Geometria przestrzenna. Bryły obrotowe - kurs, klasa 4: walec, stożek, kula
Klasa 4 liceum i technikum
Bryła obrotowa to bryła, która powstaje przez obrót figury płaskiej dookoła prostej - osi obrotu. Walec powstaje z obrotu prostokąta dookoła boku, stożek - z obrotu trójkąta prostokątnego dookoła przyprostokątnej, a kula - z obrotu półkola dookoła średnicy. Każdy przekrój bryły obrotowej płaszczyzną prostopadłą do osi jest kołem, a przekrój płaszczyzną zawierającą oś (przekrój osiowy) to figura, z której liczy się prawie wszystkie zadania.
Ten dział domyka stereometrię. Po wielościanach przychodzi kolej na bryły „okrągłe”: najpierw walec, stożek i kula osobno, potem zadania, w których bryły się łączą (obrót trójkąta i trapezu, kula wpisana w stożek, przetapianie), następnie podobieństwo brył i na końcu zadania optymalizacyjne, w których pochodna wskazuje najkorzystniejsze wymiary puszki, walca czy stożka.
Czego nauczysz się w tym dziale:
- liczyć pole powierzchni i objętość walca, rysować jego siatkę i przekroje;
- obliczać tworzącą stożka, kąt rozwarcia, kąt wycinka w siatce, pole i objętość stożka;
- liczyć objętość kuli i pole sfery oraz promień przekroju kuli płaszczyzną;
- rozpoznawać bryłę powstałą z obrotu figury i liczyć jej objętość;
- rozwiązywać zadania z bryłami wpisanymi i opisanymi (kula w stożku, walec w kuli);
- korzystać z tego, że w skali pola rosną razy, a objętości razy;
- znajdować największą objętość i najmniejsze pole brył za pomocą pochodnej.
Warto wcześniej znać twierdzenie Pitagorasa, pole koła i wycinka koła, funkcje trygonometryczne kąta ostrego oraz - do ostatniej lekcji - zadania optymalizacyjne z pochodną.
Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - zestaw zadań z brył obrotowych: 72 zadania w 7 typach, od walca i stożka po bryły podobne i optymalizację. Zestawienie wszystkich wzorów na jednej stronie: bryły obrotowe - wzory na pole i objętość.
