Rzut równoległy i rzut prostokątny na płaszczyznę - własności, długość rzutu odcinka i pole rzutu

Q: Jak obliczyć długość rzutu prostokątnego odcinka?

|A'B'| = |AB|cosvarphi, gdzie varphi to kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny. Bez kąta: |A'B'| = √|AB|² - h², gdzie h to różnica odległości końców od płaszczyzny (albo ich suma, gdy końce leżą po różnych stronach).

Klasa 4 liceum i technikum

Rzut równoległy i prostokątny - wzory

Rzut równoległy zachowuje: równoległość prostych, stosunek długości odcinków równoległych (w tym środek odcinka) i przystawanie figur leżących w płaszczyźnie równoległej do rzutni. Nie zachowuje: długości, kątów, prostopadłości.

Rzut prostokątny odcinka nachylonego do płaszczyzny pod kątem $\varphi$ :

$|A'B'| = |AB| \cos\varphi \qquad |A'B'| = \sqrt{|AB|^2 - (d_B - d_A)^2}$

gdzie $d_A$ , $d_B$ - odległości końców od płaszczyzny (po tej samej stronie; po przeciwnych stronach w miejsce różnicy wstawiamy sumę $d_A + d_B$ ).

Pole rzutu prostokątnego figury płaskiej nachylonej pod kątem $\varphi$ :

$P' = P \cos\varphi$

Rzut równoległy punktu $A$ na płaszczyznę $\pi$ w kierunku prostej $l$ (nierównoległej do $\pi$ ) to punkt $A'$ , w którym prosta przechodząca przez $A$ i równoległa do $l$ przebija płaszczyznę $\pi$ . Gdy kierunek $l$ jest prostopadły do $\pi$ , rzut nazywamy prostokątnym. Tak powstaje cień przedmiotu w słońcu (promienie są praktycznie równoległe) - w południe, gdy słońce stoi wysoko, cień jest bliski rzutowi prostokątnemu.

Płaszczyznę $\pi$ nazywamy rzutnią, a prostą $l$ - kierunkiem rzutowania. Rzutem figury $F$ jest zbiór rzutów wszystkich jej punktów. Rzut równoległy ma w stereometrii dwa zastosowania: rysujemy nim bryły na kartce (o tym jest następna lekcja), a rzut prostokątny pozwala liczyć kąty i odległości.

Rzut równoległy figury

Rzut równoległy w kierunku prostej l: przez każdy punkt trójkąta ABC prowadzimy prostą równoległą do l, a jej punkt przebicia z π jest obrazem. Obrazem trójkąta jest trójkąt A′B′C′.

Żeby zrzutować trójkąt, wystarczy zrzutować jego trzy wierzchołki: rzutem odcinka jest odcinek łączący rzuty jego końców. Wynika to stąd, że wszystkie proste rzutujące punkty odcinka $AB$ leżą w jednej płaszczyźnie (wyznaczonej przez $AB$ i kierunek $l$ ), a ta przecina rzutnię wzdłuż prostej.

Wyjątek: jeśli odcinek jest równoległy do kierunku rzutowania, cały rzutuje się na jeden punkt. Podobnie trójkąt leżący w płaszczyźnie równoległej do $l$ „spłaszcza się” do odcinka.

Własności rzutu równoległego

Rzut równoległy (gdy odcinki nie są równoległe do kierunku rzutowania):

zachowuje równoległość - obrazy prostych równoległych są równoległe (albo się pokrywają);
zachowuje stosunek długości odcinków leżących na jednej prostej albo na prostych równoległych - w szczególności rzut środka odcinka jest środkiem rzutu;
figura leżąca w płaszczyźnie równoległej do rzutni rzutuje się na figurę do niej przystającą.

Natomiast rzut równoległy nie zachowuje długości odcinków (poza przypadkiem 3), miar kątów ani prostopadłości. Kwadrat może się zrzutować na dowolny równoległobok, a trójkąt równoboczny - na dowolny trójkąt.

Własność 2 wynika z twierdzenia Talesa: proste rzutujące są równoległe, więc dzielą odcinek $AB$ i jego rzut $A'B'$ w tym samym stosunku.

Przykład 1. Rzutem równoległym równoległoboku $ABCD$ jest czworokąt $A'B'C'D'$ . Uzasadnij, że jest to równoległobok (albo odcinek) i że rzut punktu przecięcia przekątnych jest punktem przecięcia przekątnych rzutu.

Boki $AB \parallel CD$ i $BC \parallel AD$ , a rzut zachowuje równoległość, więc $A'B' \parallel C'D'$ i $B'C' \parallel A'D'$ - to równoległobok (albo, gdy płaszczyzna $ABCD$ jest równoległa do kierunku rzutowania, wszystko spada na jeden odcinek). Punkt $S$ przecięcia przekątnych jest środkiem $AC$ , a rzut zachowuje środki odcinków, więc $S'$ jest środkiem $A'C'$ - i tak samo środkiem $B'D'$ .

Odpowiedź. Rzut równoległoboku jest równoległobokiem, a środek przekątnych przechodzi na środek przekątnych. Dzięki temu na rysunku bryły środek kwadratowej podstawy znajdujemy jako punkt przecięcia przekątnych równoległoboku.

Rzut prostokątny

W rzucie prostokątnym kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni: $AA' \perp \pi$ . Rzut prostokątny punktu to spodek prostopadłej - ten sam punkt, który wyznaczał odległość punktu od płaszczyzny. Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na płaszczyznę podstawy to spodek wysokości ostrosłupa.

Długość rzutu prostokątnego odcinka zależy od jego nachylenia. Przekrójmy sytuację płaszczyzną przechodzącą przez $A$ , $B$ i ich rzuty:

Końce odcinka AB leżą w odległościach |AA′| = 3 i |BB′| = 8 od płaszczyzny π. Odcinek AC równoległy do A′B′ tworzy trójkąt prostokątny ABC o przyprostokątnej 8 − 3 = 5.

Czworokąt $AA'B'B$ jest trapezem prostokątnym (oba ramiona $AA'$ i $BB'$ są prostopadłe do $\pi$ ). Prowadzimy $AC \parallel A'B'$ i dostajemy trójkąt prostokątny $ACB$ , w którym $|AC| = |A'B'|$ , $|CB| = d_B - d_A$ , a $\varphi$ jest kątem nachylenia odcinka do płaszczyzny. Stąd

$|A'B'| = |AB|\cos\varphi = \sqrt{|AB|^2 - (d_B - d_A)^2}.$

Rzut prostokątny odcinka nigdy nie jest dłuższy od samego odcinka. Jest mu równy tylko wtedy, gdy odcinek jest równoległy do rzutni, a zamienia się w punkt, gdy odcinek jest do niej prostopadły.

Przykład 2. Odcinek $AB$ ma długość $13$ , a jego końce leżą po tej samej stronie płaszczyzny $\pi$ w odległościach $3$ i $8$ od niej. Oblicz długość rzutu prostokątnego odcinka $AB$ na $\pi$ i cosinus kąta nachylenia $AB$ do $\pi$ .

$|A'B'| = \sqrt{13^2 - (8 - 3)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12, \qquad \cos\varphi = \frac{12}{13}.$

Odpowiedź. $|A'B'| = 12$ , $\cos\varphi = \frac{12}{13}$ .

Przykład 3. Ten sam odcinek długości $13$ , ale końce leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny, w odległościach $3$ i $8$ . Oblicz długość rzutu.

Teraz odcinek przebija płaszczyznę, a w trójkącie prostokątnym pionowa przyprostokątna ma długość $3 + 8 = 11$ :

$|A'B'| = \sqrt{169 - 121} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $|A'B'| = 4\sqrt{3} \approx 6{,}93$ . Błąd „odejmuję zawsze” daje tu fałszywe $12$ .

Przykład 4. Odcinek długości $10$ jest nachylony do płaszczyzny pod kątem $30^\circ$ . Oblicz długość jego rzutu prostokątnego i różnicę odległości jego końców od płaszczyzny.

$|A'B'| = 10 \cos 30^\circ = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}, \qquad d_B - d_A = 10 \sin 30^\circ = 5.$

Odpowiedź. Rzut ma długość $5\sqrt{3}$ , a końce różnią się wysokością o $5$ .

Pole rzutu prostokątnego figury

Twierdzenie. Jeżeli figura płaska o polu $P$ leży w płaszczyźnie nachylonej do rzutni pod kątem $\varphi$ , to pole jej rzutu prostokątnego wynosi $P' = P\cos\varphi$ .

Uzasadnimy to dla trójkąta, którego bok $AB$ leży w rzutni (każdy wielokąt da się pociąć na takie trójkąty i paski). Niech $M$ będzie spodkiem wysokości $CM$ trójkąta $ABC$ .

Trójkąt ABC ma bok AB w płaszczyźnie π i jest do niej nachylony pod kątem φ. Jego rzutem prostokątnym jest trójkąt ABC′ o tej samej podstawie i wysokości MC′ = MC · cos φ.

Z twierdzenia o trzech prostych prostopadłych rzut $MC'$ wysokości też jest prostopadły do $AB$ , więc jest wysokością trójkąta $ABC'$ , a kąt $CMC'$ to kąt $\varphi$ między płaszczyznami. W trójkącie prostokątnym $MC'C$ mamy $|MC'| = |MC|\cos\varphi$ , a podstawa $AB$ się nie zmienia:

$P' = \frac{1}{2}|AB| \cdot |MC'| = \frac{1}{2}|AB| \cdot |MC|\cos\varphi = P\cos\varphi. \qquad \blacksquare$

Przykład 5. Trójkąt równoboczny o boku $6$ ma bok $AB$ na płaszczyźnie $\pi$ , a jego płaszczyzna tworzy z $\pi$ kąt $30^\circ$ . Oblicz pole rzutu prostokątnego tego trójkąta na $\pi$ .

$P = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}, \qquad P' = 9\sqrt{3} \cdot \cos 30^\circ = 9\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{27}{2} = 13{,}5.$

Sprawdzenie bez wzoru: wysokość trójkąta $|MC| = 3\sqrt{3}$ , jej rzut $|MC'| = 3\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4{,}5$ , a $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4{,}5 = 13{,}5$ . Zgadza się.

Odpowiedź. $P' = 13{,}5$ .

Przykład 6. Kwadrat o boku $6$ jest nachylony do płaszczyzny pod kątem $60^\circ$ . Oblicz pole jego rzutu prostokątnego.

$P' = 36 \cdot \cos 60^\circ = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18.$

Odpowiedź. $18$ - rzut jest prostokątem $6 \times 3$ (jeśli jeden bok kwadratu jest równoległy do rzutni).

Wzór $P' = P\cos\varphi$ działa też „od tyłu”: znając pole figury i pole jej rzutu, policzysz kąt między płaszczyznami - przydaje się przy kątach dwuściennych w ostrosłupach, gdzie rzutem ściany bocznej na podstawę jest trójkąt ze spodkiem wysokości.

Najczęstsze pytania

Co to jest rzut równoległy? Odwzorowanie, które każdemu punktowi przyporządkowuje punkt przebicia rzutni prostą przez ten punkt, równoległą do ustalonego kierunku. Przykładem jest cień w słońcu.

Czym różni się rzut prostokątny od równoległego? Rzut prostokątny to szczególny rzut równoległy - kierunek rzutowania jest prostopadły do rzutni.

Jak obliczyć długość rzutu prostokątnego odcinka? $|A'B'| = |AB|\cos\varphi$ , gdzie $\varphi$ to kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny. Bez kąta: $|A'B'| = \sqrt{|AB|^2 - h^2}$ , gdzie $h$ to różnica odległości końców od płaszczyzny (albo ich suma, gdy końce leżą po różnych stronach).

Jakie własności zachowuje rzut równoległy? Równoległość prostych, stosunek długości odcinków równoległych (więc i środki odcinków) oraz kształt i wymiary figur leżących w płaszczyźnie równoległej do rzutni.

Czy rzut prostokątny odcinka może być dłuższy od odcinka? Nie. Jest równy odcinkowi, gdy odcinek jest równoległy do płaszczyzny, a krótszy w każdym innym przypadku.

Jak obliczyć pole rzutu figury na płaszczyznę? Pomnóż pole figury przez cosinus kąta między płaszczyzną figury a rzutnią: $P' = P\cos\varphi$ .

Przećwicz

Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - rzut prostokątny odcinka i figury, położenie i prostopadłość prostych w bryłach.
Kąt między prostą a płaszczyzną → - kąt nachylenia odcinka liczony z jego rzutu prostokątnego.

Wszystkie typy: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Rzut równoległy w kierunku $l$ przenosi punkt wzdłuż prostej równoległej do $l$ na rzutnię; rzut prostokątny ma kierunek prostopadły do rzutni.
Rzutem odcinka jest odcinek (albo punkt); rzut zachowuje równoległość i stosunek odcinków równoległych, ale nie długości i kąty.
Długość rzutu prostokątnego: $|A'B'| = |AB|\cos\varphi$ .
Pole rzutu prostokątnego figury płaskiej: $P' = P\cos\varphi$ .
Rzut prostokątny wierzchołka ostrosłupa na podstawę to spodek jego wysokości.