Siatka wielościanu i pole powierzchni - graniastosłup, ostrosłup, sześcian

Klasa 4 liceum i technikum

Siatka wielościanu to figura płaska złożona ze wszystkich ścian wielościanu, połączonych krawędziami tak, że po zagięciu wzdłuż tych krawędzi da się z niej skleić ten wielościan. Pole powierzchni wielościanu to suma pól wszystkich jego ścian - czyli pole jego siatki.

Właśnie dlatego siatka jest najlepszym narzędziem do liczenia pól: zamiast myśleć o bryle, liczysz pola znanych figur płaskich - prostokątów, trójkątów, wielokątów foremnych. Wzory na pola tych figur przypomina rozdział pola figur płaskich, a o samych bryłach - graniastosłupach i ostrosłupach - są osobne lekcje.

Siatka sześcianu

Sześcian ma sześć ścian - przystających kwadratów - więc jego siatka składa się z sześciu kwadratów. Nie każdy układ sześciu kwadratów jest jednak siatką sześcianu. Pasek pięciu kwadratów z szóstym doklejonym z boku się nie skleja (dwa kwadraty paska trafiłyby na tę samą ścianę), podobnie jak układ zawierający kwadrat $2 \times 2$.

Ile siatek ma sześcian

Sześcian ma jedenaście różnych siatek (siatki różniące się tylko obrotem lub odbiciem lustrzanym liczymy jako jedną).

Łatwo je zapamiętać w czterech grupach:

• 1-4-1 (6 siatek): pasek czterech kwadratów i po jednym kwadracie nad nim i pod nim - w różnych położeniach;
• 2-3-1 (3 siatki): dwa kwadraty, pod nimi trzy (pierwszy z nich pod drugim z pary), a pod spodem jeden;
• 2-2-2 (1 siatka): „schodki”;
• 3-3 (1 siatka): dwa paski po trzy kwadraty, przesunięte o dwa.

Skąd pewność, że jest ich dokładnie $11$? Figur złożonych z sześciu kwadratów sklejonych bokami (tzw. heksomin) jest $35$. Sprawdziliśmy wszystkie, symulując toczenie kostki po każdej figurze: tylko w jedenastu przypadkach każdy kwadrat trafia na inną ścianę sześcianu.

Jak sprawdzić, czy figura jest siatką sześcianu? Wybierz jeden kwadrat jako dno i w myślach zaginaj sąsiednie kwadraty do góry. Jeśli dwa kwadraty trafiają na tę samą ścianę albo jakaś ściana zostaje pusta - to nie jest siatka. W poprawnej siatce kwadraty naprzeciwległe w sześcianie nie mają wspólnego boku: w pasku czterech kwadratów naprzeciw siebie leżą pierwszy i trzeci oraz drugi i czwarty.

Przykład 1. Sześcian ma krawędź $5$. Oblicz pole jego powierzchni.

$P = 6a^2 = 6 \cdot 25 = 150.$

Przykład 2. Pole powierzchni sześcianu wynosi $96$. Oblicz długość jego przekątnej.

$6a^2 = 96 \;\Rightarrow\; a^2 = 16 \;\Rightarrow\; a = 4, \qquad d = a\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$

Siatka i pole prostopadłościanu

Ściany prostopadłościanu tworzą trzy pary przystających prostokątów: $a \times b$, $b \times c$ i $a \times c$. Stąd

$P = 2ab + 2bc + 2ac = 2(ab + bc + ac).$

Na siatce widać też drugi sposób: ściany boczne tworzą jeden długi prostokąt o wysokości $c$ i długości równej obwodowi podstawy $2a + 2b$. Pole powierzchni bocznej to obwód podstawy razy wysokość, a do tego dochodzą dwie podstawy.

Przykład 3. Oblicz pole powierzchni prostopadłościanu o krawędziach $3$, $4$ i $5$.

$P = 2(3 \cdot 4 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 \cdot 47 = 94.$

Przykład 4. Pudełko bez pokrywki ma kształt prostopadłościanu o wymiarach dna $30\,\text{cm} \times 20\,\text{cm}$ i wysokości $10\,\text{cm}$. Ile tektury potrzeba na jego wykonanie (bez zakładek)?

Pudełko ma jedno dno i cztery ściany boczne - pokrywki nie liczymy:

$P = 30 \cdot 20 + 2 \cdot 30 \cdot 10 + 2 \cdot 20 \cdot 10 = 600 + 600 + 400 = 1600\,\text{cm}^2.$

Odpowiedź. $1600\,\text{cm}^2$, czyli $0{,}16\,\text{m}^2$. W zadaniach praktycznych zawsze sprawdź, których ścian naprawdę brakuje: akwarium nie ma pokrywy, a rynna - ani pokrywy, ani dwóch ścian czołowych.

Pole powierzchni graniastosłupa

Każdy graniastosłup ma dwie przystające podstawy, więc

$P_c = 2P_p + P_b.$

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami o wspólnej wysokości $H$ - rozłożone tworzą jeden prostokąt o długości równej obwodowi podstawy. Dlatego $P_b = \text{obwód} \cdot H$.

Przykład 5. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $10$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Krok 1. Podstawa to trójkąt równoboczny: $P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$.

Krok 2. Ściany boczne to trzy prostokąty $4 \times 10$: $P_b = 3 \cdot 4 \cdot 10 = 120$.

Krok 3. $P_c = 2 \cdot 4\sqrt{3} + 120 = 120 + 8\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $P_c = 120 + 8\sqrt{3}$.

Przykład 6. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $2$ i wysokość $5$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Sześciokąt foremny to sześć trójkątów równobocznych: $P_p = 6 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}$. Ściany boczne: $P_b = 6 \cdot 2 \cdot 5 = 60$.

$P_c = 2 \cdot 6\sqrt{3} + 60 = 60 + 12\sqrt{3}.$

Pole powierzchni ostrosłupa

Ostrosłup ma jedną podstawę, więc $P_c = P_p + P_b$. W ostrosłupie prawidłowym ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi o podstawie $a$ i wysokości $h$ (wysokości ściany bocznej, nie ostrosłupa!):

$P_b = n \cdot \frac{1}{2} a h.$

Najczęstszy błąd: wstawienie do wzoru na pole ściany wysokości ostrosłupa $H$ zamiast wysokości ściany $h$. Na siatce od razu widać, że $H$ w ogóle nie występuje - jest tylko $h$. Jeśli w zadaniu dano $H$, wysokość ściany trzeba najpierw policzyć z trójkąta $SOE$: $h = \sqrt{H^2 + r^2}$ (patrz lekcja o ostrosłupach).

Przykład 7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Krok 1. Wysokość ściany bocznej: $r = \frac{a}{2} = 3$, $h = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 2. $P_b = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 60$, $P_p = 6^2 = 36$.

Krok 3. $P_c = 36 + 60 = 96$.

Odpowiedź. $P_c = 96$.

Przykład 8. Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ i krawędź boczną $5$. Oblicz pole powierzchni całkowitej.

Krok 1. Wysokość ściany bocznej z trójkąta $SEB$ (połowa krawędzi podstawy, krawędź boczna): $h = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$.

Krok 2. $P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 36$, $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $P_c = 36 + 9\sqrt{3}$.

Przykład 9. Oblicz pole powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi $4$.

Cztery trójkąty równoboczne: $P = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}$.

Jak liczyć pole powierzchni - schemat

1. Narysuj siatkę (choćby szkic) i nazwij figury, z których się składa.
2. Policz podstawy: w graniastosłupie dwie, w ostrosłupie jedną.
3. Policz ściany boczne: w graniastosłupie prostym obwód podstawy razy $H$; w ostrosłupie prawidłowym $n \cdot \frac{1}{2} a h$, gdzie $h$ to wysokość ściany.
4. Brakujące długości (wysokość ściany, krawędź) wyznacz z trójkątów prostokątnych w bryle - najczęściej z twierdzenia Pitagorasa albo z funkcji trygonometrycznych.
5. Sprawdź jednostki: pole ma jednostki kwadratowe ($\text{cm}^2$, $\text{m}^2$).

Pola powierzchni walca, stożka i kuli - brył, które nie mają siatki złożonej z wielokątów - są na stronie bryły obrotowe.

Najczęstsze pytania

Ile siatek ma sześcian? Jedenaście. Sześć ma pasek czterech kwadratów (układ 1-4-1), trzy układ 2-3-1, jedna to „schodki” 2-2-2 i jedna - dwa paski po trzy kwadraty.

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa?$P_c = 2P_p + P_b$: dwa pola podstawy plus pole powierzchni bocznej. W graniastosłupie prostym $P_b$ to obwód podstawy razy wysokość.

Jak obliczyć pole powierzchni ostrosłupa?$P_c = P_p + P_b$: jedna podstawa plus suma pól ścian bocznych. W ostrosłupie prawidłowym $P_b = n \cdot \frac{1}{2} a h$, gdzie $h$ to wysokość ściany bocznej.

Jak obliczyć pole powierzchni prostopadłościanu?$P = 2(ab + bc + ac)$ - dwa razy suma pól trzech różnych ścian. Dla krawędzi $3$, $4$, $5$ wychodzi $94$.

Ile wynosi pole powierzchni sześcianu?$P = 6a^2$. Sześcian o krawędzi $5$ ma pole $150$.

Czym różni się pole powierzchni bocznej od całkowitej? Pole boczne to suma pól samych ścian bocznych, bez podstaw. Pole całkowite to pole boczne plus podstawy (dwie w graniastosłupie, jedna w ostrosłupie).

Czy siatka ostrosłupa może mieć różne kształty? Tak - trójkąty ścian bocznych można doklejać do podstawy albo do siebie nawzajem (np. wachlarzem przy jednym boku podstawy). Pole każdej siatki tego samego ostrosłupa jest takie samo.

Przećwicz

• Siatka i pole powierzchni wielościanu → - siatki sześcianu, pole sześcianu i prostopadłościanu, pole graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego, zadania praktyczne (pudełko, akwarium).
• Graniastosłupy → i Ostrosłupy → - długości potrzebne do obliczenia pola: przekątne, wysokość ściany bocznej, krawędź boczna.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Siatka wielościanu to jego ściany rozłożone na płaszczyźnie; pole siatki = pole powierzchni bryły.
• Sześcian ma $11$ różnych siatek.
• Graniastosłup: $P_c = 2P_p + P_b$, w prostym $P_b = \text{obwód} \cdot H$.
• Ostrosłup: $P_c = P_p + P_b$, w prawidłowym $P_b = n \cdot \frac{1}{2} a h$ - z wysokością ściany $h$, nie ostrosłupa.
• Sześcian $6a^2$, prostopadłościan $2(ab + bc + ac)$, czworościan foremny $a^2\sqrt{3}$.