Walec - objętość, pole powierzchni i przekroje walca

Klasa 4 liceum i technikum

Walec to bryła powstała przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z jego boków. Ma dwie podstawy - przystające koła o promieniu $r$ leżące w równoległych płaszczyznach - oraz powierzchnię boczną. Objętość walca to pole podstawy razy wysokość, $V = \pi r^2 H$, a pole powierzchni całkowitej to dwa koła i prostokąt: $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$.

Elementy walca

• Oś walca - prosta przechodząca przez środki obu podstaw. Wokół niej obracał się prostokąt.
• Wysokość $H$ - odległość płaszczyzn podstaw (w walcu prostym to długość odcinka łączącego środki podstaw).
• Tworząca - odcinek łączący okręgi obu podstaw i równoległy do osi. Wszystkie tworzące mają długość $H$; to ślad boku prostokąta, który się obracał.
• Promień walca $r$ - promień podstawy, czyli długość drugiego boku obracanego prostokąta.

W szkole „walec” oznacza zawsze walec prosty (tworzące prostopadłe do podstaw). Walec, który powstaje z obrotu kwadratu, ma $H = 2r$ i nazywa się walcem równobocznym - jego przekrój osiowy jest kwadratem.

Siatka walca i pole powierzchni

Jeśli powierzchnię boczną rozetniemy wzdłuż tworzącej i rozłożymy na płaszczyźnie, otrzymamy prostokąt. Jeden jego bok to tworząca ($H$), a drugi owijał się dookoła podstawy, więc ma długość obwodu koła, $2\pi r$.

Stąd wzory:

$P_p = \pi r^2, \qquad P_b = 2\pi r \cdot H, \qquad P_c = 2P_p + P_b = 2\pi r^2 + 2\pi r H.$

Przykład 1. Walec ma promień $4$ i wysokość $7$. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość.

Krok 1. Pole podstawy. $P_p = \pi \cdot 4^2 = 16\pi$.

Krok 2. Pole boczne. $P_b = 2\pi \cdot 4 \cdot 7 = 56\pi$.

Krok 3. Pole całkowite i objętość.

$P_c = 2 \cdot 16\pi + 56\pi = 88\pi, \qquad V = \pi \cdot 16 \cdot 7 = 112\pi.$

Odpowiedź. $P_c = 88\pi \approx 276{,}5$, $V = 112\pi \approx 351{,}9$.

Siatkę można też czytać odwrotnie: jeśli prostokąt $12\pi \times 5$ zwiniemy w walec tak, by bok $12\pi$ stał się obwodem podstawy, to $2\pi r = 12\pi$, czyli $r = 6$, a $H = 5$.

Objętość walca

Walec jest „graniastosłupem o okrągłej podstawie”: objętość to pole podstawy razy wysokość,

$V = P_p \cdot H = \pi r^2 H.$

Przykład 2. Ile litrów mieści beczka? Beczka w kształcie walca ma średnicę $60$ cm i wysokość $90$ cm. Ile litrów wody się w niej zmieści?

Krok 1. Jednostki. Litr to decymetr sześcienny, więc liczymy w decymetrach: $r = 3$ dm, $H = 9$ dm. Uwaga - w zadaniu podano średnicę, a wzór potrzebuje promienia.

Krok 2. Objętość. $V = \pi \cdot 3^2 \cdot 9 = 81\pi \approx 254{,}5 \text{ dm}^3$.

Odpowiedź. Beczka mieści około $254$ litrów.

Przekrój osiowy walca

Przekrój osiowy to przekrój płaszczyzną zawierającą oś walca. Jest to zawsze prostokąt o bokach $2r$ (średnica podstawy) i $H$.

Z prostokąta odczytujemy:

$d = \sqrt{(2r)^2 + H^2}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2r}, \qquad P_{\text{przekroju}} = 2r \cdot H.$

Ciekawostka, która skraca rachunki: pole boczne to $P_b = 2\pi r H = \pi \cdot (2rH)$, czyli $\pi$ razy pole przekroju osiowego.

Przykład 3. Przekątna przekroju osiowego walca ma długość $10$ i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt $30^\circ$. Oblicz objętość i pole boczne walca.

Krok 1. Boki przekroju. W trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej $d = 10$:

$2r = 10\cos 30^\circ = 5\sqrt{3}, \qquad H = 10\sin 30^\circ = 5.$

Krok 2. Promień. $r = \frac{5\sqrt{3}}{2}$, więc $r^2 = \frac{75}{4}$.

Krok 3. Objętość i pole boczne.

$V = \pi \cdot \frac{75}{4} \cdot 5 = \frac{375}{4}\pi, \qquad P_b = \pi \cdot 2rH = \pi \cdot 5\sqrt{3} \cdot 5 = 25\sqrt{3}\,\pi.$

Odpowiedź. $V = \frac{375}{4}\pi \approx 294{,}5$, $P_b = 25\sqrt{3}\,\pi \approx 136{,}0$.

Inne przekroje walca

• Płaszczyzna prostopadła do osi tnie walec wzdłuż koła przystającego do podstawy.
• Płaszczyzna równoległa do osi, odległa od niej o $d < r$, tnie walec wzdłuż prostokąta. Jeden bok to tworząca $H$, a drugi - cięciwa podstawy, której długość liczymy z twierdzenia Pitagorasa: połowa cięciwy, odległość $d$ i promień $r$ tworzą trójkąt prostokątny.

$\text{cięciwa} = 2\sqrt{r^2 - d^2}, \qquad P = 2\sqrt{r^2 - d^2} \cdot H.$

Przykład 4. Walec ma promień $5$ i wysokość $8$. Przecięto go płaszczyzną równoległą do osi, odległą od niej o $4$. Oblicz pole przekroju.

Połowa cięciwy: $\sqrt{25 - 16} = 3$, więc cięciwa ma długość $6$, a przekrój jest prostokątem $6 \times 8$ o polu $48$. Dla porównania przekrój osiowy ($d = 0$) ma pole $10 \cdot 8 = 80$ - im dalej od osi, tym przekrój węższy.

Walec równoboczny

Gdy $H = 2r$, wzory się upraszczają:

$V = \pi r^2 \cdot 2r = 2\pi r^3, \qquad P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot 2r = 6\pi r^2.$

W walec równoboczny da się wpisać kulę - tę samą, którą Archimedes kazał wyryć na swoim nagrobku. Wrócimy do niej w lekcji bryły obrotowe - zadania.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć objętość walca? Pomnóż pole podstawy przez wysokość: $V = \pi r^2 H$. Dla walca o promieniu $3$ i wysokości $10$ wychodzi $V = \pi \cdot 9 \cdot 10 = 90\pi \approx 282{,}7$.

Jaki jest wzór na pole powierzchni walca?$P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$ - dwie podstawy (koła) i powierzchnia boczna (prostokąt $2\pi r \times H$). Samo pole boczne to $P_b = 2\pi r H$.

Jak obliczyć, ile litrów ma walec? Policz objętość w decymetrach sześciennych - $1 \text{ dm}^3 = 1$ litr. Wymiary w centymetrach podziel przez $10$ przed podstawieniem albo wynik w cm³ podziel przez $1000$.

Co to jest przekrój osiowy walca? Przekrój płaszczyzną zawierającą oś walca. Jest prostokątem o bokach $2r$ i $H$, a jego przekątna ma długość $\sqrt{4r^2 + H^2}$.

Co to jest tworząca walca? Odcinek łączący okręgi obu podstaw, równoległy do osi. W walcu prostym ma długość równą wysokości.

Co to jest walec równoboczny? Walec, którego wysokość jest równa średnicy podstawy ($H = 2r$). Jego przekrój osiowy jest kwadratem.

Przećwicz

• Walec - zadania → - pole i objętość, przekrój osiowy i jego przekątna, walec z przekroju o danym polu i obwodzie, przekrój płaszczyzną równoległą do osi, rozwinięcie powierzchni bocznej, rura i zadania odwrotne.
• Cały zestaw: bryły obrotowe - zadania z rozwiązaniami

Podsumowanie

• Walec powstaje z obrotu prostokąta dookoła boku; tworząca ma długość $H$.
• $V = \pi r^2 H$, $P_b = 2\pi r H$, $P_c = 2\pi r^2 + 2\pi r H$.
• Siatka walca: prostokąt $2\pi r \times H$ i dwa koła o promieniu $r$.
• Przekrój osiowy: prostokąt $2r \times H$; pole boczne to $\pi$ razy jego pole.
• Przekrój równoległy do osi w odległości $d$: prostokąt o boku $2\sqrt{r^2 - d^2}$.
• Walec równoboczny: $H = 2r$, $V = 2\pi r^3$, $P_c = 6\pi r^2$.