Prostopadłość prostej i płaszczyzny - warunek dwóch prostych i odległość punktu od płaszczyzny

Klasa 4 liceum i technikum

Prosta prostopadła do płaszczyzny to prosta, która przebija płaszczyznę i jest prostopadła do każdej prostej tej płaszczyzny. Żeby to sprawdzić, nie trzeba badać nieskończenie wielu prostych: wystarczą dwie przecinające się proste płaszczyzny. Tak sprawdza się, czy maszt stoi pionowo - patrząc na niego z dwóch różnych stron.

Prostopadłość to fundament całej stereometrii: wysokość graniastosłupa i ostrosłupa jest prostopadła do podstawy, kąt nachylenia prostej do płaszczyzny mierzy się względem rzutu prostokątnego, a odległości liczy się wzdłuż prostopadłych. W tej lekcji wprowadzamy pojęcia i warunek prostopadłości, a w kolejnych na nim budujemy.

Proste prostopadłe w przestrzeni

Dwie proste w przestrzeni są prostopadłe, gdy kąt między nimi wynosi $90^\circ$. Uwaga: mogą przy tym przecinać się albo być skośne - kąt między skośnymi mierzymy po przesunięciu jednej z nich równolegle (lekcja proste skośne).

W sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ krawędź $AA_1$ jest prostopadła do $AB$ (przecinają się) i do $BC$ (są skośne, ale $BC \parallel AD$, a $AD \perp AA_1$).

Prosta prostopadła do płaszczyzny

Definicja. Prosta $m$ jest prostopadła do płaszczyzny $\pi$, gdy jest prostopadła do każdej prostej zawartej w $\pi$.

Twierdzenie (warunek prostopadłości). Jeżeli prosta $m$ jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych $k$ i $l$ leżących w płaszczyźnie $\pi$, to $m \perp \pi$.

Dlaczego dwie proste, a nie jedna? Prosta $m$ prostopadła tylko do $k$ może być pochylona - jak wahadło zawieszone nad prostą $k$, które kołysze się w płaszczyźnie prostopadłej do $k$: przez cały czas jest prostopadłe do $k$, ale z płaszczyzną $\pi$ tworzy coraz to inny kąt. Druga prosta $l$, nierównoległa do $k$, blokuje to kołysanie.

Szkic uzasadnienia (rachunek wektorowy). Niech $\vec{u}$, $\vec{v}$ będą wektorami kierunkowymi prostych $k$ i $l$, a $\vec{w}$ - prostej $m$. Z założenia $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ i $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$. Każda prosta płaszczyzny $\pi$ ma kierunek $s\vec{u} + t\vec{v}$, więc

$\vec{w} \cdot (s\vec{u} + t\vec{v}) = s\,(\vec{w} \cdot \vec{u}) + t\,(\vec{w} \cdot \vec{v}) = 0.$

Prosta $m$ jest więc prostopadła do każdej prostej płaszczyzny $\pi$. $\blacksquare$

Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie omawia lekcja iloczyn skalarny i kąt między wektorami - w przestrzeni działa tak samo, z trzecią współrzędną.

Z warunku od razu wynika najważniejsza własność graniastosłupa prostego: krawędź boczna $AA_1$ prostopadłościanu jest prostopadła do $AB$ i do $AD$, które przecinają się w $A$ - zatem $AA_1 \perp$ płaszczyzny podstawy i $AA_1$ jest wysokością bryły.

Przykład 1. Uzasadnij, że w sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ przekątna podstawy $BD$ jest prostopadła do płaszczyzny $ACC_1A_1$. Wywnioskuj, że $BD \perp AC_1$.

Szukamy dwóch przecinających się prostych płaszczyzny $ACC_1A_1$ prostopadłych do $BD$:

• $AC \perp BD$ - przekątne kwadratu są prostopadłe;
• $AA_1 \perp BD$ - krawędź $AA_1$ jest prostopadła do całej płaszczyzny podstawy, w której leży $BD$.

Proste $AC$ i $AA_1$ przecinają się w $A$ i leżą w płaszczyźnie $ACC_1A_1$, więc $BD \perp ACC_1A_1$. Przekątna sześcianu $AC_1$ leży w tej płaszczyźnie, zatem $BD \perp AC_1$.

Odpowiedź. $BD$ jest prostopadła do płaszczyzny $ACC_1A_1$ i do przekątnej $AC_1$ (to proste skośne prostopadłe).

Odległość punktu od płaszczyzny

Przez każdy punkt $P$ przechodzi dokładnie jedna prosta prostopadła do danej płaszczyzny $\pi$. Przebija ona $\pi$ w punkcie $P'$, który nazywamy rzutem prostokątnym punktu $P$ na $\pi$ (o rzutach jest lekcja rzut równoległy na płaszczyznę).

Odległość punktu od płaszczyzny to długość odcinka $PP'$. Jest to najkrótszy odcinek łączący $P$ z dowolnym punktem płaszczyzny.

Najkrótszy - bo dla każdego innego punktu $Q \in \pi$ trójkąt $PP'Q$ jest prostokątny z kątem prostym przy $P'$, więc przeciwprostokątna $PQ$ jest dłuższa od przyprostokątnej $PP'$.

Analogicznie definiujemy odległość dwóch płaszczyzn równoległych (długość odcinka prostopadłego do obu o końcach w każdej z nich) i odległość prostej równoległej do płaszczyzny od tej płaszczyzny.

Przykład 2. Prostopadłościan $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma krawędzie $|AB| = 6$, $|BC| = 8$ i $|AA_1| = 4$. Oblicz odległość wierzchołka $B$ od płaszczyzny $ACC_1A_1$.

Poprowadźmy w podstawie wysokość $BK$ trójkąta $ABC$ ($K \in AC$). Odcinek $BK$ jest prostopadły do $AC$ oraz do krawędzi $AA_1$ (bo $AA_1$ jest prostopadła do całej podstawy). Te dwie proste przecinają się i leżą w płaszczyźnie $ACC_1A_1$, więc $BK$ jest prostopadły do tej płaszczyzny, a $|BK|$ to szukana odległość.

W trójkącie prostokątnym $ABC$: $|AC| = \sqrt{36 + 64} = 10$. Pole policzone na dwa sposoby:

$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot |BK| \quad\Longrightarrow\quad |BK| = \frac{48}{10} = 4{,}8.$

Odpowiedź. Odległość punktu $B$ od płaszczyzny $ACC_1A_1$ wynosi $4{,}8$. Wysokość prostopadłościanu nie wpływa na wynik.

Przykład 3. Sześcian ma krawędź $6$. Oblicz odległość wierzchołka $B$ od płaszczyzny $ACC_1A_1$.

To ta sama sytuacja co w przykładzie 2, ale podstawa jest kwadratem. Spodek $K$ wysokości z $B$ na przekątną $AC$ to środek kwadratu, więc

$|BK| = \frac{|BD|}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}.$

Odpowiedź. $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$.

Płaszczyzny prostopadłe

Definicja. Płaszczyzny $\rho$ i $\pi$ są prostopadłe, gdy płaszczyzna $\rho$ zawiera prostą prostopadłą do płaszczyzny $\pi$.

Ściany boczne graniastosłupa prostego są prostopadłe do podstawy - zawierają krawędzie boczne, a te są prostopadłe do podstawy. Płaszczyzna przekątna $ACC_1A_1$ sześcianu jest prostopadła zarówno do podstawy (zawiera $AA_1$), jak i do płaszczyzny $BDD_1B_1$ (zawiera $AC$, a z przykładu 1 wiemy już, że analogicznie $AC \perp BDD_1B_1$).

Kąt między płaszczyznami mierzymy w płaszczyźnie prostopadłej do ich krawędzi - to tak zwany kąt liniowy kąta dwuściennego, omawiany w lekcji kąt między prostą a płaszczyzną i kąt dwuścienny. Jeśli wynosi $90^\circ$, płaszczyzny są prostopadłe.

Uwaga na pułapkę: dwie płaszczyzny prostopadłe do trzeciej nie muszą być równoległe (dwie sąsiednie ściany boczne sześcianu są prostopadłe do podstawy i przecinają się). Natomiast dwie proste prostopadłe do jednej płaszczyzny zawsze są równoległe - stąd wszystkie krawędzie boczne graniastosłupa prostego są do siebie równoległe.

Najczęstsze pytania

Kiedy prosta jest prostopadła do płaszczyzny? Gdy jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych tej płaszczyzny. Wtedy jest prostopadła do każdej prostej płaszczyzny.

Czy wystarczy, że prosta jest prostopadła do jednej prostej płaszczyzny? Nie. Prosta prostopadła tylko do jednej prostej płaszczyzny może być do płaszczyzny nachylona pod dowolnym kątem. Potrzebne są dwie proste, które się przecinają.

Jak obliczyć odległość punktu od płaszczyzny? Znajdź spodek prostopadłej z punktu na płaszczyznę i oblicz długość tego odcinka - zwykle jako wysokość trójkąta prostokątnego albo przez porównanie pól.

Kiedy dwie płaszczyzny są prostopadłe? Gdy jedna z nich zawiera prostą prostopadłą do drugiej. Ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostopadła do podstawy.

Czy dwie proste prostopadłe do tej samej płaszczyzny są równoległe? Tak - zawsze. Dlatego krawędzie boczne graniastosłupa prostego są równoległe.

Przećwicz

• Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - prostopadłość prostej i płaszczyzny w sześcianie, proste skośne prostopadłe, odległość punktu od płaszczyzny.

Wszystkie typy: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Proste prostopadłe w przestrzeni mogą się przecinać albo być skośne.
• Prosta jest prostopadła do płaszczyzny, gdy jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych tej płaszczyzny.
• Odległość punktu od płaszczyzny to długość odcinka prostopadłego do płaszczyzny - najkrótszego z możliwych.
• Płaszczyzny są prostopadłe, gdy jedna zawiera prostą prostopadłą do drugiej.
• Dwie proste prostopadłe do jednej płaszczyzny są równoległe.