Równania wykładnicze - metody rozwiązywania i przykłady krok po kroku

Klasa 4 liceum i technikum

Równanie wykładnicze to równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi, na przykład $2^{x + 1} = 32$ albo $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$. Rozwiązuje się je, sprowadzając obie strony do potęg o tej samej podstawie i porównując wykładniki - wolno tak zrobić, bo funkcja wykładnicza jest różnowartościowa.

Ta zasada pochodzi z lekcji własności funkcji wykładniczej: $a^{x_1} = a^{x_2}$ tylko wtedy, gdy $x_1 = x_2$. Proste równania typu $2^x = 32$ były już w klasie pierwszej. Teraz przechodzimy przez wszystkie metody po kolei, od najprostszej do najtrudniejszej. Przy sprowadzaniu do wspólnej podstawy przyda się tabela potęg z lekcji potęga o wykładniku rzeczywistym - powtórzenie.

Jak rozpoznać, której metody użyć

Metoda 1 - wspólna podstawa

Przykład 1. Rozwiąż równanie $27^{x - 1} = 9^{x + 1}$.

Krok 1. $27 = 3^3$, $9 = 3^2$:

$\left(3^3\right)^{x - 1} = \left(3^2\right)^{x + 1} \quad\Longrightarrow\quad 3^{3x - 3} = 3^{2x + 2}$

Krok 2. Potęgi o tej samej podstawie są równe, więc równe są wykładniki:

$3x - 3 = 2x + 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 5$

Sprawdzenie. $27^4 = 3^{12}$ oraz $9^6 = 3^{12}$.

Odpowiedź. $x = 5$.

Przykład 2 - pierwiastki. Rozwiąż równanie $\left(\sqrt{3}\right)^{x} = 9\sqrt[3]{3}$.

Krok 1. Lewa strona: $\left(3^{\frac{1}{2}}\right)^x = 3^{\frac{x}{2}}$. Prawa strona: $3^2 \cdot 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{7}{3}}$.

Krok 2.

$\frac{x}{2} = \frac{7}{3} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{14}{3}$

Odpowiedź. $x = \frac{14}{3}$.

Metoda 2 - wyłączenie wspólnego czynnika

Gdy po lewej stronie jest suma potęg tej samej podstawy, nie wolno „dodać wykładników” - wyłączamy przed nawias potęgę o najmniejszym wykładniku.

Przykład 3. Rozwiąż równanie $3^{x + 1} + 3^{x - 1} = 30$.

Krok 1. Najmniejszy wykładnik to $x - 1$. Zapisujemy $3^{x + 1} = 3^{x - 1} \cdot 3^2$:

$3^{x - 1} \cdot 9 + 3^{x - 1} = 30 \quad\Longrightarrow\quad 3^{x - 1}(9 + 1) = 30 \quad\Longrightarrow\quad 3^{x - 1} = 3$

Krok 2. $x - 1 = 1$, czyli $x = 2$.

Sprawdzenie. $3^3 + 3^1 = 27 + 3 = 30$.

Odpowiedź. $x = 2$.

Metoda 3 - podstawienie t = aˣ

Gdy w równaniu występują $a^{2x}$ i $a^x$ (na przykład $4^x$ i $2^x$, $9^x$ i $3^x$), podstawiamy $t = a^x$. Wtedy $a^{2x} = \left(a^x\right)^2 = t^2$ i dostajemy równanie kwadratowe. Warunek $t > 0$ jest obowiązkowy: potęga liczby dodatniej nie może być ujemna ani zerowa.

Przykład 4. Rozwiąż równanie $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$.

Krok 1. $9^x = \left(3^x\right)^2$. Podstawiamy $t = 3^x$, $t > 0$:

$t^2 - 4t + 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (t - 1)(t - 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \ \text{ lub } \ t = 3$

Krok 2. Oba rozwiązania są dodatnie. Wracamy do $x$: $3^x = 1$ daje $x = 0$, a $3^x = 3$ daje $x = 1$.

Odpowiedź. $x = 0$ lub $x = 1$.

Przykład 5 - rozwiązanie, które odpada. Rozwiąż równanie $4^x + 2^x - 6 = 0$.

Krok 1. $t = 2^x$, $t > 0$: $\ t^2 + t - 6 = 0$, $\Delta = 1 + 24 = 25$, więc $t = 2$ lub $t = -3$.

Krok 2. $t = -3$ odrzucamy, bo $2^x > 0$. Zostaje $2^x = 2$, czyli $x = 1$.

Odpowiedź. $x = 1$. Zapomnienie o warunku $t > 0$ prowadzi do „rozwiązania” $2^x = -3$, którego nie ma - to najczęstszy błąd w tej metodzie.

Metoda 4 - różne podstawy, równe wykładniki

Jeśli $a^{w} = b^{w}$ przy różnych podstawach, to dzieląc stronami dostajemy $\left(\frac{a}{b}\right)^{w} = 1$, a potęga liczby różnej od $1$ jest równa $1$ tylko dla wykładnika $0$.

Przykład 6. Rozwiąż równanie $3^{2x - 4} = 5^{x - 2}$.

Krok 1. $3^{2x - 4} = \left(3^2\right)^{x - 2} = 9^{x - 2}$, więc równanie ma postać $9^{x - 2} = 5^{x - 2}$.

Krok 2. Dzielimy obie strony przez $5^{x - 2} > 0$:

$\left(\frac{9}{5}\right)^{x - 2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Odpowiedź. $x = 2$ (obie strony są wtedy równe $1$).

Metoda 5 - logarytm

Jeśli prawej strony nie da się zapisać jako potęgi podstawy, korzystamy z definicji logarytmu: $a^x = b \iff x = \log_a b$ (dla $b > 0$).

Przykład 7. Rozwiąż równanie $5^x = 12$.

$x = \log_5 12 = \frac{\log 12}{\log 5} \approx 1{,}544$

Przykład 8 - dwie różne podstawy i różne wykładniki. Rozwiąż równanie $2^x = 3^{x - 1}$.

Krok 1. Logarytmujemy obie strony (logarytm dziesiętny): $x \log 2 = (x - 1)\log 3$.

Krok 2. Porządkujemy: $x(\log 3 - \log 2) = \log 3$, więc

$x = \frac{\log 3}{\log 3 - \log 2} = \frac{\log 3}{\log \frac{3}{2}} = \log_{\frac{3}{2}} 3 \approx 2{,}71$

Odpowiedź. $x = \log_{\frac{3}{2}} 3 \approx 2{,}71$. Prawa działań na logarytmach przypomina lekcja zastosowanie logarytmów.

Uwaga: równanie $a^x = b$ z $b \le 0$ nie ma rozwiązań, np. $2^x = -4$ albo $3^x = 0$.

Metoda 6 - zgadnij i uzasadnij monotonicznością

Niektórych równań nie da się przekształcić algebraicznie, bo potęga stoi obok zwykłego wyrażenia. Wtedy szukamy rozwiązania „na próbę”, a potem dowodzimy, że innych nie ma.

Przykład 9. Rozwiąż równanie $3^x = 4 - x$.

Krok 1. Próbujemy małych liczb: dla $x = 1$ lewa strona to $3$, prawa $4 - 1 = 3$. Mamy rozwiązanie.

Krok 2. Lewa strona, $3^x$, jest funkcją rosnącą, prawa, $4 - x$, malejącą. Wykres funkcji rosnącej i wykres funkcji malejącej mogą się przeciąć najwyżej raz: na lewo od $x = 1$ lewa strona jest mniejsza od $3$, a prawa większa od $3$; na prawo od $x = 1$ - odwrotnie.

Odpowiedź. $x = 1$ i jest to jedyne rozwiązanie.

Typowe błędy

• Dodawanie wykładników w sumie. $2^x + 2^{x + 1}$ to nie $2^{2x + 1}$ - wyłączamy czynnik: $2^x(1 + 2) = 3 \cdot 2^x$.
• Brak warunku $t > 0$ w podstawieniu - zostaje rozwiązanie z ujemnego $t$, którego nie ma.
• Porównywanie wykładników przy różnych podstawach. Z $2^x = 3^{x - 1}$ nie wynika $x = x - 1$.
• „Rozwiązanie” równania $a^x = 0$ albo $a^x = -1$. Potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia.
• Zgubiony minus w wykładniku. $\frac{1}{9} = 3^{-2}$, więc z $3^{x} = \frac{1}{9}$ mamy $x = -2$, a nie $x = 2$.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązywać równania wykładnicze? Zapisz obie strony jako potęgi tej samej podstawy i porównaj wykładniki. Gdy to niemożliwe: przy sumie potęg wyłącz czynnik przed nawias, przy $a^{2x}$ i $a^x$ podstaw $t = a^x > 0$, a gdy prawa strona nie jest potęgą podstawy - użyj logarytmu.

Dlaczego można porównać wykładniki? Bo funkcja wykładnicza jest różnowartościowa: dwie potęgi tej samej podstawy (dodatniej, różnej od $1$) są równe tylko przy równych wykładnikach.

Co zrobić, gdy w równaniu są $4^x$ i $2^x$? Zapisz $4^x = \left(2^x\right)^2$ i podstaw $t = 2^x$ z warunkiem $t > 0$. Powstanie równanie kwadratowe z niewiadomą $t$; ujemne rozwiązania odrzuć.

Jak rozwiązać równanie $2^x = 5$?$5$ nie jest potęgą dwójki o wykładniku wymiernym, więc $x = \log_2 5 \approx 2{,}32$.

Ile rozwiązań może mieć równanie wykładnicze? Proste równanie $a^x = b$ ma jedno rozwiązanie dla $b > 0$ i żadnego dla $b \le 0$. Po podstawieniu $t = a^x$ może mieć zero, jedno lub dwa rozwiązania - zależnie od tego, ile dodatnich pierwiastków ma równanie kwadratowe.

Czy $x = 0$ może być rozwiązaniem równania wykładniczego? Tak - $a^0 = 1$. Na przykład $5^x = 1$ ma rozwiązanie $x = 0$, a $9^x - 4 \cdot 3^x + 3 = 0$ ma rozwiązania $0$ i $1$.

Przećwicz

• Równania wykładnicze - zadania → - 14 zadań: wspólna podstawa, wyłączanie czynnika, różne podstawy, rozwiązanie z logarytmem, podstawienie $t = a^x$, rozwiązanie z monotoniczności i równanie z parametrem.
• Nierówności wykładnicze - zadania → - następny krok.
• Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

• Podstawowa zasada: $a^{f(x)} = a^{g(x)} \iff f(x) = g(x)$ dla $a > 0$, $a \ne 1$.
• Suma potęg tej samej podstawy - wyłączamy najmniejszą potęgę przed nawias.
• $a^{2x}$ i $a^x$ - podstawienie $t = a^x$, warunek $t > 0$, równanie kwadratowe.
• Różne podstawy i ten sam wykładnik - wykładnik musi być równy $0$.
• Prawa strona nie jest potęgą podstawy - $x = \log_a b$; dla $b \le 0$ brak rozwiązań.
• Potęga obok wyrażenia liniowego - zgadujemy rozwiązanie i uzasadniamy jedyność monotonicznością.