Logarytm w zadaniach praktycznych - czas podwojenia, rozpad, pH, decybele, skala Richtera

Klasa 4 liceum i technikum

Logarytm w zadaniach praktycznych służy do wyznaczania niewiadomej stojącej w wykładniku: jeśli wielkość mnoży się co okres przez $q$, to czas $t$, po którym z wartości $A$ zrobi się $B$, wynosi $t = \log_q \frac{B}{A} = \frac{\log (B/A)}{\log q}$. Druga grupa zastosowań to skale logarytmiczne - pH, decybele i skala Richtera - w których wzrost o $1$ oznacza dziesięciokrotną zmianę mierzonej wielkości.

Same modele wzrostu i zaniku - jak z treści zadania zbudować wzór $A \cdot q^t$, wzrost o stały procent i kapitalizację ciągłą - omawia lekcja zastosowania funkcji wykładniczej. Tutaj zajmujemy się drugą połową zadania: pytaniem „po jakim czasie?” i skalami, w których logarytm jest częścią definicji.

Jak wyznaczyć niewiadomą w wykładniku

Schemat jest zawsze ten sam:

1. Zapisz model: $A \cdot q^t = B$ (albo nierówność, gdy pytanie brzmi „po ilu latach co najmniej…”).
2. Podziel przez $A$: $q^t = \frac{B}{A}$.
3. Zlogarytmuj obie strony (dowolną podstawą, zwykle $\log$ albo $\ln$): $t \log q = \log \frac{B}{A}$.
4. Podziel przez $\log q$. Jeśli $q < 1$, to $\log q < 0$ i w nierówności zmienia się zwrot (patrz nierówności logarytmiczne).
5. Zaokrąglij zgodnie z pytaniem i sprawdź sąsiednie liczby całkowite.

Czas podwojenia

Przykład 1. Liczba użytkowników aplikacji rośnie o $8\%$ rocznie. Po ilu pełnych latach co najmniej się podwoi?

Krok 1. $1{,}08^t \ge 2$.

Krok 2. $t \ge \dfrac{\log 2}{\log 1{,}08} \approx 9{,}006$.

Krok 3. Sąsiednie liczby. $1{,}08^9 \approx 1{,}999 < 2$, a $1{,}08^{10} \approx 2{,}159 \ge 2$.

Odpowiedź. Po $10$ pełnych latach. Wynik $9{,}006$ kusi, żeby odpowiedzieć „po 9 latach”, ale po 9 latach brakuje jeszcze ułamka procenta - dlatego sąsiednie wartości zawsze sprawdzamy rachunkiem. Szybkie oszacowanie daje reguła 72: $72 : 8 = 9$ lat.

Okres połowicznego rozpadu i datowanie węglem C-14

Okres połowicznego rozpadu $T$ to czas, po którym zostaje połowa substancji promieniotwórczej. Po czasie $t$ zostaje $m_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$.

Przykład 2 - wiek znaleziska. Węgiel C-14 ma okres połowicznego rozpadu $T = 5730$ lat. W drewnianym przedmiocie zostało $40\%$ pierwotnej ilości C-14. Ile lat ma przedmiot?

Krok 1. Model. $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = 0{,}4$.

Krok 2. Logarytmujemy. $\dfrac{t}{5730} \cdot \log 0{,}5 = \log 0{,}4$, więc

$t = 5730 \cdot \frac{\log 0{,}4}{\log 0{,}5} \approx 5730 \cdot \frac{-0{,}3979}{-0{,}3010} \approx 7575.$

Odpowiedź. Około $7600$ lat (dokładność datowania nie pozwala podawać jedności).

Przykład 3 - okres połowicznego rozpadu z pomiaru. W próbce pewnego izotopu po $15$ godzinach zostało $25\%$ początkowej masy. Oblicz $T$.

$\left(\frac{1}{2}\right)^{15/T} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^2$, więc $\frac{15}{T} = 2$ i $T = 7{,}5$ godziny. Logarytm nie był potrzebny, bo $25\%$ to dokładna potęga połówki. Przy „brzydkim” procencie liczymy jak w przykładzie 2: $T = t \cdot \frac{\log 0{,}5}{\log (m/m_0)}$.

Zapis z liczbą e. Fizycy piszą ten sam model jako $m(t) = m_0 e^{-kt}$, gdzie stała rozpadu $k = \frac{\ln 2}{T}$. Dla C-14: $k = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1{,}21 \cdot 10^{-4}$ na rok. Oba wzory dają te same liczby - wybór podstawy logarytmu to kwestia wygody. O samej liczbie $e$: liczba e.

Skala pH

Kwasowość roztworu mierzy się stężeniem jonów wodorowych $[\text{H}^+]$ (w molach na litr). Liczby są bardzo małe, więc używa się logarytmu:

$\text{pH} = -\log [\text{H}^+].$

Przykład 4. $[\text{H}^+] = 6{,}3 \cdot 10^{-5}$. Wtedy $\text{pH} = -\left(\log 6{,}3 + \log 10^{-5}\right) \approx -(0{,}799 - 5) \approx 4{,}20$ - roztwór kwaśny.

Przykład 5 - odwrotnie. Woda morska ma $\text{pH} = 8{,}3$. Stąd $[\text{H}^+] = 10^{-8{,}3} \approx 5{,}0 \cdot 10^{-9}$ mol/l.

Ile razy bardziej kwaśny? Spadek pH o $1$ oznacza dziesięciokrotnie większe stężenie jonów $\text{H}^+$. Roztwór o $\text{pH} = 3$ ma ich $10^{5 - 3} = 100$ razy więcej niż roztwór o $\text{pH} = 5$.

Decybele

Poziom natężenia dźwięku w decybelach to $L = 10 \log \frac{I}{I_0}$, gdzie $I_0 = 10^{-12}$ W/m² to próg słyszalności.

• Natężenie $I = 10^{-5}$ W/m² daje $L = 10 \log 10^{7} = 70$ dB.
• Wzrost o $10$ dB to dziesięciokrotnie większe natężenie, o $20$ dB - stukrotnie: hałas $85$ dB ma natężenie $10^{(85 - 65)/10} = 100$ razy większe niż rozmowa przy $65$ dB.
• Dwa jednakowe źródła nie dają dwa razy więcej decybeli: natężenie się podwaja, a poziom rośnie o $10 \log 2 \approx 3$ dB.

Skala Richtera

Magnituda trzęsienia ziemi jest logarytmem amplitudy drgań: różnica magnitud $M_1 - M_2 = \log \frac{A_1}{A_2}$, czyli stosunek amplitud to $10^{M_1 - M_2}$. Wyzwolona energia rośnie szybciej - w przybliżeniu jak $10^{1{,}5 (M_1 - M_2)}$.

Przykład 6. Porównaj trzęsienia o magnitudach $6{,}4$ i $4{,}9$. Różnica to $1{,}5$, więc amplituda jest $10^{1{,}5} \approx 31{,}6$ razy większa, a energia $10^{2{,}25} \approx 178$ razy większa. Różnica dwóch stopni w skali to już stukrotna amplituda i tysiąckrotna energia.

Lokata: po ilu miesiącach?

Przykład 7. Wpłacamy $5000$ zł na lokatę oprocentowaną $4{,}8\%$ w skali roku z kapitalizacją miesięczną (bez podatku). Po ilu miesiącach na koncie będzie co najmniej $6000$ zł?

Krok 1. Oprocentowanie miesięczne $0{,}4\%$, więc $5000 \cdot 1{,}004^n \ge 6000$, czyli $1{,}004^n \ge 1{,}2$.

Krok 2. $n \ge \dfrac{\log 1{,}2}{\log 1{,}004} \approx 45{,}67$.

Krok 3. Po $45$ miesiącach: $5000 \cdot 1{,}004^{45} \approx 5983{,}94$ zł; po $46$: $\approx 6007{,}87$ zł.

Odpowiedź. Po $46$ miesiącach. Rachunki lokat i kredytów krok po kroku: procent składany, lokaty i kredyty.

Jak zaokrąglać wynik

• „Po ilu pełnych latach co najmniej…” - bierzemy najmniejszą liczbę całkowitą nie mniejszą od wyniku (zaokrąglenie w górę), a potem sprawdzamy ją i liczbę o $1$ mniejszą.
• „Ile lat ma znalezisko?” - zwykłe zaokrąglenie z rozsądną dokładnością; datowanie radiowęglowe nie daje wyniku co do roku.
• Nie zaokrąglaj w trakcie. Logarytmy w liczniku i mianowniku trzymaj z dokładnością co najmniej czterech cyfr - przy $\log 1{,}004 \approx 0{,}0017$ zaokrąglenie do $0{,}002$ zmieniłoby wynik z $46$ na $40$ miesięcy.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć, po ilu latach kapitał się podwoi? Rozwiąż $(1 + r)^n \ge 2$: $n \ge \frac{\log 2}{\log(1 + r)}$ i weź najmniejszą liczbę całkowitą. Przy $8\%$ wychodzi $9{,}006$, czyli $10$ pełnych lat.

Jak obliczyć wiek znaleziska metodą C-14? Z równania $\left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730} = p$, gdzie $p$ to część pozostałego węgla: $t = 5730 \cdot \frac{\log p}{\log 0{,}5}$. Dla $p = 0{,}4$ to około $7600$ lat.

Jak obliczyć pH ze stężenia jonów wodorowych?$\text{pH} = -\log[\text{H}^+]$. Dla $[\text{H}^+] = 10^{-4}$ mol/l pH wynosi $4$, a dla $6{,}3 \cdot 10^{-5}$ - około $4{,}2$.

O ile decybeli głośniej są dwa głośniki zamiast jednego? O około $3$ dB, bo natężenie się podwaja, a $10 \log 2 \approx 3{,}01$.

Ile razy silniejsze jest trzęsienie ziemi o 1 stopień wyższe w skali Richtera? Amplituda drgań jest $10$ razy większa, a energia - około $31{,}6$ razy ($10^{1{,}5}$).

Przećwicz

• Logarytmy w zadaniach praktycznych → - czas podwojenia bakterii, datowanie węglem C-14, okres połowicznego rozpadu z pomiaru, lek w organizmie, pH, decybele, skala Richtera, lokata z kapitalizacją miesięczną i stygnięcie herbaty.
• Lokaty i kredyty - zadania → - procent składany i raty.
• Cały zestaw: logarytmy - zadania →

Podsumowanie

• Niewiadoma w wykładniku: $A q^t = B \iff t = \frac{\log(B/A)}{\log q}$.
• Czas podwojenia: $\frac{\log 2}{\log(1 + r)}$; okres połowicznego rozpadu: $m_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$ albo $m_0 e^{-kt}$ z $k = \frac{\ln 2}{T}$.
• Skale logarytmiczne: pH $= -\log[\text{H}^+]$, $L = 10\log\frac{I}{I_0}$, różnica magnitud to logarytm stosunku amplitud.
• W pytaniu „po ilu pełnych latach” zaokrąglamy w górę i sprawdzamy sąsiednie liczby.
• Dzielenie przez $\log q$ dla $q < 1$ zmienia zwrot nierówności.