Schemat Bernoulliego - wzór, przykłady i najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów

Klasa 4 liceum i technikum

Schemat Bernoulliego to model doświadczenia, w którym tę samą próbę o dwóch wynikach - sukcesie z prawdopodobieństwem $p$ i porażce z prawdopodobieństwem $q = 1 - p$ - powtarzamy $n$ razy niezależnie. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie $k$ sukcesów wynosi $P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$. Na przykład prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie dwóch szóstek w pięciu rzutach kostką to $\binom{5}{2} \left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \left(\tfrac{5}{6}\right)^3 \approx 0{,}161$.

Schemat nosi imię Jakoba Bernoulliego, autora wydanej pośmiertnie w 1713 roku „Ars Conjectandi”, w której udowodnił pierwszą wersję prawa wielkich liczb.

Kiedy można stosować schemat Bernoulliego

Muszą być spełnione trzy warunki:

1. dwa wyniki każdej próby - sukces albo porażka (co uznajemy za sukces, wybieramy sami: szóstka, orzeł, trafienie, wadliwy produkt);
2. stałe $p$ w każdej próbie;
3. niezależność prób.

Rzuty kostką, monetą, strzały do tarczy, losowanie ze zwracaniem - pasują. Losowanie bez zwracania - nie pasuje, bo skład urny i $p$ zmieniają się z próby na próbę (wtedy liczymy kombinacjami albo drzewkiem).

Skąd wzór

Weźmy $n = 5$ rzutów kostką i sukces „szóstka” ($p = \tfrac{1}{6}$). Ile wynosi prawdopodobieństwo dokładnie dwóch szóstek?

Krok 1. Jeden konkretny ciąg. Na przykład S, S, P, P, P (szóstki w dwóch pierwszych rzutach). Rzuty są niezależne, więc mnożymy: $\tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{1}{6} \cdot \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{5}{6} \cdot \tfrac{5}{6} = p^2 q^3$. Każdy ciąg z dwoma sukcesami ma to samo prawdopodobieństwo $p^2 q^3$ - zmienia się tylko kolejność czynników.

Krok 2. Ile jest takich ciągów. Wybieramy, w których $2$ z $5$ rzutów wypadły szóstki: $\binom{5}{2} = 10$ sposobów.

Krok 3. Ciągi wykluczają się, więc dodajemy $10$ jednakowych składników:

$P(S_5 = 2) = \binom{5}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888} \approx 0{,}161.$

Ogólnie: $p^k q^{n-k}$ to prawdopodobieństwo jednego ciągu, $\binom{n}{k}$ - liczba ciągów. Stąd wzór.

Rozkład liczby sukcesów

Dla $n = 5$ i $p = \tfrac{1}{6}$ policzmy wszystkie wartości (wspólny mianownik $6^5 = 7776$):

Liczniki sumują się do $7776$, czyli prawdopodobieństwa do $1$ - to rozwinięcie $(q + p)^5 = 1$ z dwumianu Newtona. Dlatego taki rozkład nazywa się dwumianowym. Przy dużym $n$ jego wykres przybiera kształt dzwonu - to treść centralnego twierdzenia granicznego (w symulatorze widać, jak słupki układają się w krzywą Gaussa).

Co najmniej jeden sukces

Zdarzenie przeciwne do „co najmniej jeden sukces” to „same porażki”, którego prawdopodobieństwo wynosi $q^n$:

$P(S_n \ge 1) = 1 - q^n.$

Przykład 1 (zakład kawalera de Méré). W XVII wieku kawaler de Méré obstawiał, że w $4$ rzutach kostką wypadnie co najmniej jedna szóstka - i wygrywał:

$1 - \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 - \frac{625}{1296} = \frac{671}{1296} \approx 0{,}518 > \frac{1}{2}.$

Potem zaczął obstawiać co najmniej jedną parę szóstek w $24$ rzutach dwiema kostkami i przegrywał: $1 - \left(\tfrac{35}{36}\right)^{24} \approx 0{,}491$. Ten problem (razem z zagadnieniem podziału stawki w przerwanej grze) trafił do Blaise’a Pascala, a jego korespondencja z Fermatem w 1654 roku uchodzi za początek rachunku prawdopodobieństwa.

Przykład 2 (ile prób potrzeba). Ile razy trzeba rzucić kostką, żeby prawdopodobieństwo wyrzucenia co najmniej jednej szóstki przekroczyło $0{,}9$?

Szukamy najmniejszego $n$, dla którego $1 - \left(\tfrac{5}{6}\right)^n > 0{,}9$, czyli $\left(\tfrac{5}{6}\right)^n < 0{,}1$. Logarytmując: $n > \tfrac{\log 0{,}1}{\log (5/6)} \approx 12{,}63$. Sprawdzenie: $\left(\tfrac{5}{6}\right)^{12} \approx 0{,}112$ (za mało), $\left(\tfrac{5}{6}\right)^{13} \approx 0{,}093$ (wystarczy).

Odpowiedź: $13$ rzutów. (Uwaga: dzielenie przez ujemny $\log \tfrac{5}{6}$ odwraca nierówność.)

Co najmniej k i co najwyżej k

„Co najmniej $k$” i „co najwyżej $k$” to sumy kilku wyrazów wzoru Bernoulliego.

Przykład 3. Test ma $10$ pytań, każde z $4$ odpowiedziami, z których jedna jest dobra. Uczeń zgaduje wszystkie odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi co najmniej $8$?

Tu $n = 10$, $p = \tfrac{1}{4}$, $q = \tfrac{3}{4}$, więc $p^k q^{10-k} = \tfrac{3^{10-k}}{4^{10}}$:

$P(S_{10} \ge 8) = \binom{10}{8} \frac{3^2}{4^{10}} + \binom{10}{9} \frac{3}{4^{10}} + \binom{10}{10} \frac{1}{4^{10}}$

$= \frac{45 \cdot 9 + 10 \cdot 3 + 1}{1\,048\,576} = \frac{436}{1\,048\,576} = \frac{109}{262\,144} \approx 0{,}0004.$

Zgadywanie daje „dobrą ocenę” średnio raz na ponad $2400$ prób. Przy „co najwyżej” działamy tak samo, a gdy składników jest dużo - liczymy przez zdarzenie przeciwne.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów

W tabeli wyżej najbardziej prawdopodobne są $0$ i $1$ szóstka - remis. Ogólna reguła: porównujemy kolejne wyrazy rozkładu. Iloraz

$\frac{P(S_n = k+1)}{P(S_n = k)} = \frac{n - k}{k + 1} \cdot \frac{p}{q}$

jest większy od $1$ dokładnie wtedy, gdy $k < (n+1)p - 1$. Rozkład rośnie, dopóki $k$ nie dojdzie do $(n+1)p$, a potem maleje. Stąd: jeśli $(n+1)p$ nie jest liczbą całkowitą, najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów to $\lfloor (n+1)p \rfloor$, a jeśli jest - są dwie: $(n+1)p - 1$ i $(n+1)p$. Dla $n = 5$, $p = \tfrac{1}{6}$: $(n+1)p = 1$, więc remis $k = 0$ i $k = 1$ - zgodnie z tabelą.

Typowe błędy

• Brak $\binom{n}{k}$ - liczymy prawdopodobieństwo jednego ciągu zamiast wszystkich.
• Schemat Bernoulliego przy losowaniu bez zwracania - próby nie są niezależne.
• „Co najmniej jeden” liczone jako $n \cdot p$ - np. $4 \cdot \tfrac{1}{6} = \tfrac{2}{3}$ zamiast $0{,}518$. (Przy $6$ rzutach wyszłoby nawet $1$, czyli „pewność” - absurd.)
• Pomylenie $p$ z $q$ albo wykładników $k$ i $n - k$.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór Bernoulliego?$P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ - prawdopodobieństwo dokładnie $k$ sukcesów w $n$ niezależnych próbach, gdy sukces w jednej próbie ma prawdopodobieństwo $p$.

Kiedy stosuje się schemat Bernoulliego? Gdy powtarzamy niezależnie tę samą próbę o dwóch wynikach ze stałym prawdopodobieństwem sukcesu: rzuty kostką i monetą, strzały, losowanie ze zwracaniem, kontrola losowo wybranych produktów.

Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie 2 szóstek w 5 rzutach?$\binom{5}{2} \left(\tfrac{1}{6}\right)^2 \left(\tfrac{5}{6}\right)^3 = \tfrac{625}{3888} \approx 0{,}161$.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo co najmniej jednego sukcesu w schemacie Bernoulliego?$1 - q^n$, gdzie $q = 1 - p$. Na przykład co najmniej jedna szóstka w $4$ rzutach: $1 - \left(\tfrac{5}{6}\right)^4 \approx 0{,}518$.

Ile wynosi średnia liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego?$n \cdot p$ - to wartość oczekiwana liczby sukcesów. Dla $5$ rzutów kostką średnio $\tfrac{5}{6}$ szóstki. Wyprowadzenie jest w następnej lekcji.

Przećwicz

• Schemat Bernoulliego - zadania → - dokładnie k orłów i szóstek, rzuty karne, „co najmniej jeden” i „co najwyżej”, test zgadywany na ślepo, najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów, ile rzutów do szansy ponad 90% (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Schemat Bernoulliego: $n$ niezależnych prób, w każdej sukces z tym samym $p$.
• $P(S_n = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: prawdopodobieństwo jednego ciągu razy liczba ciągów.
• Co najmniej jeden sukces: $1 - q^n$; „co najmniej $k$” i „co najwyżej $k$” to sumy wyrazów.
• Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów leży przy $(n+1)p$.
• Losowanie bez zwracania nie jest schematem Bernoulliego.