Potęga o wykładniku rzeczywistym - powtórzenie przed funkcją wykładniczą

Klasa 4 liceum i technikum

Potęga o wykładniku rzeczywistym $a^x$ to liczba określona dla każdej podstawy $a > 0$ i każdego rzeczywistego wykładnika $x$ - także niewymiernego, jak $\sqrt{2}$ czy $\pi$. Dla takich potęg obowiązują wszystkie znane prawa działań, a ich wartość jest zawsze dodatnia.

To lekcja-powtórzenie. Szczegółowo potęgi omawiają lekcje z klasy pierwszej: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym, potęga o wykładniku wymiernym i potęga o wykładniku rzeczywistym (tam jest wyjaśnione, skąd się bierze $2^{\sqrt{2}}$). Tutaj zbieramy tylko to, czego w całym rozdziale o funkcji wykładniczej będziemy używać na każdym kroku: zapisywanie liczb jako potęg tej samej podstawy i porównywanie potęg.

Trzy zamiany, które trzeba umieć „na pamięć”

Prawie każde równanie wykładnicze zaczyna się od tego, że ułamek, pierwiastek albo zwykłą liczbę zapisujemy jako potęgę. Wystarczą trzy reguły:

• ułamek z jedynką w liczniku to potęga o wykładniku ujemnym: $\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$;
• pierwiastek to potęga o wykładniku ułamkowym: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$, $\sqrt[3]{25} = 5^{\frac{2}{3}}$;
• iloczyn potęg tej samej podstawy sklejamy w jedną potęgę: $4\sqrt{2} = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$.

Najczęściej spotykane podstawy to $2$, $3$ i $5$. Warto mieć przed oczami ich potęgi:

Uwaga na liczby, które są potęgami kilku podstaw: $64 = 2^6 = 4^3 = 8^2$, $81 = 3^4 = 9^2$, $\frac{1}{16} = 2^{-4} = 4^{-2}$. W równaniu wybieramy zawsze najmniejszą wspólną podstawę - wtedy wszystko da się do niej sprowadzić.

Przykład 1 - jedna podstawa zamiast trzech

Zadanie. Oblicz wartość wyrażenia $\dfrac{4^3 \cdot 8^{-2}}{16^{-\frac{1}{2}}}$.

Krok 1. Wspólna podstawa. Wszystkie liczby to potęgi dwójki: $4 = 2^2$, $8 = 2^3$, $16 = 2^4$.

$\frac{4^3 \cdot 8^{-2}}{16^{-\frac{1}{2}}} = \frac{\left(2^2\right)^3 \cdot \left(2^3\right)^{-2}}{\left(2^4\right)^{-\frac{1}{2}}} = \frac{2^6 \cdot 2^{-6}}{2^{-2}}$

Krok 2. Prawa działań. Mnożąc dodajemy wykładniki, dzieląc - odejmujemy:

$\frac{2^{6 + (-6)}}{2^{-2}} = 2^{0 - (-2)} = 2^2 = 4$

Odpowiedź. Wartość wyrażenia wynosi $4$.

Przykład 2 - pierwiastki jako potęgi

Zadanie. Zapisz w postaci jednej potęgi liczby $2$ iloczyn $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8}$, a w postaci jednej potęgi liczby $3$ - liczbę $\dfrac{1}{\sqrt[4]{27}}$.

Krok 1. $\sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2^2} = 2^{\frac{2}{3}}$ oraz $\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = 2^{\frac{3}{2}}$, więc

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8} = 2^{\frac{2}{3} + \frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{6} + \frac{9}{6}} = 2^{\frac{13}{6}}$

Krok 2. $\sqrt[4]{27} = \sqrt[4]{3^3} = 3^{\frac{3}{4}}$, a odwrotność potęgi to potęga o przeciwnym wykładniku:

$\frac{1}{\sqrt[4]{27}} = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} = 3^{-\frac{3}{4}}$

Odpowiedź. $\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{8} = 2^{\frac{13}{6}}$ oraz $\dfrac{1}{\sqrt[4]{27}} = 3^{-\frac{3}{4}}$.

Przykład 3 - wykładnik niewymierny

Prawa działań działają tak samo, gdy w wykładniku stoi liczba niewymierna. Często wykładniki niewymierne „znoszą się” i wynik jest liczbą całkowitą.

Zadanie. Oblicz $3^{\sqrt{2} + 1} \cdot 9^{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$.

Krok 1. $9 = 3^2$, więc $9^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \left(3^2\right)^{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3^{-\sqrt{2}}$.

Krok 2.

$3^{\sqrt{2} + 1} \cdot 3^{-\sqrt{2}} = 3^{\sqrt{2} + 1 - \sqrt{2}} = 3^1 = 3$

Odpowiedź. Wartość wyrażenia wynosi $3$.

Porównywanie potęg

Bez kalkulatora porównujemy potęgi na dwa sposoby, zależnie od tego, co jest wspólne.

Ta sama podstawa, różne wykładniki. Decyduje podstawa:

• gdy $a > 1$, większy wykładnik daje większą potęgę: $x < y \Rightarrow a^x < a^y$;
• gdy $0 < a < 1$, jest odwrotnie: $x < y \Rightarrow a^x > a^y$.

Dlaczego tak jest, uzasadniamy w następnej lekcji, własności funkcji wykładniczej.

Ten sam dodatni wykładnik, różne podstawy. Większa podstawa daje większą potęgę: dla $x > 0$ i $0 < a < b$ mamy $a^x < b^x$.

Przykład 4. Porównaj liczby:

• $2^{\sqrt{3}}$ i $2^{1{,}7}$ - podstawa $2 > 1$, a $\sqrt{3} \approx 1{,}732 > 1{,}7$, więc $2^{\sqrt{3}} > 2^{1{,}7}$;
• $0{,}5^{\sqrt{2}}$ i $0{,}5^{1{,}5}$ - podstawa $0{,}5 < 1$, a $\sqrt{2} \approx 1{,}414 < 1{,}5$, więc nierówność się odwraca: $0{,}5^{\sqrt{2}} > 0{,}5^{1{,}5}$;
• $3^{\sqrt{5}}$ i $2^{\sqrt{5}}$ - ten sam dodatni wykładnik, większa podstawa: $3^{\sqrt{5}} > 2^{\sqrt{5}}$;
• $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-\sqrt{2}}$ i $1$ - zamieniamy na dodatni wykładnik: $\left(\tfrac{2}{3}\right)^{-\sqrt{2}} = \left(\tfrac{3}{2}\right)^{\sqrt{2}}$; podstawa większa od $1$ i wykładnik dodatni, więc liczba jest większa od $1$.

Szacowanie potęgi o wykładniku niewymiernym

Skoro przy podstawie większej od $1$ potęga rośnie razem z wykładnikiem, wykładnik niewymierny wystarczy „zamknąć” między dwiema liczbami wymiernymi.

Przykład 5. Oszacuj liczbę $5^{\pi}$.

Krok 1. $3 < \pi < 4$, a podstawa $5 > 1$, więc $5^3 < 5^{\pi} < 5^4$, czyli $125 < 5^{\pi} < 625$.

Krok 2. Dokładniej: $3{,}1 < \pi < 3{,}2$, więc $5^{3{,}1} < 5^{\pi} < 5^{3{,}2}$. Kalkulator daje $5^{3{,}1} \approx 146{,}8$ i $5^{3{,}2} \approx 172{,}5$.

Odpowiedź. $125 < 5^{\pi} < 625$, a dokładniej $146{,}8 < 5^{\pi} < 172{,}5$ (rzeczywista wartość to około $157{,}0$).

Typowe błędy

• Mnożenie podstaw zamiast dodawania wykładników. $2^3 \cdot 2^4 = 2^7$, a nie $4^7$ ani $2^{12}$.
• Dodawanie potęg jak mnożenie. $2^3 + 2^4$ to nie $2^7$ - to $8 + 16 = 24$. Sumy nie da się zapisać jedną potęgą, można najwyżej wyłączyć czynnik: $2^3 + 2^4 = 2^3(1 + 2) = 3 \cdot 2^3$.
• Zgubiony minus przy odwrotności. $\frac{1}{\sqrt{5}} = 5^{-\frac{1}{2}}$, a nie $5^{\frac{1}{2}}$.
• Porównywanie bez patrzenia na podstawę. $0{,}3^2 = 0{,}09 < 0{,}3^1 = 0{,}3$: przy podstawie mniejszej od $1$ większy wykładnik daje mniejszą liczbę.

Najczęstsze pytania

Jak zamienić pierwiastek na potęgę? Pierwiastek stopnia $n$ z $a^m$ to potęga o wykładniku $\frac{m}{n}$: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$. Na przykład $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$, a $\sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{2^4} = 2^{\frac{4}{3}}$.

Ile to jest $2^{-3}$?$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0{,}125$. Ujemny wykładnik oznacza odwrotność, a nie liczbę ujemną.

Jak zapisać $0{,}25$ jako potęgę liczby 2?$0{,}25 = \frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

Czy potęga o wykładniku niewymiernym może być liczbą całkowitą? Tak, jeśli wykładniki się zredukują: $3^{\sqrt{2} + 1} \cdot 3^{-\sqrt{2}} = 3$, a $\left(5^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{2}} = 5^2 = 25$.

Dlaczego w równaniach wykładniczych szukamy wspólnej podstawy? Bo dwie potęgi tej samej podstawy (dodatniej i różnej od $1$) są równe tylko wtedy, gdy mają równe wykładniki. Równanie wykładnicze zamienia się wtedy w zwykłe równanie z wykładników - patrz lekcja równania wykładnicze.

Przećwicz

• Potęga o wykładniku rzeczywistym - zadania → - 8 zadań: zapis liczby jako potęgi dwójki, wyrażenia z wykładnikami ułamkowymi i dziesiętnymi, redukcja wykładników niewymiernych, porządkowanie i szacowanie potęg, porównanie $2^{300}$ i $3^{200}$.
• Potęga o wykładniku rzeczywistym - zadania z klasy 1 → - działania na potęgach o wykładnikach niewymiernych i przybliżenia.
• Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

• Dla $a > 0$ potęga $a^x$ istnieje dla każdego rzeczywistego $x$ i jest dodatnia; prawa działań obowiązują dla dowolnych wykładników rzeczywistych.
• Ułamek $\frac{1}{a^n}$ to $a^{-n}$, pierwiastek $\sqrt[n]{a^m}$ to $a^{\frac{m}{n}}$.
• Liczby w zadaniu sprowadzamy do najmniejszej wspólnej podstawy (najczęściej $2$, $3$ lub $5$).
• Przy tej samej podstawie: dla $a > 1$ większy wykładnik daje większą potęgę, dla $0 < a < 1$ - mniejszą.
• Wykładnik niewymierny szacujemy, zamykając go między dwiema liczbami wymiernymi.