Doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne i przestrzeń Ω - przykłady

Klasa 4 liceum i technikum

Doświadczenie losowe to czynność, której wyniku nie da się przewidzieć z góry, ale którą można powtarzać w tych samych warunkach i której wszystkie możliwe wyniki znamy: rzut monetą, rzut kostką, losowanie kuli z urny, losowanie karty z talii. Zbiór wszystkich wyników takiego doświadczenia oznaczamy grecką literą $\Omega$ (omega) i nazywamy zbiorem zdarzeń elementarnych. Na przykład dla rzutu kostką $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ i $|\Omega| = 6$.

Dobrze opisane $\Omega$ to połowa rozwiązania każdego zadania z prawdopodobieństwa. Wymaga ono jednej decyzji: co jest jednym wynikiem i czy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe.

Przykłady zbiorów Ω

Rzut monetą. $\Omega = \{O, R\}$ (orzeł, reszka), $|\Omega| = 2$.

Rzut kostką. $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, $|\Omega| = 6$.

Dwukrotny rzut monetą. Wynikiem jest para (wynik pierwszego rzutu, wynik drugiego):

$\Omega = \{(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)\}, \qquad |\Omega| = 4.$

Pary $(O, R)$ i $(R, O)$ to dwa różne wyniki: orzeł w pierwszym rzucie i reszka w drugim to co innego niż odwrotnie. Zapis $\Omega = \{$dwa orły, orzeł i reszka, dwie reszki$\}$ też opisuje wszystkie wyniki, ale te trzy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne - „orzeł i reszka” zdarza się dwa razy częściej niż „dwa orły”, bo można go uzyskać na dwa sposoby.

Trzykrotny rzut monetą. Najwygodniej wypisać wyniki drzewkiem: każdy rzut rozgałęzia drogę na dwie, więc liści jest $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

$\Omega = \{OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR\}, \qquad |\Omega| = 2^3 = 8.$

Rzut dwiema kostkami. Wynikiem jest para $(a, b)$, gdzie $a$ to liczba oczek na pierwszej kostce, $b$ na drugiej: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$. Wszystkie pary najlepiej ułożyć w tabeli - w komórce wpisujemy na przykład sumę oczek, bo o nią najczęściej pytają zadania:

Suma $7$ pojawia się w tabeli $6$ razy (na przekątnej), a suma $2$ tylko raz. Dlatego zbiór możliwych sum $\{2, 3, \ldots, 12\}$ nie nadaje się na $\Omega$ do definicji klasycznej - jego $11$ elementów nie jest jednakowo prawdopodobnych.

Losowanie z urny. W urnie są $3$ kule białe i $2$ czarne, losujemy jedną. Kule rozróżniamy (numerujemy w myślach): $\Omega = \{b_1, b_2, b_3, c_1, c_2\}$, $|\Omega| = 5$. Wtedy zdarzeniu „wylosowano białą” sprzyjają $3$ wyniki z $5$.

Losowanie dwóch osób z czterech ($A, B, C, D$) jednocześnie. Wynikiem jest podzbiór:

$\Omega = \{\{A,B\}, \{A,C\}, \{A,D\}, \{B,C\}, \{B,D\}, \{C,D\}\}, \qquad |\Omega| = \binom{4}{2} = 6.$

Gdyby wybierać po kolei (np. przewodniczącego i zastępcę), wynikiem byłaby para uporządkowana i $|\Omega| = 4 \cdot 3 = 12$ - jak w powtórzeniu kombinatoryki.

Zdarzenie losowe

Zdarzenie losowe to podzbiór $\Omega$, zwykle opisany słowami. Zapisujemy je, wypisując sprzyjające mu zdarzenia elementarne.

Przykład 1. Rzut kostką, $A$ - „wypadła liczba pierwsza”. Liczby pierwsze wśród $1, \ldots, 6$ to $2, 3, 5$, więc $A = \{2, 3, 5\}$ i $|A| = 3$.

Przykład 2. Trzy rzuty monetą, $B$ - „wypadły co najmniej dwa orły”:

$B = \{OOO, OOR, ORO, ROO\}, \qquad |B| = 4.$

Przykład 3. Rzut dwiema kostkami, $C$ - „suma oczek wynosi $7$”:

$C = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}, \qquad |C| = 6.$

Dwa zdarzenia mają specjalne nazwy:

• zdarzenie pewne $\Omega$ - zachodzi zawsze (np. „wypadło co najwyżej $6$ oczek”);
• zdarzenie niemożliwe $\varnothing$ - nie zachodzi nigdy (np. „wypadło $7$ oczek” przy jednej kostce).

Jak opisać Ω w zadaniu - schemat

1. Ustal, co jest jednym wynikiem: liczba, para, ciąg, podzbiór, ustawienie.
2. Sprawdź kolejność: losowanie po kolei i rzuty - ciągi; losowanie jednoczesne - podzbiory.
3. Rozróżnij jednakowe obiekty (kule, monety, kostki), żeby wyniki były równie możliwe.
4. Policz $|\Omega|$ regułą mnożenia albo wzorem kombinatorycznym; przy małym $\Omega$ wypisz wszystkie wyniki (drzewko, tabela).

Typowe błędy

• Ω z wyników nierówno prawdopodobnych: sumy oczek, „liczba orłów”, kolory kul bez numeracji.
• Utożsamianie $(O, R)$ z $(R, O)$ przy rzutach - tracimy połowę wyników mieszanych.
• Mylenie Ω z zdarzeniem: $\Omega$ to wszystkie wyniki, zdarzenie to tylko część z nich.
• Podzbiór zamiast ciągu przy losowaniu po kolei (albo odwrotnie) - $|\Omega|$ wychodzi $k!$ razy za mały lub za duży.

Najczęstsze pytania

Co to jest doświadczenie losowe? Czynność, którą można powtarzać w tych samych warunkach, o znanym zbiorze możliwych wyników, ale nieprzewidywalnym wyniku pojedynczej próby - np. rzut kostką albo losowanie karty.

Co to jest zdarzenie elementarne? Pojedynczy wynik doświadczenia losowego, którego nie rozkładamy na prostsze - np. „wypadły $4$ oczka” przy rzucie kostką albo para $(2, 5)$ przy rzucie dwiema kostkami.

Co oznacza Ω w matematyce? W rachunku prawdopodobieństwa $\Omega$ (omega) to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia, a $|\Omega|$ - ich liczba.

Ile jest zdarzeń elementarnych przy rzucie trzema monetami?$2^3 = 8$: OOO, OOR, ORO, ORR, ROO, ROR, RRO, RRR.

Czym różni się zdarzenie elementarne od zdarzenia losowego? Zdarzenie elementarne to jeden wynik (element $\Omega$), a zdarzenie losowe to zbiór wyników (podzbiór $\Omega$). „Wypadła liczba parzysta” to zdarzenie losowe złożone z trzech zdarzeń elementarnych: $2$, $4$ i $6$.

Przećwicz

• Zbiór zdarzeń elementarnych Ω - zadania → - monety, dwie kostki, kule losowane po kolei i jednocześnie, liczby z cyfr, kolejka i winda (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Doświadczenie losowe ma znany zbiór wyników $\Omega$, ale nieprzewidywalny wynik pojedynczej próby.
• Zdarzenie elementarne to jeden wynik, zdarzenie losowe to podzbiór $\Omega$.
• Rzuty i losowanie po kolei - wyniki są ciągami; losowanie jednoczesne - podzbiorami.
• Jednakowe obiekty rozróżniamy, żeby wyniki były jednakowo prawdopodobne.
• Małe $\Omega$ wypisujemy drzewkiem lub tabelą, duże liczymy regułą mnożenia.