Własności funkcji wykładniczej - monotoniczność, różnowartościowość, wykres

Klasa 4 liceum i technikum

Funkcja wykładnicza to funkcja $f(x) = a^x$ o podstawie $a > 0$, $a \ne 1$, określona dla wszystkich liczb rzeczywistych. Przyjmuje tylko wartości dodatnie, jest rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$ i różnowartościowa - każdą wartość przyjmuje dokładnie raz.

W klasie pierwszej, w lekcji funkcja wykładnicza - definicja, własności i przykłady, te własności odczytaliśmy z wykresów $2^x$ i $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$. Teraz je uzasadnimy i nauczymy się z nich korzystać: do porównywania liczb, szukania wartości największej i najmniejszej oraz zadań z parametrem. To fundament dwóch najważniejszych lekcji tego rozdziału - równań i nierówności wykładniczych.

Dlaczego podstawa musi być dodatnia i różna od 1

• Dla $a < 0$ potęga $a^x$ nie istnieje dla wielu wykładników: $(-4)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-4}$. Funkcja nie byłaby określona na całym $\mathbb{R}$.
• Dla $a = 0$ wyrażenie $0^x$ nie ma sensu dla $x \le 0$ (nie można dzielić przez zero).
• Dla $a = 1$ mamy $1^x = 1$ - to funkcja stała, bez żadnej z własności opisanych niżej.

Dlaczego funkcja wykładnicza jest monotoniczna

Korzystamy z jednego faktu o potęgach: jeśli $a > 1$ i $d > 0$, to $a^d > 1$, a jeśli $0 < a < 1$ i $d > 0$, to $a^d < 1$ (np. $2^{0{,}5} = \sqrt{2} > 1$, $0{,}5^{2} = 0{,}25 < 1$).

Weźmy dwa argumenty $x_1 < x_2$ i oznaczmy $d = x_2 - x_1 > 0$. Różnica wartości to

$f(x_2) - f(x_1) = a^{x_2} - a^{x_1} = a^{x_1}\left(a^{x_2 - x_1} - 1\right) = a^{x_1}\left(a^{d} - 1\right)$

Czynnik $a^{x_1}$ jest zawsze dodatni. O znaku różnicy decyduje więc nawias:

• dla $a > 1$: $a^d > 1$, nawias dodatni, więc $f(x_2) > f(x_1)$ - funkcja rosnąca;
• dla $0 < a < 1$: $a^d < 1$, nawias ujemny, więc $f(x_2) < f(x_1)$ - funkcja malejąca.

Tak wygląda definicja monotoniczności funkcji w działaniu: bierzemy dowolne $x_1 < x_2$ i badamy znak $f(x_2) - f(x_1)$.

Różnowartościowość - klucz do równań wykładniczych

Funkcja ściśle monotoniczna jest różnowartościowa: różnym argumentom odpowiadają różne wartości. Dla funkcji wykładniczej oznacza to

$a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$

To zdanie zamienia równanie wykładnicze w zwykłe: z $2^{3x - 1} = 2^5$ wynika od razu $3x - 1 = 5$, czyli $x = 2$. Monotoniczność robi to samo z nierównościami - z tą różnicą, że przy podstawie mniejszej od $1$ zmienia się zwrot.

Jak podstawa wpływa na wykres

Z rysunku i z porównywania potęg wynikają trzy obserwacje:

• wszystkie wykresy przechodzą przez $(0, 1)$, bo $a^0 = 1$; drugi łatwy punkt to $(1, a)$;
• dla $x > 0$ wyżej leży wykres o większej podstawie ($3^x > 2^x$), a dla $x < 0$ - niżej ($3^{-1} = \tfrac{1}{3} < 2^{-1} = \tfrac{1}{2}$);
• wykresy $y = a^x$ i $y = \left(\tfrac{1}{a}\right)^x$ są symetryczne względem osi $OY$, bo $\left(\tfrac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$. Punkt $(1, 2)$ na wykresie $2^x$ odpowiada punktowi $(-1, 2)$ na wykresie $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$.

Im podstawa dalsza od $1$, tym wykres bardziej stromy. Gdy $a$ zbliża się do $1$, wykres „kładzie się” na prostej $y = 1$ - możesz to zobaczyć, przesuwając suwak w rysowniku funkcji.

Przykład 1 - porządkowanie liczb

Zadanie. Uporządkuj rosnąco liczby $\sqrt[3]{9}$, $\ 3^{0{,}6}$, $\ \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-0{,}7}$.

Krok 1. Wspólna podstawa $3$. $\sqrt[3]{9} = \sqrt[3]{3^2} = 3^{\frac{2}{3}}$ oraz $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{-0{,}7} = \left(3^{-1}\right)^{-0{,}7} = 3^{0{,}7}$.

Krok 2. Porównanie wykładników. $0{,}6 < \tfrac{2}{3} = 0{,}66\ldots < 0{,}7$, a funkcja $3^x$ jest rosnąca, więc kolejność potęg jest taka sama jak kolejność wykładników.

Odpowiedź. $3^{0{,}6} < \sqrt[3]{9} < \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-0{,}7}$.

Przykład 2 - wartość największa i najmniejsza w przedziale

Funkcja monotoniczna osiąga wartość największą i najmniejszą na końcach przedziału domkniętego. Wystarczy wiedzieć, który koniec jest który.

Zadanie. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji $f(x) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x$ w przedziale $[-2, 1]$.

Krok 1. Podstawa $\tfrac{1}{3} < 1$, więc funkcja jest malejąca: największa wartość jest na lewym końcu, najmniejsza na prawym.

Krok 2.

$f(-2) = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9, \qquad f(1) = \tfrac{1}{3}$

Odpowiedź. Wartość największa to $9$ (dla $x = -2$), najmniejsza to $\tfrac{1}{3}$ (dla $x = 1$).

Na przedziale otwartym lub nieograniczonym wartości skrajnej może nie być. Na przykład $f(x) = 2^x$ dla $x \le 3$ przyjmuje wartości z przedziału $(0, 8]$: największa to $8$, a najmniejszej nie ma, bo wykres tylko zbliża się do osi $OX$.

Przykład 3 - parametr w podstawie

Zadanie. Dla jakich wartości parametru $m$ funkcja $f(x) = (3 - m)^x$ jest funkcją wykładniczą rosnącą, a dla jakich - malejącą?

Krok 1. Warunek istnienia. Podstawa musi być dodatnia i różna od $1$: $3 - m > 0$ i $3 - m \ne 1$, czyli $m < 3$ i $m \ne 2$.

Krok 2. Funkcja rosnąca: $3 - m > 1$, czyli $m < 2$.

Krok 3. Funkcja malejąca: $0 < 3 - m < 1$, czyli $2 < m < 3$.

Odpowiedź. Funkcja jest rosnąca dla $m \in (-\infty, 2)$ i malejąca dla $m \in (2, 3)$. Dla $m = 2$ jest stała ($1^x = 1$), a dla $m \ge 3$ nie jest funkcją wykładniczą.

Przykład 4 - wzór funkcji z punktu wykresu

Zadanie. Wykres funkcji $f(x) = a^x$ przechodzi przez punkt $(-2, 16)$. Wyznacz $a$ i oblicz $f\left(\tfrac{3}{2}\right)$.

Krok 1. $f(-2) = 16$, czyli $a^{-2} = 16$, a więc $\frac{1}{a^2} = 16$ i $a^2 = \frac{1}{16}$.

Krok 2. Podstawa musi być dodatnia, więc $a = \frac{1}{4}$ (rozwiązanie $a = -\frac{1}{4}$ odrzucamy).

Krok 3.

$f\left(\tfrac{3}{2}\right) = \left(\tfrac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{3} = \tfrac{1}{8}$

Odpowiedź. $a = \frac{1}{4}$, $f\left(\tfrac{3}{2}\right) = \frac{1}{8}$. Funkcja jest malejąca, co zgadza się z danymi: dla $x = -2$ wartość jest duża.

Wzrost wykładniczy wyprzedza każdy wielomian

Funkcja $2^x$ dla małych $x$ potrafi być mniejsza od $x^3$, ale w końcu wyprzedza ją na zawsze:

Od $x \approx 9{,}94$ potęga $2^x$ jest już zawsze większa od $x^3$, a dla $x = 20$ - ponad sto razy większa. To samo dotyczy każdej funkcji $a^x$ z $a > 1$ i każdego wielomianu - dlatego o procesach, które „wymykają się spod kontroli”, mówimy, że rosną wykładniczo.

Liczba e i funkcja eˣ

Wśród wszystkich podstaw szczególna jest liczba Eulera $e \approx 2{,}71828$ - granica ciągu $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. Funkcja $f(x) = e^x$ (funkcja eksponencjalna) jest rosnąca, bo $e > 1$, a jej wykres leży między wykresami $2^x$ i $3^x$. Wyróżnia ją to, że jest swoją własną pochodną: $\left(e^x\right)' = e^x$, więc w punkcie $(0, 1)$ jej wykres jest nachylony do osi $OX$ pod kątem $45°$. Historię i własności tej liczby opisuje strona liczba e, a pochodne funkcji - lekcja funkcja pochodna.

Najczęstsze pytania

Jakie własności ma funkcja wykładnicza? Dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, brak miejsc zerowych, asymptota pozioma $y = 0$, wykres przechodzi przez $(0, 1)$. Dla $a > 1$ jest rosnąca, dla $0 < a < 1$ - malejąca; zawsze jest różnowartościowa.

Jak sprawdzić, czy funkcja wykładnicza jest rosnąca? Spójrz na podstawę: większa od $1$ - funkcja rosnąca, między $0$ a $1$ - malejąca. Uwaga na zapis $2^{-x}$: to $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$, więc funkcja malejąca.

Czy funkcja wykładnicza jest różnowartościowa? Tak. Jest ściśle monotoniczna, więc każdą wartość dodatnią przyjmuje dokładnie raz. Stąd $a^{x_1} = a^{x_2}$ tylko dla $x_1 = x_2$.

Czy funkcja wykładnicza ma wartość najmniejszą? Na całej dziedzinie nie - zbliża się do zera, ale go nie osiąga. Na przedziale domkniętym $[p, q]$ ma: dla $a > 1$ wartość najmniejsza to $a^p$, dla $0 < a < 1$ - $a^q$.

Jaką podstawę ma funkcja $f(x) = 4^{-x}$?$4^{-x} = \left(4^{-1}\right)^x = \left(\tfrac{1}{4}\right)^x$, więc podstawa to $\tfrac{1}{4}$ i funkcja jest malejąca.

Czym różni się funkcja wykładnicza od potęgowej? W funkcji wykładniczej $a^x$ zmienna jest w wykładniku, w potęgowej $x^n$ - w podstawie. $2^x$ i $x^2$ to zupełnie różne funkcje: pierwsza nie ma miejsc zerowych i rośnie szybciej od każdego wielomianu, druga to parabola.

Przećwicz

• Własności funkcji wykładniczej - zadania → - 8 zadań: monotoniczność z podstawy, wartość największa i najmniejsza w przedziale, zbiór wartości, wzór funkcji z punktu i z warunku, parametr w podstawie i dowód monotoniczności.
• Funkcja wykładnicza - zadania z klasy 1 → - wartości funkcji, porównywanie potęg i proste równania.
• Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

• $f(x) = a^x$, $a > 0$, $a \ne 1$: dziedzina $\mathbb{R}$, zbiór wartości $(0, +\infty)$, asymptota $y = 0$, punkt $(0, 1)$.
• Monotoniczność wynika z rozkładu $a^{x_2} - a^{x_1} = a^{x_1}(a^{x_2 - x_1} - 1)$: rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$.
• Różnowartościowość: $a^{x_1} = a^{x_2} \iff x_1 = x_2$ - na tym opierają się równania wykładnicze.
• Wykresy $a^x$ i $\left(\tfrac{1}{a}\right)^x$ są symetryczne względem osi $OY$.
• Na przedziale domkniętym wartości skrajne są na końcach przedziału.
• Liczba $e \approx 2{,}718$ to podstawa funkcji eksponencjalnej $e^x$.