Geometria przestrzenna. Wielościany - kurs, klasa 4: graniastosłupy, ostrosłupy, przekroje

Klasa 4 liceum i technikum

Geometria przestrzenna (stereometria) to dział geometrii, który bada figury w przestrzeni trójwymiarowej: wzajemne położenie punktów, prostych i płaszczyzn oraz bryły. Wielościan to bryła ograniczona skończoną liczbą wielokątów - ścian; ich boki to krawędzie wielościanu, a końce krawędzi - wierzchołki. Najważniejsze wielościany szkolne to graniastosłupy (dwie przystające podstawy połączone równoległobokami) i ostrosłupy (jedna podstawa i trójkątne ściany boczne o wspólnym wierzchołku).

Dział zaczyna się od fundamentów: kiedy trzy punkty wyznaczają płaszczyznę, czym proste skośne różnią się od równoległych i jak sprawdzić, że prosta jest prostopadła do płaszczyzny. Potem nauczysz się rysować bryły w rzucie równoległym - tak, żeby rysunek pomagał liczyć, a nie przeszkadzał. Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych i kąty w przestrzeni sprowadzą każde zadanie z bryłą do trójkąta prostokątnego, który rozwiążesz Pitagorasem albo trygonometrią kąta ostrego. Na końcu przyjdą pola powierzchni, objętości i przekroje - czyli to, co najczęściej pojawia się na maturze.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• opisywać wzajemne położenie prostych i płaszczyzn i rozpoznawać proste skośne;
• obliczać kąt między prostymi skośnymi przez przesunięcie jednej z nich;
• sprawdzać prostopadłość prostej i płaszczyzny (wystarczą dwie proste przecinające się);
• korzystać z rzutu równoległego i prostokątnego i poprawnie rysować bryły;
• stosować twierdzenie o trzech prostych prostopadłych;
• wyznaczać kąt między prostą a płaszczyzną i kąt dwuścienny;
• liczyć krawędzie, przekątne i wysokości graniastosłupów i ostrosłupów, wskazywać spodek wysokości;
• rysować siatki i obliczać pole powierzchni wielościanu;
• obliczać objętość graniastosłupa ($V = P_p \cdot H$) i ostrosłupa ($V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$);
• konstruować przekroje wielościanów i obliczać ich pola.

Warto wcześniej znać twierdzenie Pitagorasa, trygonometrię kąta ostrego, pola wielokątów oraz własności czworokątów - podstawy brył to najczęściej trójkąty, kwadraty, prostokąty i sześciokąty foremne.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami: 90 zadań w 8 typach, od prostych skośnych w sześcianie po kąty, objętości i przekroje.

Zestawienia wzorów są na stronach graniastosłupy - wzory i ostrosłupy - wzory. Walec, stożek i kula mają osobny rozdział kursu - geometria przestrzenna: bryły obrotowe - oraz stronę ze wzorami: bryły obrotowe i zestaw zadań z brył obrotowych.