Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa - powtórzenie: jak policzyć |Ω|

Klasa 4 liceum i technikum

Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa służy do jednego: policzenia, ile jest wszystkich wyników doświadczenia ($|\Omega|$) i ile jest wyników sprzyjających zdarzeniu ($|A|$). Wtedy prawdopodobieństwo to iloraz $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$. Wybór wzoru zależy od tego, jak losujemy: jednocześnie (kombinacje), po kolei bez zwracania (wariacje bez powtórzeń), po kolei ze zwracaniem (wariacje z powtórzeniami) albo ustawiamy wszystkie elementy (permutacje).

Ta lekcja to krótkie powtórzenie. Pełne wyprowadzenia i dziesiątki przykładów są w rozdziale kombinatoryka z klasy 3: reguła mnożenia i dodawania, wariacje, permutacje i kombinacje.

Który model wybrać - tabela

Każde zadanie z prawdopodobieństwa zaczyna się od pytania: co jest jednym wynikiem doświadczenia? Odpowiedź wskazuje model.

Rzut kostką to losowanie ze zwracaniem: ta sama liczba oczek może wypaść drugi raz, bo „liczby wracają” na kostkę. Dlatego dwie kostki dają $6 \cdot 6 = 36$ wyników, a nie $\binom{6}{2}$.

Ten sam rachunek na dwa sposoby

Przykład 1. W urnie jest $5$ kul białych i $3$ czarne. Losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie są białe?

Żeby wyniki były jednakowo prawdopodobne, kule tego samego koloru rozróżniamy - w myślach numerujemy je $b_1, \ldots, b_5$ i $c_1, c_2, c_3$. Jest to niezbędne: „dwie białe” i „biała i czarna” to nie są wyniki równie prawdopodobne.

Sposób 1 - losowanie jednoczesne (kombinacje). Wynikiem jest dwuelementowy podzbiór $8$ kul:

$|\Omega| = \binom{8}{2} = 28, \qquad |A| = \binom{5}{2} = 10, \qquad P(A) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}.$

Sposób 2 - losowanie po kolei bez zwracania (wariacje). Wynikiem jest para uporządkowana:

$|\Omega| = 8 \cdot 7 = 56, \qquad |A| = 5 \cdot 4 = 20, \qquad P(A) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}.$

Wynik jest ten sam. Każdy podzbiór $\{x, y\}$ odpowiada dokładnie dwóm parom $(x, y)$ i $(y, x)$, więc licznik i mianownik rosną dwukrotnie, a ich iloraz się nie zmienia. Wniosek praktyczny: model wolno wybrać, ale ten sam dla $|\Omega|$ i dla $|A|$. Błąd, który się zdarza najczęściej, to $|\Omega|$ z kombinacji i $|A|$ z wariacji - wtedy wynik wychodzi dwa razy za duży.

Sposób 3 - ze zwracaniem (po pierwszym losowaniu kula wraca do urny) to już inne doświadczenie i inna odpowiedź:

$|\Omega| = 8^2 = 64, \qquad |A| = 5^2 = 25, \qquad P(A) = \frac{25}{64}.$

Szybkie przypomnienie wzorów na przykładach

Przykład 2 (wariacje z powtórzeniami). Kod PIN ma $4$ cyfry. Wszystkich kodów jest $10^4 = 10\,000$, bo na każdym z czterech miejsc może stać każda z $10$ cyfr.

Przykład 3 (wariacje bez powtórzeń). Kodów z czterech różnych cyfr jest $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$. Prawdopodobieństwo, że losowo ustawiony PIN ma różne cyfry:

$P = \frac{5040}{10\,000} = \frac{63}{125} = 0{,}504.$

Przykład 4 (permutacje). Pięć osób staje w kolejce na $5! = 120$ sposobów - to $|\Omega|$ w każdym zadaniu „ustawiamy losowo pięć osób”.

Przykład 5 (kombinacje). W Lotto losuje się $6$ liczb z $49$. Wyników losowania jest

$\binom{49}{6} = 13\,983\,816,$

więc szansa trafienia „szóstki” jednym zakładem to $\tfrac{1}{13\,983\,816}$.

Kiedy kolejność ma znaczenie - test

W klasie jest $10$ osób, wybieramy trzy. Ten sam zbiór osób, różne pytania:

Test: zamień miejscami dwie wybrane osoby. Jeśli to ten sam wynik - kombinacja. Jeśli inny - wariacja. Szczegóły: zadania z kombinatoryki - jak rozpoznać model.

Typowe błędy

• Nierozróżnianie jednakowych kul. Zbiór $\{$dwie białe, biała i czarna, dwie czarne$\}$ ma trzy elementy, ale nie są one jednakowo prawdopodobne - definicji klasycznej nie wolno do niego stosować.
• Różne modele w liczniku i mianowniku. $|\Omega|$ i $|A|$ liczymy tym samym sposobem.
• Kombinacje przy rzutach kostką. Rzuty to ciągi wyników z powtórzeniami: $6^n$, nie $\binom{6}{n}$.
• Zapominanie o regule mnożenia. „Dwie białe i jedna czarna” to $\binom{5}{2} \cdot \binom{3}{1}$, a nie suma.

Najczęstsze pytania

Czy w rachunku prawdopodobieństwa trzeba znać kombinatorykę? Tak, w zadaniach z definicji klasycznej. Prawdopodobieństwo to $\tfrac{|A|}{|\Omega|}$, a obie liczby liczy się regułą mnożenia, wariacjami, permutacjami albo kombinacjami.

Kiedy w prawdopodobieństwie stosować kombinacje, a kiedy wariacje? Kombinacje - gdy losujemy kilka elementów jednocześnie i kolejność nie ma znaczenia (garść kul, karty, delegacja). Wariacje - gdy losujemy po kolei albo wynik jest ciągiem (rzuty, kody, kolejne losowania).

Czy losowanie jednoczesne i po kolei bez zwracania daje to samo prawdopodobieństwo? Tak, jeżeli pytanie nie dotyczy kolejności (np. „obie kule białe”). Zmienia się $|\Omega|$ i $|A|$, ale ich iloraz zostaje ten sam. Różnica pojawia się dopiero przy losowaniu ze zwracaniem.

Ile jest wyników rzutu dwiema kostkami?$6 \cdot 6 = 36$. Kostki traktujemy jako rozróżnialne (pierwsza i druga), bo wtedy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne.

Ile jest możliwych wyników losowania w Lotto?$\binom{49}{6} = 13\,983\,816$ - tyle jest sześcioelementowych podzbiorów zbioru $49$ liczb.

Przećwicz

Zadania z samej kombinatoryki są w zestawie kombinatoryka - zadania z rozwiązaniami: reguła mnożenia, wariacje, permutacje, kombinacje i zadania mieszane. Zadania z prawdopodobieństwem zaczynają się w następnej lekcji:

• Przestrzeń zdarzeń elementarnych - zadania → - jak policzyć $|\Omega|$ przy losowaniu jednoczesnym, po kolei i ze zwracaniem.
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$, a $|\Omega|$ i $|A|$ liczymy kombinatoryką.
• Losowanie jednoczesne - kombinacje; po kolei bez zwracania - wariacje bez powtórzeń; ze zwracaniem i rzuty - wariacje z powtórzeniami; ustawienie - permutacje.
• Jednakowe kule w myślach numerujemy, żeby wyniki były jednakowo prawdopodobne.
• Model wolno wybrać, ale ten sam dla licznika i mianownika.
• Losowanie ze zwracaniem to inne doświadczenie i zwykle inny wynik.