Graniastosłup - rodzaje, liczba krawędzi, przekątne i kąty

Q: Ile krawędzi ma graniastosłup?

Graniastosłup n-kątny ma 3n krawędzi: po n w każdej z dwóch podstaw i n krawędzi bocznych. Graniastosłup trójkątny ma ich 9, czworokątny 12, sześciokątny 18.

Q: Ile wierzchołków i ścian ma graniastosłup?

2n wierzchołków i n + 2 ściany. Na przykład graniastosłup pięciokątny ma 10 wierzchołków i 7 ścian.

Q: Ile przekątnych ma graniastosłup?

n(n - 3): trójkątny 0, czworokątny 4, pięciokątny 10, sześciokątny 18.

Q: Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu?

Ze wzoru d = √a² + b² + c², gdzie a, b, c to długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

Q: Ile wynosi przekątna sześcianu?

d = a√3, gdzie a to krawędź. Przekątna ściany sześcianu ma długość a√2.

Klasa 4 liceum i technikum

Graniastosłup n-kątny - najważniejsze wzory

$\text{wierzchołki: } 2n, \qquad \text{krawędzie: } 3n, \qquad \text{ściany: } n + 2, \qquad \text{przekątne: } n(n - 3)$

$\text{prostopadłościan: } d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \qquad\qquad \text{sześcian: } d = a\sqrt{3}, \quad \text{przekątna ściany } a\sqrt{2}$

$\text{graniastosłup prawidłowy sześciokątny: } d_1 = \sqrt{3a^2 + H^2}, \qquad d_2 = \sqrt{4a^2 + H^2}$

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{p} \quad \text{(kąt przekątnej z podstawą, } p \text{ - rzut przekątnej na podstawę)}$

Graniastosłup to wielościan, który ma dwie przystające i równoległe ściany - podstawy - a pozostałe ściany, ściany boczne, są równoległobokami. Graniastosłup, którego podstawą jest $n$ -kąt, nazywamy graniastosłupem $n$ -kątnym; ma on $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi i $n + 2$ ściany.

Definicje wszystkich elementów (wysokość, przekrój poprzeczny, graniastosłup ścięty) i tabele wzorów dla prostopadłościanu i sześcianu zebraliśmy na stronie graniastosłupy - rodzaje, pole i objętość. W tej lekcji uczymy się liczyć w graniastosłupie: krawędzie, przekątne i kąty. Pola i objętości są w kolejnych lekcjach: siatka i pole powierzchni oraz objętość wielościanów.

Rodzaje graniastosłupów

Graniastosłup prosty trójkątny, pochyły czworokątny (krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw) i prawidłowy sześciokątny (podstawą jest sześciokąt foremny).

Graniastosłup prosty - krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw. Ściany boczne są wtedy prostokątami, a każda krawędź boczna jest wysokością graniastosłupa.
Graniastosłup pochyły - krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Ściany boczne są równoległobokami, a wysokość $H$ jest krótsza od krawędzi bocznej - trzeba ją wyznaczyć osobno (najczęściej z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego).
Graniastosłup prawidłowy - graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny: trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt foremny itd. Słowo „prawidłowy” niesie więc dwie informacje naraz i obie są potrzebne w zadaniach.
Prostopadłościan - graniastosłup prosty o podstawie prostokąta (wszystkie ściany są prostokątami). Sześcian to prostopadłościan o wszystkich krawędziach równych.

Uwaga na pułapkę z matury: graniastosłup prawidłowy czworokątny to graniastosłup o podstawie kwadratu, ale jego wysokość może być dowolna - nie musi to być sześcian.

Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graniastosłup

Graniastosłup $n$ -kątny składa się z dwóch $n$ -kątów (dolnej i górnej podstawy) połączonych $n$ krawędziami bocznymi. Stąd:

wierzchołki: $n$ w dolnej podstawie i $n$ w górnej - razem $2n$ ;
krawędzie: $n$ w każdej podstawie i $n$ bocznych - razem $3n$ ;
ściany: $2$ podstawy i $n$ ścian bocznych - razem $n + 2$ .

Graniastosłup	Wierzchołki 2n	Krawędzie 3n	Ściany n + 2
trójkątny (n = 3)	6	9	5
czworokątny (n = 4)	8	12	6
pięciokątny (n = 5)	10	15	7
sześciokątny (n = 6)	12	18	8
ośmiokątny (n = 8)	16	24	10

Te trzy liczby zawsze spełniają wzór Eulera $W - K + S = 2$ : $2n - 3n + (n + 2) = 2$ . Wzór obowiązuje dla każdego wielościanu wypukłego - jego dowód i historię opisuje hasło wzór Eulera dla wielościanów.

Przykład 1. Ile wierzchołków, krawędzi i ścian ma graniastosłup dwunastokątny?

$W = 2 \cdot 12 = 24, \qquad K = 3 \cdot 12 = 36, \qquad S = 12 + 2 = 14.$

Sprawdzenie wzorem Eulera: $24 - 36 + 14 = 2$ .

Przykład 2. Graniastosłup ma $30$ krawędzi. Ile ma wierzchołków i ścian?

Z równania $3n = 30$ dostajemy $n = 10$ - to graniastosłup dziesięciokątny. Ma więc $2 \cdot 10 = 20$ wierzchołków i $10 + 2 = 12$ ścian.

Liczba krawędzi graniastosłupa jest zawsze wielokrotnością trzech. Graniastosłup o $25$ krawędziach nie istnieje - to częste zadanie typu „prawda czy fałsz”.

Przekątne graniastosłupa

Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki, które nie leżą na jednej ścianie. Odcinek łączący wierzchołki tej samej ściany bocznej to przekątna ściany, a nie graniastosłupa.

Ile jest przekątnych? Każda łączy wierzchołek dolnej podstawy z wierzchołkiem górnej. Z danego wierzchołka dolnej podstawy nie można poprowadzić przekątnej do wierzchołka leżącego nad nim ani do dwóch jego sąsiadów (te leżą na wspólnych ścianach bocznych) - zostaje $n - 3$ wierzchołków górnej podstawy. Wierzchołków dolnej podstawy jest $n$ , więc graniastosłup $n$ -kątny ma $n(n - 3)$ przekątnych:

trójkątny: $3 \cdot 0 = 0$ - graniastosłup trójkątny nie ma przekątnych;
czworokątny: $4 \cdot 1 = 4$ ;
sześciokątny: $6 \cdot 3 = 18$ .

Przekątna prostopadłościanu

Prostopadłościan o krawędziach a, b, c. Przekątna podstawy BD = p i krawędź DD₁ = c są przyprostokątnymi trójkąta BDD₁, a przekątna bryły BD₁ = d - jego przeciwprostokątną.

W prostopadłościanie o krawędziach $a$ , $b$ , $c$ liczymy przekątną dwa razy z twierdzenia Pitagorasa:

przekątna podstawy: $p^2 = a^2 + b^2$ ;
trójkąt $BDD_1$ jest prostokątny (krawędź $DD_1$ jest prostopadła do całej podstawy, więc także do $BD$ ), stąd $d^2 = p^2 + c^2$ .

$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}.$

Wszystkie cztery przekątne prostopadłościanu mają tę samą długość i przecinają się w jednym punkcie - środku prostopadłościanu.

Przykład 3. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach $3$ , $4$ i $12$ .

$d = \sqrt{3^2 + 4^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$

Po drodze wyszła przekątna podstawy $p = \sqrt{9 + 16} = 5$ .

Przekątna sześcianu

Sześcian o krawędzi a: przekątna podstawy BD = a√2, przekątna sześcianu BD₁ = a√3 (trójkąt BDD₁ jest prostokątny, kąt prosty przy D).

W sześcianie $a = b = c$ , więc

$d = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}, \qquad \text{a przekątna ściany: } \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}.$

Przykład 4. Przekątna sześcianu ma długość $6\sqrt{3}$ . Oblicz krawędź sześcianu i przekątną jego ściany.

$a\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \;\Rightarrow\; a = 6, \qquad a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.$

Odpowiedź. Krawędź ma długość $6$ , przekątna ściany $6\sqrt{2}$ .

Przekątne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma przekątne dwóch długości: krótszą AC₁ = d₁ (jej rzut AC = a√3) i dłuższą AD₁ = d₂ (jej rzut AD = 2a).

W sześciokącie foremnym o boku $a$ są dwie długości przekątnych: krótsza $|AC| = a\sqrt{3}$ (dwie wysokości trójkąta równobocznego) i dłuższa $|AD| = 2a$ (przechodzi przez środek). Każda przekątna graniastosłupa jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego jedną przyprostokątną jest przekątna podstawy, a drugą - krawędź boczna $H$ :

$d_1 = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + H^2} = \sqrt{3a^2 + H^2}, \qquad d_2 = \sqrt{(2a)^2 + H^2} = \sqrt{4a^2 + H^2}.$

Przykład 5. Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma krawędź podstawy $4$ i wysokość $6$ . Oblicz długości jego przekątnych.

$d_1 = \sqrt{3 \cdot 16 + 36} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}, \qquad d_2 = \sqrt{4 \cdot 16 + 36} = \sqrt{100} = 10.$

Odpowiedź. Krótsze przekątne mają długość $2\sqrt{21}$ , dłuższe - $10$ . Spośród $18$ przekątnych $6$ jest dłuższych (po jednej z każdego wierzchołka dolnej podstawy), a $12$ krótszych.

Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą

To najczęstsze zadanie maturalne o graniastosłupie. Kąt nachylenia przekątnej do płaszczyzny podstawy to kąt między przekątną a jej rzutem prostokątnym na podstawę - a rzutem przekątnej $AC_1$ jest przekątna podstawy $AC$ (wierzchołek $C_1$ rzutuje się na $C$ ). Dokładnie wyjaśnia to lekcja kąt między prostą a płaszczyzną.

Kąt nachylenia przekątnej AC₁ do podstawy to kąt α między AC₁ a jej rzutem AC na podstawę. Trójkąt ACC₁ jest prostokątny.

W graniastosłupie prostym kąt $\alpha$ leży zawsze w trójkącie prostokątnym $ACC_1$ :

przyprostokątna przy kącie: przekątna podstawy $p = |AC|$ ,
przyprostokątna naprzeciw kąta: wysokość $H = |CC_1|$ ,
przeciwprostokątna: przekątna graniastosłupa $d = |AC_1|$ .

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{p}, \qquad \sin\alpha = \frac{H}{d}, \qquad \cos\alpha = \frac{p}{d}.$

Przykład 6. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ , a jego przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$ . Oblicz wysokość i długość przekątnej graniastosłupa.

Krok 1. Przekątna podstawy (kwadratu o boku $6$ ): $p = 6\sqrt{2}$ .

Krok 2. Wysokość z tangensa:

$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{H}{6\sqrt{2}} \;\Rightarrow\; H = 6\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{6}.$

Krok 3. Przekątna z cosinusa: $\cos 60^\circ = \frac{p}{d}$ , czyli $d = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} = 12\sqrt{2}$ .

Sprawdzenie Pitagorasem: $(6\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{6})^2 = 72 + 216 = 288 = (12\sqrt{2})^2$ .

Odpowiedź. $H = 6\sqrt{6}$ , $d = 12\sqrt{2}$ .

Przykład 7. Oblicz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu o krawędziach $3$ , $4$ , $12$ do płaszczyzny podstawy $3 \times 4$ .

Rzutem przekątnej jest przekątna podstawy $p = 5$ , a wysokość $H = 12$ :

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{5}, \qquad \alpha \approx 67{,}4^\circ.$

W sześcianie ten sam rachunek daje $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , czyli $\alpha \approx 35{,}3^\circ$ - kąt niezależny od długości krawędzi.

Przekątna ściany bocznej

W zadaniach często pojawia się też przekątna ściany bocznej - w graniastosłupie prostym to przekątna prostokąta o bokach $a$ (krawędź podstawy) i $H$ .

Przykład 8. Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy $6$ , a przekątna ściany bocznej ma długość $10$ . Oblicz wysokość graniastosłupa i tangens kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy.

$H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8, \qquad \operatorname{tg}\varphi = \frac{H}{a} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}.$

Odpowiedź. $H = 8$ , $\operatorname{tg}\varphi = \frac{4}{3}$ . Zauważ: w graniastosłupie trójkątnym każdy odcinek łączący dwa wierzchołki leży na jakiejś ścianie, dlatego to przekątna ściany, a nie graniastosłupa.

Najczęstsze pytania

Ile krawędzi ma graniastosłup? Graniastosłup $n$ -kątny ma $3n$ krawędzi: po $n$ w każdej z dwóch podstaw i $n$ krawędzi bocznych. Graniastosłup trójkątny ma ich $9$ , czworokątny $12$ , sześciokątny $18$ .

Ile wierzchołków i ścian ma graniastosłup? $2n$ wierzchołków i $n + 2$ ściany. Na przykład graniastosłup pięciokątny ma $10$ wierzchołków i $7$ ścian.

Ile przekątnych ma graniastosłup? $n(n - 3)$ : trójkątny $0$ , czworokątny $4$ , pięciokątny $10$ , sześciokątny $18$ .

Jak obliczyć przekątną prostopadłościanu? Ze wzoru $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ , gdzie $a$ , $b$ , $c$ to długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.

Ile wynosi przekątna sześcianu? $d = a\sqrt{3}$ , gdzie $a$ to krawędź. Przekątna ściany sześcianu ma długość $a\sqrt{2}$ .

Jak wyznaczyć kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą? Narysuj trójkąt prostokątny: przekątna graniastosłupa, jej rzut na podstawę (przekątna podstawy) i krawędź boczna. Kąt leży przy przekątnej podstawy, a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{p}$ .

Czym różni się graniastosłup prawidłowy od prostego? Każdy graniastosłup prawidłowy jest prosty, ale nie odwrotnie. Prawidłowy musi mieć jeszcze w podstawie wielokąt foremny. Prostopadłościan o podstawie $3 \times 5$ jest prosty, ale nie prawidłowy.

Czy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym? Tak - to graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego wysokość jest równa krawędzi podstawy.

Przećwicz

Graniastosłupy → - liczba krawędzi i ścian, przekątne prostopadłościanu i sześcianu, przekątne graniastosłupa sześciokątnego, kąt przekątnej z podstawą.
Kąt między prostą a płaszczyzną → - przekątna graniastosłupa nachylona do podstawy pod danym kątem.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Graniastosłup $n$ -kątny ma $2n$ wierzchołków, $3n$ krawędzi, $n + 2$ ściany i $n(n - 3)$ przekątnych; zawsze $W - K + S = 2$ .
Graniastosłup prawidłowy = prosty + wielokąt foremny w podstawie.
Przekątna prostopadłościanu: $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$ ; sześcianu: $a\sqrt{3}$ , ściany sześcianu: $a\sqrt{2}$ .
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma przekątne dwóch długości: $\sqrt{3a^2 + H^2}$ i $\sqrt{4a^2 + H^2}$ .
Kąt przekątnej z podstawą leży w trójkącie prostokątnym: przekątna podstawy, krawędź boczna, przekątna graniastosłupa; $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{p}$ .