Nierówności logarytmiczne - jak rozwiązywać, podstawa mniejsza od 1

Klasa 4 liceum i technikum

Nierówność logarytmiczna to nierówność, w której niewiadoma występuje pod logarytmem, np. $\log_{1/2} x > -1$. Rozwiązuje się ją jak równanie logarytmiczne, z jedną różnicą: opuszczając logarytmy, zachowujemy zwrot nierówności, gdy podstawa jest większa od 1, i zmieniamy go, gdy podstawa leży między 0 a 1 - bo funkcja logarytmiczna jest wtedy malejąca.

Ta reguła to wprost monotoniczność funkcji logarytmicznej, omówiona w lekcji funkcja logarytmiczna - monotoniczność i porównywanie logarytmów. Metody sprowadzania do jednego logarytmu są te same co w równaniach logarytmicznych.

Schemat rozwiązywania w czterech krokach

1. Dziedzina - wszystkie liczby logarytmowane dodatnie.
2. Jedna podstawa po obu stronach - liczbę zapisujemy jako logarytm: $2 = \log_3 9$, $-1 = \log_{1/2} 2$.
3. Opuszczamy logarytmy - zwrot zostaje dla $a > 1$, zmienia się dla $0 < a < 1$.
4. Część wspólna z dziedziną - to jest odpowiedź.

Krok 4 jest tu ważniejszy niż w równaniach: rozwiązaniem jest cały przedział, więc nie da się „sprawdzić” pojedynczej liczby - trzeba przeciąć zbiory.

Podstawa większa od 1: zwrot zostaje

Przykład 1. Rozwiąż $\log_3(2x - 1) < 2$.

Krok 1. Dziedzina. $2x - 1 > 0$, czyli $x > \frac{1}{2}$.

Krok 2. $2 = \log_3 9$, więc $\log_3(2x - 1) < \log_3 9$.

Krok 3. Podstawa $3 > 1$ - zwrot zostaje: $2x - 1 < 9$, czyli $x < 5$.

Krok 4. Z dziedziną: $\frac{1}{2} < x < 5$.

Odpowiedź. $x \in \left(\frac{1}{2}, 5\right)$.

Podstawa mniejsza od 1: zwrot się zmienia

Przykład 2. Rozwiąż $\log_{1/2} x > -1$.

Krok 1. Dziedzina: $x > 0$.

Krok 2. $-1 = \log_{1/2} 2$, bo $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2$.

Krok 3. Podstawa $\frac{1}{2} < 1$ - zmieniamy zwrot: $x < 2$.

Odpowiedź. $x \in (0, 2)$. Rysunek pokazuje, dlaczego: malejący wykres leży nad prostą $y = -1$ na lewo od punktu przecięcia.

Przykład 3. Rozwiąż $\log_{1/3}(x - 2) \ge -2$.

Krok 1. Dziedzina: $x > 2$.

Krok 2. $-2 = \log_{1/3} 9$, bo $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$.

Krok 3. Zmiana zwrotu: $x - 2 \le 9$, czyli $x \le 11$.

Odpowiedź. $x \in (2, 11]$ - prawy koniec należy do zbioru, bo nierówność jest nieostra, a lewy nie, bo wyklucza go dziedzina.

Suma logarytmów

Przykład 4. Rozwiąż $\log_3 x + \log_3(x + 6) < 3$.

Krok 1. Dziedzina. $x > 0$ i $x + 6 > 0$, czyli $x > 0$.

Krok 2. $\log_3\big(x(x + 6)\big) < \log_3 27$.

Krok 3. Zwrot zostaje: $x^2 + 6x - 27 < 0$, czyli $(x + 9)(x - 3) < 0$, $x \in (-9, 3)$.

Krok 4. Z dziedziną $x > 0$: $x \in (0, 3)$.

Odpowiedź. $x \in (0, 3)$. Bez kroku 4 odpowiedź obejmowałaby liczby ujemne, dla których $\log_3 x$ w ogóle nie istnieje.

Nierówność podwójna

Przykład 5. Rozwiąż $1 \le \log_2(x + 1) < 3$.

Zapisujemy skrajne liczby jako logarytmy o podstawie $2$: $\log_2 2 \le \log_2(x + 1) < \log_2 8$. Podstawa $2 > 1$, więc $2 \le x + 1 < 8$, czyli $1 \le x < 7$. Dziedzina $x > -1$ niczego nie zmienia.

Odpowiedź. $x \in [1, 7)$.

Podstawienie

Przykład 6. Rozwiąż $(\log_2 x)^2 - 2\log_2 x - 3 > 0$.

Krok 1. Dziedzina: $x > 0$.

Krok 2. $t = \log_2 x$: $t^2 - 2t - 3 > 0$, $(t - 3)(t + 1) > 0$, więc $t < -1$ lub $t > 3$.

Krok 3. Powrót do $x$. $\log_2 x < -1 \iff 0 < x < \frac{1}{2}$ oraz $\log_2 x > 3 \iff x > 8$.

Odpowiedź. $x \in \left(0, \frac{1}{2}\right) \cup (8, +\infty)$.

Nierówność wykładnicza rozwiązywana logarytmem

Gdy niewiadoma jest w wykładniku, logarytmujemy obie strony. Uwaga na dzielenie przez logarytm ujemny - wtedy też zmienia się zwrot.

Przykład 7. Dla jakich naturalnych $n$ zachodzi $0{,}9^n < 0{,}5$?

Krok 1. Logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą, więc zwrot zostaje: $n \log 0{,}9 < \log 0{,}5$.

Krok 2. $\log 0{,}9 < 0$, więc dzieląc przez niego, zmieniamy zwrot:

$n > \frac{\log 0{,}5}{\log 0{,}9} \approx 6{,}58.$

Krok 3. Najmniejsza liczba naturalna to $n = 7$. Sprawdzenie: $0{,}9^6 \approx 0{,}531$, a $0{,}9^7 \approx 0{,}478$.

Odpowiedź. $n \ge 7$. Tak liczy się np., po ilu latach maszyna traci połowę wartości przy spadku o 10% rocznie - więcej w lekcji logarytm w zadaniach praktycznych.

Typowe błędy

• Zwrot nie zmieniony przy podstawie mniejszej od 1 - to najczęstszy błąd w tym temacie.
• Brak części wspólnej z dziedziną - jak w przykładzie 4.
• Dzielenie przez $\log 0{,}9$ bez zmiany zwrotu - logarytm liczby z przedziału $(0, 1)$ jest ujemny.
• Zapisanie liczby jako logarytmu o złej podstawie, np. $-1 = \log_{1/2}\frac{1}{2}$ (a powinno być $\log_{1/2} 2$).

Najczęstsze pytania

Kiedy w nierówności logarytmicznej zmienia się znak? Gdy podstawa logarytmu leży w przedziale $(0, 1)$, np. $\log_{1/2}$ albo $\log_{0{,}3}$. Funkcja logarytmiczna jest wtedy malejąca, więc większy logarytm odpowiada mniejszej liczbie.

Jak rozwiązać nierówność log₁/₂x > −1? Dziedzina $x > 0$; $-1 = \log_{1/2} 2$; podstawa mniejsza od $1$, więc $x < 2$. Odpowiedź: $x \in (0, 2)$.

Czy w nierównościach logarytmicznych trzeba wyznaczać dziedzinę? Tak, zawsze. Rozwiązanie to część wspólna zbioru z ostatniego kroku i dziedziny - bez niej w odpowiedzi znajdą się liczby, dla których logarytm nie istnieje.

Jak zapisać liczbę jako logarytm? Ze wzoru $c = \log_a a^c$: $2 = \log_3 9$, $-2 = \log_{1/3} 9$, $1 = \log_5 5$, $0 = \log_a 1$.

Jak rozwiązać nierówność 0,9ⁿ < 0,5? Zlogarytmuj: $n\log 0{,}9 < \log 0{,}5$, a potem podziel przez ujemne $\log 0{,}9$ ze zmianą zwrotu: $n > 6{,}58$, czyli $n \ge 7$.

Przećwicz

• Nierówności logarytmiczne - zadania → - 10 nierówności: podstawa większa i mniejsza od 1, suma logarytmów, nierówność podwójna, podstawienie, różne podstawy, najmniejsze $n$ z nierówności wykładniczej, dziedzina funkcji z pierwiastkiem i niewiadoma w podstawie.
• Cały zestaw: logarytmy - zadania →

Podsumowanie

• Podstawa $a > 1$ - zwrot zostaje; $0 < a < 1$ - zwrot się zmienia.
• Liczbę zapisujemy jako logarytm: $c = \log_a a^c$.
• Odpowiedź to zawsze część wspólna z dziedziną.
• Dzielenie przez logarytm liczby z przedziału $(0, 1)$ (liczbę ujemną) zmienia zwrot.
• Dalej: logarytm w zadaniach praktycznych.