Jak narysować graniastosłup i ostrosłup - figury płaskie w rzucie równoległym

Klasa 4 liceum i technikum

Rysunek bryły w zeszycie i w podręczniku to jej rzut równoległy na płaszczyznę kartki: każdy punkt bryły przesuwamy wzdłuż jednego, ustalonego kierunku, aż trafi na kartkę. Taki rzut zachowuje równoległość i stosunki odcinków na jednej prostej, ale zniekształca długości i kąty. Dlatego rysujemy według kilku prostych reguł, a wszystkie miary liczymy z prawdziwej bryły, nigdy z rysunku.

Ta lekcja jest praktyczna: pokazuje, jak krok po kroku narysować podstawy - kwadrat, trójkąt równoboczny, sześciokąt foremny, koło - i jak dobudować do nich graniastosłup albo ostrosłup. Teorię rzutu (dlaczego równoległość się zachowuje) znajdziesz w lekcji rzut równoległy na płaszczyznę.

Co zachowuje rzut równoległy, a czego nie

Rzut równoległy to przekształcenie, które prostą przeprowadza na prostą (albo na punkt, gdy prosta jest równoległa do kierunku rzutowania). Stąd trzy własności, z których korzystasz przy każdym rysunku:

1. Odcinki równoległe przechodzą na odcinki równoległe. Kwadrat, prostokąt i romb stają się równoległobokami, a przeciwległe boki sześciokąta foremnego zostają równoległe.
2. Stosunek odcinków na jednej prostej się nie zmienia. Środek odcinka przechodzi na środek obrazu, punkt dzielący odcinek w stosunku $1 : 2$ - na punkt dzielący obraz też w stosunku $1 : 2$.
3. Figura leżąca w płaszczyźnie równoległej do kartki nie jest zniekształcona. Przednia ściana prostopadłościanu wychodzi w prawdziwym kształcie i rozmiarze.

Nie zachowują się natomiast kąty i długości odcinków ustawionych w głąb. Kąt prosty w kwadracie leżącym poziomo ma na rysunku $45^\circ$ albo $135^\circ$, a okrąg zamienia się w elipsę.

Jak narysować kwadrat leżący poziomo

Kwadrat $ABCD$ o boku $4\text{ cm}$ jest podstawą bryły, więc leży poziomo - „na stole”.

1. Rysujesz bok $AB$ z przodu, w prawdziwej długości: $4\text{ cm}$ w poziomie.
2. Z punktu $A$ prowadzisz bok $AD$ w głąb: pod kątem $45^\circ$ do $AB$ i o połowę krótszy, czyli $2\text{ cm}$.
3. Z punktu $B$ prowadzisz $BC$ równoległy do $AD$, tej samej długości, i łączysz $D$ z $C$.

Wychodzi równoległobok o bokach $4\text{ cm}$ i $2\text{ cm}$ i kątach $45^\circ$ oraz $135^\circ$. Przekątne nadal przecinają się w połowie, więc środek kwadratu (spodek wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego) wyznaczysz, rysując przekątne. Tak samo rysujesz prostokąt - dłuższy bok dajesz z przodu, bo wtedy rysunek jest czytelniejszy.

Jak narysować trójkąt równoboczny w rzucie

Trójkąta równobocznego nie da się narysować „od cyrkla”, bo kąty $60^\circ$ zginą. Rysujemy go przez wysokość - to jedyny odcinek, który łatwo ustawić w głąb.

1. Rysujesz podstawę $AB$ w prawdziwej długości i zaznaczasz jej środek $E$.
2. Liczysz wysokość trójkąta: $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Z punktu $E$ prowadzisz odcinek $EC$ w głąb - pod kątem $45^\circ$ i o długości $\frac{h}{2}$.
3. Łączysz $C$ z $A$ i z $B$.
4. Środek trójkąta $O$ leży na wysokości w odległości $\frac{1}{3}h$ od podstawy - zaznaczasz go w jednej trzeciej narysowanego odcinka $EC$, licząc od $E$.

Przykład 1. Narysuj w rzucie równoległym trójkąt równoboczny o boku $6\text{ cm}$ leżący poziomo i zaznacz jego środek.

Wysokość trójkąta: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \approx 5{,}2\text{ cm}$. Na rysunku odcinek $EC$ ma połowę tej długości:

$\tfrac{1}{2}h = \tfrac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2{,}6\text{ cm}, \qquad |EO|_{\text{rysunek}} = \tfrac{1}{3} \cdot 2{,}6 \approx 0{,}87\text{ cm}.$

Odpowiedź. Podstawa $6\text{ cm}$, odcinek $EC$ ok. $2{,}6\text{ cm}$ pod kątem $45^\circ$, środek $O$ ok. $0{,}87\text{ cm}$ od $E$ na odcinku $EC$. Prawdziwa odległość $|EO|$ wynosi $\sqrt{3} \approx 1{,}73\text{ cm}$ - z rysunku jej nie odczytasz, trzeba ją policzyć.

Na rysunku środek $O$ leży też na drugiej środkowej (z wierzchołka $A$ do środka boku $BC$), bo stosunek $2 : 1$ zachowuje się na każdej środkowej. To dobry sprawdzian, czy trójkąt narysowałeś poprawnie.

Jak narysować sześciokąt foremny

Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z sześciu trójkątów równobocznych o wspólnym wierzchołku w środku $O$. Najprościej rysować go od przekątnych:

1. Rysujesz poziomą przekątną $AD$ o długości $2a$ i jej środek $O$.
2. Przez $O$ prowadzisz dwie pozostałe długie przekątne $BE$ i $CF$ - każda ma długość $2a$ w rzeczywistości, a na rysunku dzieli się w punkcie $O$ na połowy.
3. Łączysz kolejne wierzchołki. Sprawdzian: boki $BC$ i $EF$ muszą wyjść równoległe do $AD$, a przeciwległe boki - równoległe do siebie.

Wygodny skrót: wierzchołki $B$ i $C$ leżą w głębi na wysokości trójkąta równobocznego $OAB$, czyli w odległości $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ od prostej $AD$ - na rysunku połowa tego, pod kątem $45^\circ$. Środek $O$ jest spodkiem wysokości ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Jak narysować koło (okrąg) w rzucie równoległym

Okrąg leżący poziomo widzimy jako elipsę. Żeby ją narysować porządnie, a nie „na oko”:

1. Rysujesz kwadrat opisany na okręgu - w rzucie jest to równoległobok.
2. Zaznaczasz środki jego boków - to punkty $A$, $B$, $C$, $D$, w których okrąg dotyka kwadratu.
3. Prowadzisz elipsę przez te cztery punkty tak, by w każdym z nich dotykała boku równoległoboku.

Średnice $AB$ i $CD$ są w rzeczywistości prostopadłe, a na rysunku przecinają się pod kątem $45^\circ$. Nadal jednak środek $O$ dzieli każdą średnicę na połowy - to wystarczy, by narysować podstawę walca lub stożka. W praktyce szkolnej elipsę często rysuje się prościej, z poziomą dłuższą osią; ważne, żeby była symetryczna względem środka $O$. Bryły obrotowe omawia strona walec, stożek i kula.

Jak narysować ostrosłup krok po kroku

Każdy ostrosłup rysujesz w tej samej kolejności: podstawa → spodek wysokości → wysokość → krawędzie boczne → linie niewidoczne.

1. Podstawa. Rysujesz wielokąt podstawy w rzucie, jak w sekcjach wyżej.
2. Spodek wysokości. W ostrosłupie prawidłowym to środek podstawy: przecięcie przekątnych kwadratu, środek trójkąta równobocznego (jedna trzecia wysokości od boku), środek sześciokąta.
3. Wysokość. Z tego punktu prowadzisz pionowy odcinek $SO$ w prawdziwej długości $H$ - pionowe odcinki się nie skracają. Pionowo wysokość rysujemy zawsze, także w ostrosłupie pochyłym (wtedy spodek $O$ leży gdzie indziej, ale $SO$ nadal jest pionowe).
4. Krawędzie boczne. Łączysz $S$ z każdym wierzchołkiem podstawy.
5. Widoczność. Krawędzie, które zasłania bryła, zamieniasz na linie przerywane. W ostrosłupie czworokątnym niewidoczne są zwykle dwa tylne boki podstawy i tylna krawędź boczna; wysokość $SO$, przekątne podstawy i odcinki we wnętrzu bryły też rysujesz linią przerywaną.

Jak narysować graniastosłup

Graniastosłup prosty to dwie przystające podstawy połączone pionowymi krawędziami.

1. Rysujesz dolną podstawę w rzucie.
2. Z każdego wierzchołka prowadzisz pionowy odcinek długości $H$ (wysokość graniastosłupa prostego to jego krawędź boczna) - w prawdziwej długości.
3. Łączysz końce tych odcinków: wychodzi górna podstawa, identyczna jak dolna, tylko przesunięta w górę.
4. Krawędzie wychodzące z wierzchołka położonego najgłębiej rysujesz przerywaną.

W prostopadłościanie i sześcianie przednią ścianę rysujesz w prawdziwym kształcie (prostokąt lub kwadrat), a krawędzie w głąb - pod kątem $45^\circ$ i o połowę krótsze. Niewidoczny jest jeden wierzchołek z tyłu u dołu i trzy wychodzące z niego krawędzie.

Na co uważać przy rysunku

• Nie mierz kątów na rysunku. Kąt między przekątną a podstawą prostopadłościanu, kąt dwuścienny, kąt w podstawie - wszystkie wychodzą na rysunku inne niż w rzeczywistości. Liczysz je z trójkątów prostokątnych (lekcja kąt między prostą a płaszczyzną i kąt dwuścienny).
• Zaznaczaj kąty proste w trójkątach, z których liczysz (wysokość z podstawą, wysokość ściany z krawędzią podstawy) - na rysunku tych kątów prostych nie widać.
• Unikaj nakładania się linii. Jeśli przekątna przechodzi dokładnie przez wierzchołek albo pokrywa się z krawędzią, zmień proporcje (np. wyższy graniastosłup) - rysunek ma pomagać.
• Trójkąty z obliczeń rysuj obok w prawdziwym kształcie. Przekrój czy trójkąt $SOE$ w osobnym rysunku płaskim widać bez zniekształceń - to tam stosujesz twierdzenie Pitagorasa i trygonometrię.

Przykład 2. Narysuj sześcian o krawędzi $4\text{ cm}$. Jakie długości mają na rysunku jego krawędzie?

Przednią ścianę rysujesz jako kwadrat $4\text{ cm} \times 4\text{ cm}$. Cztery krawędzie biegnące w głąb rysujesz pod kątem $45^\circ$, każdą o długości $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2\text{ cm}$. Tylna ściana to znów kwadrat $4 \times 4$, przesunięty w prawo i w górę.

Odpowiedź. Osiem krawędzi (przednia i tylna ściana) ma na rysunku $4\text{ cm}$, cztery krawędzie w głąb - $2\text{ cm}$. Wszystkie dwanaście krawędzi w rzeczywistości ma po $4\text{ cm}$.

Najczęstsze pytania

Jak narysować graniastosłup prawidłowy trójkątny? Narysuj trójkąt równoboczny podstawy przez wysokość: podstawę w prawdziwej długości, wysokość w głąb pod kątem $45^\circ$ i o połowę krótszą. Potem z każdego wierzchołka poprowadź pionowo krawędź boczną długości $H$ i połącz jej końce. Krawędzie przy tylnym wierzchołku są przerywane.

Jak narysować ostrosłup prawidłowy czworokątny? Kwadrat podstawy narysuj jako równoległobok, poprowadź przekątne - ich przecięcie to spodek wysokości $O$. Z $O$ poprowadź pionowo wysokość $SO$ i połącz $S$ z wierzchołkami podstawy. Tylne krawędzie i wysokość rysuj przerywaną.

Dlaczego krawędzie w głąb rysuje się krótsze? Bo tak wygląda rzut ukośny, który najbardziej przypomina to, co widzi oko: przedmioty ustawione w głąb wydają się krótsze. Skrót o połowę pod kątem $45^\circ$ to umowa - ważne, żeby w jednym rysunku stosować ją konsekwentnie.

Czy w rzucie równoległym kąt prosty zostaje prosty? Tylko wtedy, gdy oba ramiona leżą w płaszczyźnie równoległej do kartki (np. kąt w przedniej ścianie prostopadłościanu). Kąt prosty w podstawie leżącej poziomo wychodzi na rysunku jako $45^\circ$ lub $135^\circ$.

Jak narysować koło w rzucie równoległym? Jako elipsę wpisaną w równoległobok, którym w rzucie jest kwadrat opisany na kole. Elipsa dotyka boków równoległoboku w ich środkach.

Które krawędzie rysuje się linią przerywaną? Te, których nie widać, bo zasłaniają je ściany bryły, oraz odcinki leżące wewnątrz bryły (wysokość ostrosłupa, przekątna prostopadłościanu, przekątne podstawy). Linia przerywana nie znaczy „krótsza” - to zwykła krawędź, tylko schowana.

Przećwicz

• Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - położenie krawędzi, proste skośne, rzut odcinka i twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.
• Kąt między prostą a płaszczyzną → - zadania, w których rysunek z zaznaczonym kątem prostym jest połową sukcesu.
• Kąt dwuścienny → - kąt między ścianą boczną a podstawą i między dwiema ścianami.

Wszystkie typy zadań: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Rysunek bryły to jej rzut równoległy: zachowuje równoległość, środki odcinków i stosunki odcinków na jednej prostej, ale nie zachowuje kątów ani długości odcinków w głąb.
• Odcinki w głąb rysujemy pod kątem $45^\circ$ i skracamy o połowę; pionowe i poziome odcinki z przodu - bez zmian.
• Kwadrat → równoległobok, trójkąt równoboczny → przez wysokość w głąb, sześciokąt foremny → od trzech przekątnych przez środek, okrąg → elipsa wpisana w równoległobok.
• Ostrosłup: podstawa → spodek wysokości → pionowa wysokość → krawędzie boczne → linie niewidoczne. Graniastosłup: podstawa → pionowe krawędzie → górna podstawa.
• Miary (długości, kąty) zawsze liczymy z prawdziwej bryły, nie z rysunku.