Objętość graniastosłupa i ostrosłupa - wzory, skąd 1/3 i przykłady

Klasa 4 liceum i technikum

Objętość bryły to liczba, która mówi, ile sześcianów jednostkowych (o krawędzi $1$) mieści się w tej bryle. Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości, $V = P_p \cdot H$, a objętość ostrosłupa - jednej trzeciej tego iloczynu, $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$.

Całe liczenie objętości wielościanów sprowadza się więc do dwóch kroków: znaleźć pole podstawy (to geometria płaska - zobacz pola wielokątów) i znaleźć wysokość bryły (zwykle z twierdzenia Pitagorasa albo z trygonometrii w trójkącie prostokątnym ukrytym w bryle). Budowę samych brył omawiają lekcje graniastosłupy i ostrosłupy.

Jednostki objętości

Jednostka objętości to sześcian o krawędzi równej jednostce długości. Ponieważ $1\ \text{m} = 10\ \text{dm}$, w sześcianie o krawędzi $1\ \text{m}$ mieści się $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ sześcianów o krawędzi $1\ \text{dm}$. Przy zamianie jednostek objętości mnożymy więc przez $1000$, a nie przez $10$.

Przykład 1. Akwarium ma kształt prostopadłościanu o wymiarach $60\ \text{cm} \times 30\ \text{cm} \times 40\ \text{cm}$. Ile litrów wody się w nim mieści?

Najwygodniej od razu zamienić wymiary na decymetry, bo $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}$:

$V = 6\ \text{dm} \cdot 3\ \text{dm} \cdot 4\ \text{dm} = 72\ \text{dm}^3 = 72\ \text{l}.$

Odpowiedź. Akwarium mieści $72$ litry wody (w centymetrach: $72\,000\ \text{cm}^3$).

Objętość prostopadłościanu i sześcianu

Prostopadłościan o krawędziach $4$, $3$ i $2$ układa się z sześcianów jednostkowych warstwami: na dnie leży $4 \cdot 3 = 12$ sześcianów, a takich warstw jest $2$. Razem $24$. Ogólnie

$V = a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = P_p \cdot H,$

czyli pole podstawy (liczba sześcianów w jednej warstwie) razy wysokość (liczba warstw). Sześcian o krawędzi $a$ ma objętość $V = a^3$ - stąd nazwa „sześcian liczby”.

Ten sam wzór działa dla krawędzi niewymiernych: objętość to granica przybliżeń drobniejszymi sześcianikami, a iloczyn $abc$ jest dobrze określony dla dowolnych liczb dodatnich.

Objętość graniastosłupa i zasada Cavalieriego

Weźmy dwie bryły, które stoją na jednej płaszczyźnie i mają tę samą wysokość. Jeśli każda płaszczyzna równoległa do podstawy przecina je wzdłuż figur o równych polach, to bryły mają równe objętości - to zasada Cavalieriego. Intuicja: bryłę można pociąć na bardzo cienkie plasterki, a odpowiadające sobie plasterki obu brył mają tę samą grubość i to samo pole, więc tę samą objętość. Tak samo przesunięta talia kart zajmuje tyle miejsca co talia ułożona równo.

Każdy przekrój graniastosłupa płaszczyzną równoległą do podstawy jest wielokątem przystającym do podstawy. Graniastosłup (prosty lub pochyły) o polu podstawy $P_p$ i wysokości $H$ ma więc taką samą objętość jak prostopadłościan o podstawie z tym samym polem i tej samej wysokości:

$V = P_p \cdot H.$

W graniastosłupie pochyłym $H$ to wysokość, czyli odległość płaszczyzn podstaw - nie krawędź boczna.

Przykład 2. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $2$ i wysokości $5$.

Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku $a$:

$P_p = 6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3}, \qquad V = P_p \cdot H = 6\sqrt{3} \cdot 5 = 30\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $V = 30\sqrt{3}$.

Przykład 3. W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość $6$, a przekątna ściany bocznej - $10$. Oblicz objętość.

Ściana boczna jest prostokątem $6 \times H$, a jej przekątna - przeciwprostokątną:

$H = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8, \qquad P_p = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}, \qquad V = 9\sqrt{3} \cdot 8 = 72\sqrt{3}.$

Odpowiedź. $V = 72\sqrt{3}$.

Objętość ostrosłupa - skąd jedna trzecia

Najkrócej widać to na sześcianie. Połączmy wierzchołek $D_1$ z wierzchołkami $A$, $B$, $C$ i $B_1$. Sześcian rozpada się na trzy ostrosłupy o wspólnym wierzchołku $D_1$:

• I - podstawa $ABCD$ (dolna ściana), wysokość $DD_1 = a$;
• II - podstawa $ABB_1A_1$ (przednia ściana), wysokość $A_1D_1 = a$;
• III - podstawa $BCC_1B_1$ (prawa ściana), wysokość $C_1D_1 = a$.

Każdy z nich ma podstawę - kwadrat $a \times a$ - i wysokość $a$, a krawędź boczna prostopadła do podstawy wychodzi z jednego z jej wierzchołków. Te trzy ostrosłupy są przystające, więc mają równe objętości, a razem wypełniają sześcian:

$3V = a^3 \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{1}{3}a^3 = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot a = \frac{1}{3} P_p \cdot H.$

Dla dowolnego ostrosłupa ten sam wzór wynika z zasady Cavalieriego: dwa ostrosłupy o równych polach podstaw i równych wysokościach mają na każdej wysokości przekroje o równych polach (oba są podobne do podstaw w tej samej skali), więc mają równe objętości. Wystarczy potem podzielić graniastosłup trójkątny na trzy czworościany, z których każde dwa mają równe podstawy i wysokości - są więc równej objętości, a razem dają $P_p \cdot H$. Dlatego

$V_{\text{ostrosłupa}} = \frac{1}{3} P_p \cdot H$

Ostrosłup ma więc trzy razy mniejszą objętość niż graniastosłup o tej samej podstawie i wysokości.

Przykład 4. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $4$. Oblicz objętość.

$V = \frac{1}{3} \cdot 6^2 \cdot 4 = \frac{1}{3} \cdot 144 = 48.$

Odpowiedź. $V = 48$.

Przykład 5. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $6\sqrt{2}$, a krawędź boczna - $10$. Oblicz objętość.

Krok 1. Połowa przekątnej podstawy. Przekątna kwadratu o boku $6\sqrt{2}$ ma długość $6\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 12$, więc od środka podstawy $O$ do wierzchołka jest $|AO| = 6$.

Krok 2. Wysokość. Trójkąt $AOS$ jest prostokątny (wysokość $SO$ jest prostopadła do podstawy):

$H = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8.$

Krok 3. Objętość.

$V = \frac{1}{3} \cdot \left(6\sqrt{2}\right)^2 \cdot 8 = \frac{1}{3} \cdot 72 \cdot 8 = 192.$

Odpowiedź. $V = 192$.

Objętość czworościanu foremnego

Czworościan foremny ma cztery ściany - przystające trójkąty równoboczne o boku $a$. Spodek $O$ jego wysokości to środek trójkąta podstawy, który leży na wysokości $AE$ trójkąta w odległości $\frac{2}{3}$ od wierzchołka:

$|AO| = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}.$

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $AOD$ (krawędź $|AD| = a$):

$H = \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{3}} = \sqrt{\frac{2a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}.$

Stąd objętość:

$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{3} = \frac{a^3\sqrt{18}}{36} = \frac{3a^3\sqrt{2}}{36} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Przykład 6. Oblicz objętość czworościanu foremnego o krawędzi $6$.

$V = \frac{6^3\sqrt{2}}{12} = \frac{216\sqrt{2}}{12} = 18\sqrt{2}.$

Sprawdzenie drugą drogą: $H = \frac{6\sqrt{6}}{3} = 2\sqrt{6}$, $P_p = 9\sqrt{3}$, a $\frac{1}{3} \cdot 9\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{6} = 6\sqrt{18} = 18\sqrt{2}$.

Odpowiedź. $V = 18\sqrt{2}$.

Objętość z kąta nachylenia

Na maturze często nie ma podanej wysokości, tylko kąt: nachylenia krawędzi bocznej, ściany bocznej albo przekątnej do podstawy. Wtedy wysokość liczymy z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym, który tworzą wysokość, jej rzut na podstawę i odcinek nachylony. Jak znaleźć ten kąt w bryle, pokazuje lekcja kąt między prostą a płaszczyzną.

Przykład 7. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $4$, a krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $60^\circ$. Oblicz objętość.

Krok 1. Rzut krawędzi bocznej. Rzutem krawędzi $AS$ na podstawę jest odcinek $AO$ - połowa przekątnej kwadratu: $|AO| = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Krok 2. Wysokość z tangensa. W trójkącie prostokątnym $AOS$:

$\operatorname{tg} 60^\circ = \frac{H}{|AO|} \quad\Longrightarrow\quad H = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{6}.$

Krok 3. Objętość.

$V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 2\sqrt{6} = \frac{32\sqrt{6}}{3}.$

Odpowiedź. $V = \frac{32\sqrt{6}}{3}$.

Przykład 8. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma przekątną długości $10$, nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem $30^\circ$. Oblicz objętość.

Krok 1. Wysokość i przekątna podstawy. Przekątna bryły, przekątna podstawy i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny z kątem $30^\circ$ przy podstawie:

$H = 10 \cdot \sin 30^\circ = 5, \qquad d = 10 \cdot \cos 30^\circ = 5\sqrt{3}.$

Krok 2. Pole podstawy. Kwadrat o przekątnej $d$ ma pole $\frac{d^2}{2} = \frac{75}{2}$.

Krok 3. Objętość.

$V = \frac{75}{2} \cdot 5 = \frac{375}{2} = 187{,}5.$

Odpowiedź. $V = 187{,}5$.

Objętość brył podobnych i ostrosłup ścięty

Jeśli wszystkie wymiary bryły pomnożymy przez $k$, to pole podstawy wzrośnie $k^2$ razy, a wysokość $k$ razy - objętość wzrośnie więc $k^3$ razy:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3.$

Sześcian o dwa razy dłuższej krawędzi ma objętość $2^3 = 8$ razy większą (a pole powierzchni tylko $2^2 = 4$ razy większe).

Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa odcina od niego mniejszy ostrosłup podobny do całego. Skala podobieństwa to stosunek wysokości. Przekroje równoległe do podstawy liczy szczegółowo lekcja przekroje wielościanów - zadania.

Przykład 9. Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $6$ i wysokości $8$ przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w połowie wysokości. Oblicz objętości obu części.

Krok 1. Cały ostrosłup. $V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$.

Krok 2. Odcięty ostrosłup. Skala $k = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, więc $V_1 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 96 = 12$.

Krok 3. Ostrosłup ścięty. Zostaje $96 - 12 = 84$. Ten sam wynik daje wzór na ostrosłup ścięty o polach podstaw $P_1 = 36$, $P_2 = 9$ i wysokości $4$:

$V = \frac{4}{3}\left(36 + \sqrt{36 \cdot 9} + 9\right) = \frac{4}{3} \cdot 63 = 84.$

Odpowiedź. Górna część ma objętość $12$, dolna (ostrosłup ścięty) - $84$; stosunek $1 : 7$.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć objętość ostrosłupa? Pomnóż pole podstawy przez wysokość i podziel przez trzy: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$. Wysokość to odcinek od wierzchołka prostopadły do podstawy, nie krawędź boczna - zwykle trzeba ją policzyć z twierdzenia Pitagorasa.

Jak obliczyć objętość graniastosłupa? Pole podstawy razy wysokość: $V = P_p \cdot H$. Dla graniastosłupa prawidłowego trójkątnego $V = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot H$, czworokątnego $V = a^2 H$, sześciokątnego $V = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2} \cdot H$.

Dlaczego objętość ostrosłupa to jedna trzecia objętości graniastosłupa? Bo sześcian da się podzielić na trzy przystające ostrosłupy o podstawie będącej ścianą sześcianu i wysokości równej krawędzi. Dla dowolnych ostrosłupów wynika to z zasady Cavalieriego.

Ile litrów ma metr sześcienny?$1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}$, bo $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3$, a $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}$.

Ile to jest 1 litr w centymetrach sześciennych?$1\ \text{l} = 1\ \text{dm}^3 = 1000\ \text{cm}^3$, a $1\ \text{ml} = 1\ \text{cm}^3$.

Jak obliczyć objętość czworościanu foremnego? Ze wzoru $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$, gdzie $a$ to krawędź. Dla $a = 6$ wychodzi $18\sqrt{2}$.

Ile razy wzrośnie objętość sześcianu, gdy krawędź zwiększymy dwa razy? Osiem razy, bo objętość brył podobnych zmienia się jak sześcian skali: $2^3 = 8$.

Jak obliczyć objętość prostopadłościanu? Pomnóż jego trzy wymiary: $V = a \cdot b \cdot c$. Wynik ma jednostkę sześcienną (np. $\text{cm}^3$).

Przećwicz

• Objętość wielościanów → - objętość graniastosłupów i ostrosłupów z krawędzi, z przekątnej, z kąta nachylenia, czworościan foremny i zamiana na litry.
• Ostrosłupy → - wysokość, krawędź boczna i wysokość ściany bocznej, potrzebne do objętości.
• Przekroje wielościanów → - przekroje równoległe do podstawy i stosunek objętości części.

Wszystkie typy w jednym miejscu: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami. Wzory na objętość brył obrotowych (walca, stożka i kuli) są na stronie bryły obrotowe, a zestawienie wzorów dla wielościanów - na stronach graniastosłupy i ostrosłupy.

Podsumowanie

• Objętość to liczba sześcianów jednostkowych mieszczących się w bryle; $1\ \text{dm}^3 = 1\ \text{l}$, $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{l}$.
• Graniastosłup (prosty i pochyły): $V = P_p \cdot H$ - wynika z zasady Cavalieriego.
• Ostrosłup: $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$ - sześcian rozkłada się na trzy przystające ostrosłupy.
• Czworościan foremny: $H = \frac{a\sqrt{6}}{3}$, $V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
• Gdy dany jest kąt nachylenia, wysokość liczymy z tangensa lub sinusa w trójkącie prostokątnym w bryle.
• Bryły podobne w skali $k$ mają objętości w stosunku $k^3$; ostrosłup ścięty: $V = \frac{H}{3}\left(P_1 + \sqrt{P_1 P_2} + P_2\right)$.