Kąt między prostą a płaszczyzną i kąt dwuścienny - jak go wyznaczyć

Klasa 4 liceum i technikum

Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt ostry między tą prostą a jej rzutem prostokątnym na płaszczyznę (a gdy prosta jest prostopadła do płaszczyzny - kąt prosty). Kąt dwuścienny to figura wyznaczona przez dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi; mierzymy go kątem liniowym, czyli kątem między dwiema półprostymi poprowadzonymi w obu ścianach prostopadle do krawędzi z jednego jej punktu.

W obu przypadkach przepis jest ten sam: kąt w przestrzeni zamieniamy na kąt w trójkącie prostokątnym, a potem liczymy go z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego. Cała trudność polega na tym, żeby wskazać właściwy trójkąt - i do tego służą rzut prostokątny oraz twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.

Kąt między prostą a płaszczyzną

Prosta $l$ przebija płaszczyznę $\pi$ w punkcie $A$. Bierzemy dowolny punkt $P$ prostej (różny od $A$) i jego rzut prostokątny $P'$ na płaszczyznę. Odcinek $AP'$ to rzut odcinka $AP$, a kąt $\alpha = \sphericalangle PAP'$ to kąt między prostą a płaszczyzną. Trójkąt $APP'$ jest prostokątny (kąt prosty przy $P'$), więc:

$\sin\alpha = \frac{|PP'|}{|AP|}, \qquad \cos\alpha = \frac{|AP'|}{|AP|}, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{|PP'|}{|AP'|}.$

Dlaczego akurat rzut? Bo spośród wszystkich prostych płaszczyzny przechodzących przez $A$ to właśnie rzut tworzy z prostą $l$ najmniejszy kąt. Przypadki szczególne: prosta prostopadła do płaszczyzny tworzy z nią kąt $90^\circ$, a prosta równoległa (lub leżąca w płaszczyźnie) - kąt $0^\circ$.

Przykład 1. Odcinek $AP$ o długości $10$ ma koniec $A$ w płaszczyźnie $\pi$, a jego rzut na tę płaszczyznę ma długość $6$. Oblicz kąt nachylenia odcinka do płaszczyzny i odległość punktu $P$ od płaszczyzny.

$\cos\alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6 \quad\Longrightarrow\quad \alpha \approx 53{,}13^\circ, \qquad |PP'| = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$

Odpowiedź. $\alpha \approx 53^\circ$ (dokładnie $\cos\alpha = 0{,}6$), odległość $P$ od płaszczyzny wynosi $8$.

Kąt między przekątną graniastosłupa a podstawą

W graniastosłupie prostym krawędzie boczne są prostopadłe do podstawy. Rzutem przekątnej $AC_1$ na podstawę jest więc przekątna podstawy $AC$, a kąt nachylenia przekątnej do podstawy leży w trójkącie prostokątnym $ACC_1$.

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d}, \qquad \cos\alpha = \frac{d}{D}, \qquad \sin\alpha = \frac{H}{D}, \qquad D^2 = d^2 + H^2.$

Przykład 2. Podstawą prostopadłościanu jest prostokąt o bokach $6$ i $8$, a przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu i jego wysokość.

Krok 1. Przekątna podstawy. $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$.

Krok 2. Przekątna bryły. W trójkącie $ACC_1$: $\cos 60^\circ = \frac{d}{D}$, więc $D = \frac{10}{\frac{1}{2}} = 20$.

Krok 3. Wysokość. $H = d \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = 10\sqrt{3}$.

Odpowiedź. Przekątna ma długość $20$, wysokość $10\sqrt{3}$.

Przykład 3. Pod jakim kątem przekątna sześcianu jest nachylona do płaszczyzny podstawy?

Dla sześcianu o krawędzi $a$: $H = a$, $d = a\sqrt{2}$, $D = a\sqrt{3}$, więc

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \cos\alpha = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}, \qquad \alpha \approx 35{,}26^\circ.$

Odpowiedź. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$, czyli $\alpha \approx 35^\circ$ - kąt nie zależy od długości krawędzi. Częsta pomyłka: to nie jest $45^\circ$ (tyle ma przekątna ściany bocznej z krawędzią podstawy).

Kąt dwuścienny i jego kąt liniowy

Dwie półpłaszczyzny $\alpha$ i $\beta$ o wspólnej krawędzi $k$ wyznaczają kąt dwuścienny. Żeby go zmierzyć:

1. wybierasz dowolny punkt $K$ na krawędzi $k$;
2. w każdej półpłaszczyźnie prowadzisz z $K$ półprostą prostopadłą do krawędzi;
3. kąt $\varphi$ między tymi półprostymi to kąt liniowy kąta dwuściennego - jego miara jest miarą kąta dwuściennego.

Wynik nie zależy od wyboru punktu $K$: kąty liniowe w różnych punktach krawędzi są przystające. Kąt liniowy to po prostu przekrój kąta dwuściennego płaszczyzną prostopadłą do krawędzi.

Kąt dwuścienny może być rozwarty (np. kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa), a kąt między dwiema płaszczyznami podaje się zawsze jako kąt nie większy od $90^\circ$ - z dwóch kątów liniowych $\varphi$ i $180^\circ - \varphi$ wybieramy mniejszy.

Najczęstszy błąd: ramiona kąta muszą być prostopadłe do krawędzi. Kąt między krawędzią boczną a krawędzią podstawy w ścianie ostrosłupa to nie jest kąt nachylenia ściany.

Kąty w ostrosłupie prawidłowym

W ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości $O$ to środek podstawy. Liczą się dwa kąty - i każdy ma swój trójkąt prostokątny z przyprostokątną $H = |SO|$.

• Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy $\beta$: rzutem krawędzi $AS$ jest odcinek $AO$ - promień $R$ okręgu opisanego na podstawie. Trójkąt $AOS$: $\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{R}$.
• Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy $\alpha$ (kąt dwuścienny przy krawędzi podstawy): ramiona $OE$ i $SE$ są prostopadłe do krawędzi podstawy, $E$ - środek krawędzi, $|OE| = r$ - promień okręgu wpisanego w podstawę. Trójkąt $EOS$: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$.

Ile wynoszą $R$ i $r$ dla podstaw z matury:

Ponieważ $R > r$, krawędź boczna jest zawsze nachylona do podstawy pod mniejszym kątem niż ściana boczna: $\beta < \alpha$.

Przykład 4. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz tangensy kątów nachylenia ściany bocznej i krawędzi bocznej do podstawy oraz długości wysokości ściany i krawędzi bocznej.

Krok 1. Ściana boczna. $r = |OE| = 3$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, więc $\alpha \approx 53{,}13^\circ$. Wysokość ściany: $|SE| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$.

Krok 2. Krawędź boczna. $R = |AO| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$, więc

$\operatorname{tg}\beta = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \beta \approx 43{,}31^\circ, \qquad |SA| = \sqrt{16 + 18} = \sqrt{34}.$

Odpowiedź. $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$, $\operatorname{tg}\beta = \frac{2\sqrt{2}}{3}$, $|SE| = 5$, $|SA| = \sqrt{34}$.

Przykład 5. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $6$, a ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej i tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do podstawy.

Krok 1. Odcinki w podstawie. Wysokość podstawy $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$, więc

$r = |OE| = \tfrac{1}{3}h = \sqrt{3}, \qquad R = |AO| = \tfrac{2}{3}h = 2\sqrt{3}.$

Krok 2. Trójkąt $EOS$.

$H = r \cdot \operatorname{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3, \qquad |SE| = \frac{r}{\cos 60^\circ} = 2\sqrt{3}.$

Krok 3. Trójkąt $AOS$.

$\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{R} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \beta \approx 40{,}89^\circ, \qquad |SA| = \sqrt{9 + 12} = \sqrt{21}.$

Odpowiedź. $H = 3$, $|SE| = 2\sqrt{3}$, $\operatorname{tg}\beta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi

Kąt dwuścienny przy krawędzi bocznej (między dwiema ścianami bocznymi) jest trudniejszy, bo jego kąt liniowy nie leży w trójkącie prostokątnym. Przepis: z wierzchołków $A$ i $C$ prowadzimy wysokości ścian $ABS$ i $CBS$ na wspólną krawędź $SB$. W ostrosłupie prawidłowym obie trafiają w ten sam punkt $K$ (ściany są przystające), a kąt $\varphi = \sphericalangle AKC$ liczymy z twierdzenia cosinusów.

Przykład 6. Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają długość $2$. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi.

Krok 1. Wysokości ścian. Ściany są trójkątami równobocznymi o boku $2$, więc wysokość z $A$ na $SB$ trafia w środek $K$ krawędzi $SB$: $|AK| = |CK| = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Krok 2. Przekątna podstawy. $|AC| = 2\sqrt{2}$.

Krok 3. Twierdzenie cosinusów w trójkącie $AKC$.

$\cos\varphi = \frac{|AK|^2 + |CK|^2 - |AC|^2}{2 \cdot |AK| \cdot |CK|} = \frac{3 + 3 - 8}{2 \cdot 3} = -\frac{1}{3}.$

Odpowiedź. $\cos\varphi = -\frac{1}{3}$, czyli $\varphi \approx 109{,}47^\circ$ - kąt dwuścienny jest rozwarty. Kąt między płaszczyznami tych ścian wynosi $180^\circ - \varphi \approx 70{,}53^\circ$.

Jak wskazać kąt w zadaniu - schemat

1. Kąt prostej z płaszczyzną: znajdź punkt przebicia $A$ i rzut $P'$ jakiegoś punktu prostej. Kąt leży przy $A$ w trójkącie $APP'$ (kąt prosty przy $P'$).
2. Kąt ściany z podstawą: znajdź wspólną krawędź. W podstawie poprowadź ze spodka wysokości prostopadłą do krawędzi, a w ścianie - wysokość ściany na tę krawędź (trafi w ten sam punkt). Kąt leży w trójkącie $SOE$.
3. Zaznacz kąty proste na rysunku - na rysunku w rzucie ich nie widać, a to od nich zależy, który bok jest przeciwprostokątną.
4. Narysuj trójkąt obok w prawdziwym kształcie i dopiero w nim licz sinus, cosinus albo tangens (zadania na same funkcje trygonometryczne: trygonometria - zadania).

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć kąt między prostą a płaszczyzną? Zrzutuj prostokątnie na płaszczyznę dowolny punkt $P$ prostej. Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt przy punkcie przebicia $A$ między odcinkami $AP$ i $AP'$; liczysz go w trójkącie prostokątnym $APP'$.

Jak obliczyć kąt między przekątną a podstawą prostopadłościanu? W trójkącie prostokątnym, którego przyprostokątnymi są przekątna podstawy $d$ i wysokość $H$, a przeciwprostokątną - przekątna bryły $D$: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d}$.

Co to jest kąt liniowy kąta dwuściennego? Kąt między dwiema półprostymi poprowadzonymi z jednego punktu krawędzi w obu ścianach, prostopadle do krawędzi. Jego miara jest miarą kąta dwuściennego.

Jaki jest kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy w ostrosłupie? To kąt przy spodku wysokości ściany $E$ w trójkącie $SOE$: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{|OE|}$, gdzie $|OE|$ w ostrosłupie prawidłowym to promień okręgu wpisanego w podstawę.

Jaki jest kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ostrosłupa? To kąt przy wierzchołku podstawy w trójkącie $AOS$: $\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{|AO|}$, gdzie $|AO|$ w ostrosłupie prawidłowym to promień okręgu opisanego na podstawie.

Pod jakim kątem przekątna sześcianu jest nachylona do podstawy? Pod kątem, którego tangens wynosi $\frac{\sqrt{2}}{2}$, czyli około $35{,}26^\circ$ - niezależnie od długości krawędzi.

Czy kąt dwuścienny może być rozwarty? Tak - na przykład kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest zawsze rozwarty. Kąt między dwiema płaszczyznami podaje się jednak jako kąt nie większy od $90^\circ$.

Przećwicz

• Kąt między prostą a płaszczyzną → - przekątna z podstawą, krawędź boczna z podstawą, przekątna z ścianą boczną.
• Kąt dwuścienny → - ściana boczna z podstawą, przekrój z podstawą, kąt między ścianami bocznymi.
• Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - kąt między prostymi skośnymi, rzut odcinka i twierdzenie o trzech prostych prostopadłych.

Wszystkie typy zadań: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Kąt między prostą a płaszczyzną to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym; liczymy go w trójkącie $APP'$ z kątem prostym przy $P'$.
• Kąt dwuścienny mierzymy kątem liniowym - ramiona w obu ścianach prostopadłe do wspólnej krawędzi.
• Przekątna graniastosłupa prostego z podstawą: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d}$; przekątna sześcianu: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Ostrosłup prawidłowy: krawędź boczna $\operatorname{tg}\beta = \frac{H}{R}$, ściana boczna $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$, przy czym zawsze $\beta < \alpha$.
• Kąt między sąsiednimi ścianami bocznymi liczymy z twierdzenia cosinusów w trójkącie $AKC$.