Działania na zdarzeniach - suma, iloczyn, różnica, zdarzenie przeciwne (diagramy Venna)

Klasa 4 liceum i technikum

Działania na zdarzeniach to działania na zbiorach zastosowane do podzbiorów $\Omega$. Suma $A \cup B$ oznacza, że zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń, iloczyn $A \cap B$ - że zaszły oba, różnica $A \setminus B$ - że zaszło $A$ bez $B$, a zdarzenie przeciwne $A'$ - że $A$ nie zaszło. Te same symbole znasz z lekcji o zbiorach i działaniach na zbiorach; tu zmienia się tylko język: zamiast „element należy do zbioru” mówimy „zdarzenie zaszło”.

W tej lekcji uczymy się przekładać opisy słowne na symbole, bo od tego zależy poprawne policzenie $|A|$ w kolejnych lekcjach.

Cztery działania na diagramach Venna

Prostokąt to $\Omega$, koła to zdarzenia $A$ i $B$. Zacieniowany obszar to wynik działania.

<text x="184.8" y="136.8" text-anchor="middle">A</text><text x="300" y="199" text-anchor="end" font-size="11">Ω</text><text x="232.5" y="119" text-anchor="middle" font-weight="bold">A′</text>

Przykład na rzucie kostką

Rzucamy kostką, $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Niech $A$ - „wypadła parzysta liczba oczek”, $B$ - „wypadło więcej niż $3$ oczka”:

$A = \{2, 4, 6\}, \qquad B = \{4, 5, 6\}.$

Sprawdźmy prawo de Morgana: $A' = \{1, 3, 5\}$, $B' = \{1, 2, 3\}$, więc $A' \cap B' = \{1, 3\}$ - dokładnie tyle, ile $(A \cup B)'$. Słownie: „nie zaszło ani $A$, ani $B$” znaczy to samo co „nie zaszło $A$ i nie zaszło $B$”.

Z opisu słownego na symbole

Najczęstsze sformułowania w zadaniach:

W przykładzie z kostką „dokładnie jedno z $A$, $B$” to $\{2\} \cup \{5\} = \{2, 5\}$.

Przydatna tożsamość: $A \setminus B = A \cap B'$ - „zaszło $A$ i nie zaszło $B$”. Dzięki niej różnicę liczymy jak iloczyn, a w lekcji o własnościach prawdopodobieństwa wyprowadzimy z niej wzór $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$.

Zdarzenia wykluczające się i zawieranie

Zdarzenia $A$ i $B$ wykluczają się (są rozłączne), gdy nie mogą zajść jednocześnie: $A \cap B = \varnothing$. Przy rzucie kostką „wypadła jedynka” i „wypadła liczba parzysta” wykluczają się. Zdarzenie i zdarzenie do niego przeciwne zawsze się wykluczają, a ich suma to $\Omega$:

$A \cap A' = \varnothing, \qquad A \cup A' = \Omega.$

Zapis $A \subset B$ oznacza, że $A$ pociąga za sobą $B$: za każdym razem, gdy zachodzi $A$, zachodzi też $B$. Na przykład „wypadła szóstka” $\subset$ „wypadła liczba parzysta”.

Ile elementów ma suma zdarzeń

Wypisywanie elementów jest wygodne dla małych $\Omega$. Dla większych liczymy:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|.$

Odejmujemy $|A \cap B|$, bo elementy części wspólnej policzyliśmy dwa razy - raz w $|A|$ i raz w $|B|$.

Przykład. Losujemy liczbę ze zbioru $\{1, 2, \ldots, 30\}$. Ile liczb sprzyja zdarzeniu „liczba jest podzielna przez $2$ lub przez $3$”?

Krok 1. $A$ - podzielne przez $2$: $|A| = 15$. $B$ - podzielne przez $3$: $|B| = 10$.

Krok 2. $A \cap B$ - podzielne przez $2$ i przez $3$, czyli przez $6$: $|A \cap B| = 5$.

Krok 3. $|A \cup B| = 15 + 10 - 5 = 20$.

Odpowiedź: $20$ liczb. Dla trzech i więcej zdarzeń ten sam pomysł prowadzi do zasady włączeń i wyłączeń.

Typowe błędy

• „Lub” jako „albo”. W matematyce $A \cup B$ obejmuje też przypadek, gdy zaszły oba. „Dokładnie jedno” to osobne zdarzenie.
• Dodawanie $|A| + |B|$ bez odjęcia części wspólnej.
• Mylenie zdarzeń przeciwnych z wykluczającymi się. Przeciwne się wykluczają, ale nie odwrotnie: „jedynka” i „szóstka” wykluczają się, a nie są przeciwne, bo razem nie dają $\Omega$.
• Zdarzenie przeciwne do „co najmniej jeden” to „żaden”, a nie „co najwyżej jeden”.

Najczęstsze pytania

Co to jest suma zdarzeń? Zdarzenie $A \cup B$, które zachodzi, gdy zaszło co najmniej jedno ze zdarzeń $A$, $B$. Składa się ze wszystkich zdarzeń elementarnych należących do $A$ lub do $B$.

Co to jest iloczyn zdarzeń? Zdarzenie $A \cap B$, które zachodzi, gdy zaszły oba zdarzenia jednocześnie - zbiór wspólnych zdarzeń elementarnych $A$ i $B$.

Co to jest zdarzenie przeciwne? Zdarzenie $A' = \Omega \setminus A$, które zachodzi dokładnie wtedy, gdy $A$ nie zachodzi. Dla „wypadła szóstka” zdarzeniem przeciwnym jest „nie wypadła szóstka” $= \{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Kiedy zdarzenia się wykluczają? Gdy nie mają wspólnych zdarzeń elementarnych, czyli $A \cap B = \varnothing$ - nie mogą zajść w tym samym doświadczeniu.

Jak zapisać zdarzenie „zaszło dokładnie jedno z A i B”?$(A \setminus B) \cup (B \setminus A)$, czyli $(A \cap B') \cup (A' \cap B)$.

Przećwicz

• Zdarzenia i działania na zdarzeniach - zadania → - suma, iloczyn, różnica i dopełnienie, zdarzenia wykluczające się, diagram Venna i prawa de Morgana (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• $A \cup B$ - lub, $A \cap B$ - i, $A \setminus B$ - $A$ bez $B$, $A'$ - nie $A$.
• Zdarzenia wykluczające się: $A \cap B = \varnothing$; przeciwne: dodatkowo $A \cup B = \Omega$.
• Prawa de Morgana: $(A \cup B)' = A' \cap B'$ oraz $(A \cap B)' = A' \cup B'$.
• $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ - część wspólną odejmujemy raz.
• Opis słowny zamieniaj na symbole przed liczeniem - to najczęstsze źródło błędów.