Jak rozwiązać nierówność (1/2)^x > 8?

8 = (1/2)^-3, a podstawa jest mniejsza od 1, więc x < -3.

Nierówności wykładnicze - kiedy zmienić zwrot, przykłady krok po kroku

Q: Kiedy w nierówności wykładniczej zmienia się znak?

Gdy podstawa potęgi jest liczbą z przedziału (0, 1), np. 1/2, 0,3 albo 2/5. Przy podstawie większej od 1 zwrot zostaje bez zmian.

Q: Czy nierówność 2^x > -3 ma rozwiązania?

Tak - jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, bo 2^x > 0 > -3. Natomiast 2^x < -3 nie ma żadnego rozwiązania.

Q: Jak rozwiązać nierówność, w której są 9^x i 3^x?

Podstaw t = 3^x z warunkiem t > 0, rozwiąż nierówność kwadratową względem t, a potem wróć do x, rozwiązując jedną lub dwie proste nierówności wykładnicze.

Klasa 4 liceum i technikum

Nierówności wykładnicze - reguła zwrotu

$a > 1: \qquad a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x) \quad \text{(zwrot bez zmian)}$

$0 < a < 1: \qquad a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) > g(x) \quad \text{(zwrot się zmienia)}$

To samo dla $>$ , $\le$ i $\ge$ . Ponadto $a^{f(x)} > 0$ zawsze, więc $a^{f(x)} > b$ przy $b \le 0$ jest prawdziwa dla każdego $x$ , a $a^{f(x)} < b$ przy $b \le 0$ - dla żadnego.

Nierówność wykładnicza to nierówność, w której niewiadoma stoi w wykładniku potęgi, np. $2^{3x - 1} > 16$ . Rozwiązuje się ją jak równanie wykładnicze - sprowadzając obie strony do wspólnej podstawy i porównując wykładniki - z jedną różnicą: gdy podstawa jest mniejsza od $1$ , zwrot nierówności trzeba zmienić na przeciwny.

Reguła wynika wprost z monotoniczności, którą uzasadniliśmy w lekcji własności funkcji wykładniczej: funkcja rosnąca zachowuje kolejność liczb, malejąca ją odwraca. Metody przekształcania są te same co w lekcji równania wykładnicze - wspólna podstawa, wyłączenie czynnika, podstawienie $t = a^x$ , logarytm.

Skąd się bierze zmiana zwrotu

Nierówność (½)ˣ < 4 = (½)⁻²: wykres y = (½)ˣ leży pod prostą y = 4 dla x > −2. Funkcja jest malejąca, więc z (½)ˣ < (½)⁻² wynika x > −2 - zwrot się odwrócił.

Rozwiążmy $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x < 4$ . Ponieważ $4 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}$ , nierówność ma postać $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x < \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2}$ . Funkcja $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ maleje, więc mniejszą wartość przyjmuje dla większego argumentu: $x > -2$ . Na rysunku widać to wprost - wykres leży pod prostą $y = 4$ na prawo od punktu $(-2, 4)$ .

Gdyby ktoś „porównał wykładniki” bez myślenia, dostałby $x < -2$ - czyli dokładnie zbiór, w którym nierówność nie zachodzi. Dlatego przed porównaniem wykładników zawsze patrzymy na podstawę.

Sposób na uniknięcie pułapki: podstawę mniejszą od $1$ można zamienić na większą od $1$ , np. $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x = 2^{-x}$ . Wtedy $2^{-x} < 2^2$ , więc $-x < 2$ , czyli $x > -2$ - ten sam wynik.

Przykład 1 - podstawa większa od 1

Zadanie. Rozwiąż nierówność $2^{3x - 1} > 16$ .

Krok 1. $16 = 2^4$ : $\ 2^{3x - 1} > 2^4$ .

Krok 2. Podstawa $2 > 1$ - zwrot zostaje: $3x - 1 > 4$ , więc $x > \frac{5}{3}$ .

Odpowiedź. $x \in \left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$ .

Przykład 2 - podstawa mniejsza od 1

Zadanie. Rozwiąż nierówność $\left(\tfrac{1}{3}\right)^{x + 2} \le 27$ .

Krok 1. $27 = 3^3 = \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-3}$ : $\ \left(\tfrac{1}{3}\right)^{x + 2} \le \left(\tfrac{1}{3}\right)^{-3}$ .

Krok 2. Podstawa $\tfrac{1}{3} < 1$ - zmieniamy zwrot: $x + 2 \ge -3$ , więc $x \ge -5$ .

Odpowiedź. $x \in [-5, +\infty)$ .

Przykład 3 - wykładnik kwadratowy

Zadanie. Rozwiąż nierówność $0{,}5^{x^2} \ge 0{,}5^{2x + 3}$ .

Krok 1. Podstawa $0{,}5 < 1$ , więc zwrot się zmienia:

$x^2 \le 2x + 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - 3 \le 0 \quad\Longrightarrow\quad (x - 3)(x + 1) \le 0$

Krok 2. Ramiona paraboli skierowane w górę, miejsca zerowe $-1$ i $3$ ; wartości niedodatnie są między nimi (zob. nierówności kwadratowe).

Odpowiedź. $x \in [-1, 3]$ .

Przykład 4 - wyłączenie czynnika

Zadanie. Rozwiąż nierówność $3^{x + 2} - 3^{x} > 72$ .

Krok 1. Wyłączamy $3^x$ : $\ 3^x(3^2 - 1) = 8 \cdot 3^x > 72$ , więc $3^x > 9 = 3^2$ .

Krok 2. Podstawa $3 > 1$ : $x > 2$ .

Odpowiedź. $x \in (2, +\infty)$ .

Przykład 5 - podstawienie t = aˣ

Zadanie. Rozwiąż nierówność $4^x - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 < 0$ .

Krok 1. $4^x = \left(2^x\right)^2$ oraz $3 \cdot 2^{x + 1} = 6 \cdot 2^x$ . Podstawiamy $t = 2^x$ , $t > 0$ :

$t^2 - 6t + 8 < 0 \quad\Longrightarrow\quad (t - 2)(t - 4) < 0 \quad\Longrightarrow\quad 2 < t < 4$

Krok 2. Warunek $t > 0$ jest spełniony w całym przedziale. Wracamy do $x$ :

$2 < 2^x < 4 \quad\Longrightarrow\quad 2^1 < 2^x < 2^2 \quad\Longrightarrow\quad 1 < x < 2$

Odpowiedź. $x \in (1, 2)$ . Częsty błąd to podanie w odpowiedzi przedziału dla $t$ , czyli $(2, 4)$ .

Gdy z nierówności kwadratowej wychodzi np. $t < -1$ lub $t > 3$ , część $t < -1$ odpada (bo $t > 0$ ) i zostaje tylko $2^x > 3$ .

Przykład 6 - logarytm w odpowiedzi

Zadanie. Rozwiąż nierówność $3^x > 5$ .

$5$ nie jest potęgą trójki o wykładniku wymiernym, więc zapisujemy $5 = 3^{\log_3 5}$ :

$3^x > 3^{\log_3 5} \quad\Longrightarrow\quad x > \log_3 5 \approx 1{,}465$

Odpowiedź. $x \in (\log_3 5, +\infty)$ .

Przykład 7 - dziedzina funkcji

Zadanie. Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \sqrt{27 - 3^{2x + 1}}$ .

Krok 1. Wyrażenie pod pierwiastkiem musi być nieujemne (zob. dziedzina funkcji):

$27 - 3^{2x + 1} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 3^{2x + 1} \le 3^3$

Krok 2. Podstawa $3 > 1$ : $\ 2x + 1 \le 3$ , więc $x \le 1$ .

Odpowiedź. $D = (-\infty, 1]$ .

Typowe błędy

Brak zmiany zwrotu przy podstawie mniejszej od $1$ - najczęstszy błąd. Dotyczy też podstaw zapisanych dziesiętnie ( $0{,}2$ , $0{,}5$ ) i w postaci $a^{-x}$ .
Zmiana zwrotu, gdy nie trzeba. Zwrot zależy od podstawy, a nie od znaku wykładnika czy prawej strony: w $2^{-x} > \frac{1}{8}$ podstawa to $2$ , więc $-x > -3$ i dopiero mnożenie przez $-1$ daje $x < 3$ .
Przedział dla $t$ zamiast dla $x$ w metodzie podstawienia.
Zapomniany warunek $t > 0$ , przez co w odpowiedzi zostaje fragment, który nie istnieje.

Najczęstsze pytania

Kiedy w nierówności wykładniczej zmienia się znak? Gdy podstawa potęgi jest liczbą z przedziału $(0, 1)$ , np. $\tfrac{1}{2}$ , $0{,}3$ albo $\tfrac{2}{5}$ . Przy podstawie większej od $1$ zwrot zostaje bez zmian.

Jak rozwiązać nierówność $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x > 8$ ? $8 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-3}$ , a podstawa jest mniejsza od $1$ , więc $x < -3$ .

Czy nierówność $2^x > -3$ ma rozwiązania? Tak - jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej, bo $2^x > 0 > -3$ . Natomiast $2^x < -3$ nie ma żadnego rozwiązania.

Jak rozwiązać nierówność, w której są $9^x$ i $3^x$ ? Podstaw $t = 3^x$ z warunkiem $t > 0$ , rozwiąż nierówność kwadratową względem $t$ , a potem wróć do $x$ , rozwiązując jedną lub dwie proste nierówności wykładnicze.

Czym różni się rozwiązywanie nierówności wykładniczej od równania? Metody przekształceń są te same. Różnica jest tylko w ostatnim kroku: przy porównaniu wykładników trzeba sprawdzić podstawę i ewentualnie odwrócić zwrot, a odpowiedzią jest zbiór, zwykle przedział.

Przećwicz

Nierówności wykładnicze - zadania → - 12 zadań: kiedy zmienić zwrot, podstawienie $t = a^x$ z nierównością kwadratową, wykładnik kwadratowy, logarytm w odpowiedzi, dziedzina funkcji i parametr w podstawie.
Równania wykładnicze - zadania → - te same metody przekształceń.
Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

Podstawa $a > 1$ : $a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) < g(x)$ - zwrot zostaje.
Podstawa $0 < a < 1$ : $a^{f(x)} < a^{g(x)} \iff f(x) > g(x)$ - zwrot się zmienia.
Przekształcenia jak w równaniach: wspólna podstawa, wyłączenie czynnika, $t = a^x > 0$ , logarytm.
Odpowiedź podajemy dla $x$ , nie dla $t$ ; wykładnik kwadratowy prowadzi do nierówności kwadratowej.
$a^{f(x)} > b$ przy $b \le 0$ jest zawsze prawdziwa, $a^{f(x)} < b$ przy $b \le 0$ - nigdy.