządkowanych $x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_n$ :

$n \text{ nieparzyste:} \quad \text{Me} = x_{\frac{n+1}{2}}$

$n \text{ parzyste:} \quad \text{Me} = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$

Moda (dominanta) - wartość występująca najczęściej.

Centyl $k$ -ty ( $P_k$ ): liczymy $p = \frac{k}{100} \cdot n$ . Gdy $p$ nie jest całkowite, $P_k$ to dana na miejscu $p$ zaokrąglonym w górę; gdy $p$ jest całkowite - średnia danych na miejscach $p$ i $p + 1$ .

Kwartyle: $Q_1 = P_{25}$ , $\;Q_2 = P_{50} = \text{Me}$ , $\;Q_3 = P_{75}$ .

Mediana to wartość środkowa danych uporządkowanych od najmniejszej do największej: połowa danych jest od niej nie większa, a połowa nie mniejsza. Przy nieparzystej liczbie danych to dokładnie środkowa liczba, przy parzystej - średnia dwóch środkowych. Moda (dominanta) to wartość najczęstsza. Mediana jest szczególnym przypadkiem centyla: $k$ -ty centyl to wartość, poniżej której leży około $k\%$ danych, więc mediana to $50.$ centyl.

Mediana przy nieparzystej liczbie danych

Przykład 1. Siedmiu pracowników zarabia $3200$ , $3500$ , $3500$ , $3800$ , $4100$ , $4600$ i $12\,000$ zł.

Krok 1. Porządkujemy dane - tutaj już są uporządkowane rosnąco.

Krok 2. Szukamy środkowego miejsca. Danych jest $n = 7$ , więc środkowa jest dana nr $\frac{7 + 1}{2} = 4$ :

$\text{Me} = x_4 = 3800 \text{ zł}.$

Średnia tych pensji wynosi około $4957$ zł (patrz średnia z próby), a mediana $3800$ zł. Mediana lepiej opisuje „typowego” pracownika, bo jedna pensja $12\,000$ zł prawie na nią nie wpływa. Dlatego GUS podaje obok przeciętnego wynagrodzenia także jego medianę.

Mediana przy parzystej liczbie danych

Przykład 2. Wyniki kartkówki: $12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18$ .

Krok 1. Porządkujemy: $9, 11, 12, 14, 15, 15, 18, 18$ .

Krok 2. Danych jest $8$ , więc środkowe są dane nr $4$ i $5$ : liczby $14$ i $15$ .

$\text{Me} = \frac{14 + 15}{2} = 14{,}5.$

Mediana nie musi być jedną z danych. Najczęstszy błąd to wzięcie środkowej liczby bez uporządkowania - w zapisie $12, 15, 9, 18, 15, 11, 14, 18$ środkowe są $18$ i $15$ , co daje złą odpowiedź $16{,}5$ .

Moda (dominanta)

Moda to wartość, która występuje najczęściej. W przykładzie 2 liczby $15$ i $18$ występują po dwa razy, a pozostałe po razie - są więc dwie mody: $15$ i $18$ . W przykładzie 1 modą jest $3500$ zł.

Mod może być kilka (dane wielomodalne).
Gdy każda wartość występuje tyle samo razy, mody nie ma.
Moda to jedyna z tych miar, która ma sens dla cechy jakościowej: najczęstszy sposób dojazdu do szkoły to moda, a „średni sposób dojazdu” nie istnieje.

Mediana i moda z tabeli liczebności

Przykład 3. Liczba książek przeczytanych w miesiącu przez $25$ osób. Dopisujemy wiersz liczebności skumulowanych - sumy liczebności od początku tabeli:

Liczba książek	0	1	2	3	4
Liczba osób	3	7	8	4	3
Liczebność skumulowana	3	10	18	22	25

Krok 1. Danych jest $25$ , więc mediana to dana nr $\frac{25 + 1}{2} = 13$ .

Krok 2. Liczebność skumulowana mówi, że dane nr $1$ - $3$ to zera, nr $4$ - $10$ to jedynki, a nr $11$ - $18$ to dwójki. Dana nr $13$ jest dwójką:

$\text{Me} = 2.$

Moda też wynosi $2$ - tę wartość wybrało najwięcej osób ( $8$ ). Uwaga: moda to wartość cechy ( $2$ książki), a nie liczebność ( $8$ osób).

Mediana z szeregu rozdzielczego

Z danych pogrupowanych w klasy nie da się odczytać dokładnej mediany, ale można wskazać klasę, w której ona leży. Szukamy jej tak samo - liczebnościami skumulowanymi.

Przykład 4. Czas dojazdu do szkoły $40$ uczniów:

Czas [min]	[0, 10)	[10, 20)	[20, 30)	[30, 40)	[40, 50)
Liczba uczniów	6	12	14	5	3
Liczebność skumulowana	6	18	32	37	40

Danych jest $40$ , więc mediana to średnia danych nr $20$ i $21$ . Do klasy $[10, 20)$ sięgamy dopiero do danej nr $18$ , a klasa $[20, 30)$ obejmuje dane nr $19$ - $32$ . Obie środkowe dane leżą w klasie $[20, 30)$ - to klasa mediany. Ta sama klasa ma największą liczebność, więc jest też klasą modalną.

Kwartyle

Mediana dzieli dane na dwie równe części. Kwartyle dzielą je na cztery:

pierwszy kwartyl $Q_1$ - około $25\%$ danych jest od niego nie większych;
drugi kwartyl $Q_2$ - to mediana;
trzeci kwartyl $Q_3$ - około $75\%$ danych jest od niego nie większych.

Różnica $Q_3 - Q_1$ to rozstęp międzykwartylowy: szerokość przedziału, w którym leży środkowa połowa danych. W odróżnieniu od zwykłego rozstępu nie zależy od wartości skrajnych.

Przykład 5. Wyniki testu $20$ uczniów (te same co na diagramie łodygowo-liściowym w lekcji o prezentowaniu danych), uporządkowane:

34, 38, 41, 42, 45, 45, 47, 50, 52, 53, 53, 56, 58, 61, 63, 64, 67, 72, 75, 81.

Korzystamy z reguły z ramki na górze strony ( $n = 20$ ):

Miara	p = k/100 · n	Miejsca	Wartość
Q₁ (25. centyl)	5	5. i 6.: 45 i 45	45
Me (50. centyl)	10	10. i 11.: 53 i 53	53
Q₃ (75. centyl)	15	15. i 16.: 63 i 64	63,5
90. centyl	18	18. i 19.: 72 i 75	73,5

Wyniki testu 20 uczniów: Q₁ = 45, mediana 53, Q₃ = 63,5. Między Q₁ a Q₃ leży środkowa połowa wyników.

Rozstęp międzykwartylowy wynosi $63{,}5 - 45 = 18{,}5$ punktu, a zwykły rozstęp $81 - 34 = 47$ .

Przykład 6 - nieparzysta liczba danych. Dla danych $2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15, 16$ ( $n = 9$ ): dla $Q_1$ jest $p = 0{,}25 \cdot 9 = 2{,}25$ , więc bierzemy daną nr $3$ : $Q_1 = 5$ . Dla $Q_3$ jest $p = 6{,}75$ , czyli dana nr $7$ : $Q_3 = 13$ . Mediana to dana nr $5$ , czyli $8$ .

Uwaga o konwencjach. Kwartyle i centyle definiuje się na kilka nieco różnych sposobów (arkusze kalkulacyjne mają nawet kilka funkcji do kwartyli). Przy dużej liczbie danych wyniki prawie się nie różnią. W tym kursie i w naszych zadaniach używamy reguły z ramki - przy $k = 50$ daje ona zawsze zwykłą medianę.

Skala centylowa

Skala centylowa opisuje wynik nie liczbą punktów czy centymetrów, ale miejscem w grupie: wynik na $k$ -tym centylu oznacza, że około $k\%$ grupy ma wynik taki sam lub niższy, a około $(100 - k)\%$ - wyższy. Centyle dzielą uporządkowane dane na $100$ równych części.

Przykład 7. W przykładzie 5 uczeń z wynikiem $61$ punktów: wyników nie większych niż $61$ jest $14$ z $20$ , czyli $70\%$ . Jego wynik leży więc na około $70.$ centylu - lepiej napisało test $30\%$ grupy.

Wynik centylowy egzaminu

Na zaświadczeniu o wynikach egzaminu ósmoklasisty obok wyniku procentowego jest wynik centylowy. Informuje on, jaki odsetek zdających w całym kraju uzyskał wynik taki sam lub niższy.

Wynik procentowy $70\%$ mówi, że uczeń zdobył $70\%$ możliwych punktów.
Wynik centylowy $70$ mówi, że $70\%$ zdających napisało egzamin tak samo albo gorzej.

To dwie różne informacje. Przy trudnym egzaminie wynik procentowy $55\%$ może dać wysoki centyl, a przy łatwym nawet $80\%$ punktów może dać centyl niższy niż $50$ . Skala centylowa pozwala porównać wyniki z różnych lat i przedmiotów, bo nie zależy od trudności arkusza.

Siatki centylowe wzrostu i masy dzieci

Lekarze oceniają rozwój dziecka na siatkach centylowych - wykresach, na których dla każdego wieku zaznaczono centyle wzrostu (albo masy ciała) w populacji dzieci tej samej płci. Gdy dziewięcioletni chłopiec ma wzrost na $75.$ centylu, znaczy to, że około $75\%$ dziewięcioletnich chłopców jest od niego niższych lub tak samo wysokich, a około $25\%$ - wyższych.

Centyl $50.$ to mediana: połowa dzieci jest niższa, połowa wyższa.
Wyniki w okolicy środka siatki są typowe; za mieszczące się w normie przyjmuje się zwykle wartości między $3.$ a $97.$ centylem.
Ważniejszy od samego centyla jest tor rozwoju: dziecko, które latami rośnie „po swoim” centylu, rozwija się prawidłowo, a nagły spadek o kilka linii siatki to sygnał dla lekarza.

Siatka centylowa nie mówi „ile powinno się ważyć”, tylko jak wypadamy na tle rówieśników.

Typowe błędy

Mediana bez uporządkowania danych. Zawsze najpierw porządkujemy.
Przy parzystej liczbie danych jedna środkowa liczba zamiast średniej dwóch.
Moda podana jako liczebność, np. „ $8$ osób” zamiast „ $2$ książki”.
Centyl utożsamiony z procentem punktów. $70.$ centyl to miejsce w grupie, a nie $70\%$ punktów.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć medianę, gdy liczb jest parzyście? Uporządkuj liczby rosnąco i weź średnią arytmetyczną dwóch środkowych. Dla $3, 5, 8, 10$ mediana to $\frac{5 + 8}{2} = 6{,}5$ . Gdy liczb jest $n$ , środkowe stoją na miejscach $\frac{n}{2}$ i $\frac{n}{2} + 1$ .

Co to jest moda w statystyce? Moda (dominanta) to wartość, która występuje w danych najczęściej. Może być kilka mód albo żadnej, gdy wszystkie wartości występują tyle samo razy.

Co to jest centyl? $k$ -ty centyl to wartość, poniżej której (lub na której) leży około $k\%$ danych uporządkowanych rosnąco. $50.$ centyl to mediana, $25.$ i $75.$ - pierwszy i trzeci kwartyl.

Co oznacza 90. centyl wzrostu? Że dziecko jest wyższe lub tak samo wysokie jak około $90\%$ rówieśników tej samej płci, a około $10\%$ jest od niego wyższych. To wynik wysoki, ale mieszczący się w normie.

Co oznacza wynik centylowy na egzaminie ósmoklasisty? Jaki procent zdających w kraju uzyskał wynik taki sam lub niższy. Wynik centylowy $84$ oznacza, że $84\%$ zdających napisało egzamin tak samo albo gorzej, a $16\%$ - lepiej.

Czym różni się mediana od średniej? Średnia uwzględnia wartość każdej danej, więc przesuwa ją nawet jedna skrajna liczba. Mediana zależy tylko od kolejności danych - na wartości odstające prawie nie reaguje.

Jak obliczyć kwartyle? Uporządkuj dane i wyznacz $25.$ i $75.$ centyl: oblicz $p = 0{,}25 \cdot n$ (oraz $0{,}75 \cdot n$ ); gdy $p$ nie jest całkowite, weź daną na miejscu $p$ zaokrąglonym w górę, a gdy jest - średnią danych na miejscach $p$ i $p + 1$ .

Przećwicz

Mediana i dominanta - zadania → - parzysta i nieparzysta liczba danych, tabela liczebności, dopisywanie danych, liczby o danej średniej, medianie i modzie (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
Kwartyle i skala centylowa → - kwartyle z danych i z tabeli, centyle, wynik centylowy egzaminu i siatki centylowe.
Szereg rozdzielczy i dane pogrupowane → - klasa mediany i liczebności skumulowane.
Cały zestaw: statystyka - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

Mediana - środkowa wartość danych uporządkowanych; przy parzystej liczbie danych średnia dwóch środkowych.
Moda - wartość najczęstsza; może ich być kilka albo żadnej; działa też dla cech jakościowych.
Z tabeli medianę odczytujemy liczebnościami skumulowanymi, z szeregu rozdzielczego - klasę mediany.
Kwartyle $Q_1, Q_2, Q_3$ dzielą dane na cztery części; $Q_3 - Q_1$ to rozstęp międzykwartylowy.
$k$ -ty centyl - około $k\%$ danych jest nie większych; skala centylowa opisuje miejsce w grupie (siatki centylowe, wynik centylowy egzaminu).