Funkcja logarytmiczna - monotoniczność, różnowartościowość, porównywanie logarytmów

Klasa 4 liceum i technikum

Funkcja logarytmiczna to funkcja $f(x) = \log_a x$ o podstawie $a > 0$, $a \ne 1$, określona dla $x > 0$. Dla podstawy większej od $1$ jest rosnąca, dla podstawy z przedziału $(0, 1)$ - malejąca, a w obu przypadkach jest różnowartościowa i odwrotna do funkcji wykładniczej $y = a^x$.

Definicję, wykres i podstawowe własności (dziedzina, miejsce zerowe $x = 1$, asymptota pionowa) zna już lekcja z klasy pierwszej: funkcja logarytmiczna - definicja, dziedzina i własności, a rysowanie wykresu krok po kroku pokazuje strona wykres funkcji logarytmicznej. Tutaj zajmujemy się tym, co z tych własności wynika i czego potrzeba w równaniach i nierównościach.

Dlaczego monotoniczność zależy od podstawy

Weźmy $a > 1$ i dwie liczby $0 < x_1 < x_2$. Oznaczmy $y_1 = \log_a x_1$ i $y_2 = \log_a x_2$, czyli $x_1 = a^{y_1}$ oraz $x_2 = a^{y_2}$. Przypuśćmy, że $y_1 \ge y_2$. Funkcja wykładnicza $a^y$ przy $a > 1$ jest rosnąca, więc wtedy $a^{y_1} \ge a^{y_2}$, czyli $x_1 \ge x_2$ - sprzeczność. Zatem $y_1 < y_2$: większy argument ma większy logarytm.

Dla $0 < a < 1$ ten sam rachunek działa „odwrotnie”, bo funkcja wykładnicza o takiej podstawie maleje. Krótko: $\log_{1/a} x = -\log_a x$, więc wykres o podstawie $\frac{1}{a}$ jest odbiciem wykresu o podstawie $a$ względem osi $OX$.

W praktyce: przy podstawie większej od $1$ logarytm „zachowuje” nierówność między liczbami, przy podstawie mniejszej od $1$ - odwraca ją. Z tej jednej obserwacji biorą się wszystkie nierówności logarytmiczne.

Funkcja logarytmiczna jako odwrotna do wykładniczej

Funkcja $g(x) = a^x$ jest różnowartościowa i przyjmuje wszystkie wartości dodatnie, więc ma funkcję odwrotną. Szukamy jej, rozwiązując równanie $y = a^x$ względem $x$: $x = \log_a y$. Po zamianie nazw zmiennych dostajemy $g^{-1}(x) = \log_a x$. Dziedzina i zbiór wartości zamieniają się miejscami: wykładnicza ma $D = \mathbb{R}$ i $ZW = (0, +\infty)$, logarytmiczna odwrotnie.

Przykład 1. Wyznacz funkcję odwrotną do $f(x) = 2^{x + 1}$.

Krok 1. Zapisujemy $y = 2^{x+1}$ i wyznaczamy $x$. Z definicji logarytmu $x + 1 = \log_2 y$, więc $x = \log_2 y - 1$.

Krok 2. Zamieniamy nazwy zmiennych: $f^{-1}(x) = \log_2 x - 1$, dziedzina $(0, +\infty)$.

Sprawdzenie. $f^{-1}(f(x)) = \log_2 2^{x+1} - 1 = x + 1 - 1 = x$.

Różnowartościowość - narzędzie do równań

Funkcja logarytmiczna jest różnowartościowa: różne argumenty dają różne wartości. Odwrotnie czytane znaczy to, że z równości logarytmów o tej samej podstawie wynika równość liczb logarytmowanych:

$\log_a u = \log_a w \iff u = w \qquad (u > 0,\ w > 0).$

Warunek $u > 0$, $w > 0$ to nie formalność - bez niego łatwo przyjąć rozwiązanie, dla którego logarytmy w ogóle nie istnieją.

Przykład 2. Rozwiąż $\log_5(x^2 - 4) = \log_5(3x)$.

Krok 1. Dziedzina. $x^2 - 4 > 0$ i $3x > 0$, czyli $x > 2$.

Krok 2. Z różnowartościowości $x^2 - 4 = 3x$, czyli $x^2 - 3x - 4 = 0$, $(x - 4)(x + 1) = 0$.

Krok 3. $x = -1$ nie należy do dziedziny, zostaje $x = 4$. Sprawdzenie: $\log_5 12 = \log_5 12$.

Odpowiedź. $x = 4$. Więcej takich równań - w lekcji równania logarytmiczne.

Jak porównywać logarytmy

Porównujemy liczby bez kalkulatora. Są trzy sytuacje.

1. Ta sama podstawa. Decyduje monotoniczność. Podstawa $0{,}3 < 1$, więc funkcja maleje i z $5 < 7$ wynika

$\log_{0{,}3} 5 > \log_{0{,}3} 7.$

2. Ta sama liczba, różne podstawy. Porównajmy $\log_2 6$ i $\log_3 6$. Z zamiany podstawy $\log_2 6 = \dfrac{1}{\log_6 2}$ i $\log_3 6 = \dfrac{1}{\log_6 3}$. Oba mianowniki są dodatnie i $\log_6 2 < \log_6 3$, więc odwrotności są w odwrotnym porządku: $\log_2 6 > \log_3 6$. Widać to też na rysunku - dla $x > 1$ wykres o mniejszej podstawie leży wyżej.

3. Liczba pośrednia. Gdy różnią się i podstawy, i liczby, szukamy liczby całkowitej pomiędzy. Porównajmy $\log_2 5$ i $\log_3 8$: $5 > 4 = 2^2$, więc $\log_2 5 > 2$, a $8 < 9 = 3^2$, więc $\log_3 8 < 2$. Zatem $\log_2 5 > 2 > \log_3 8$.

Znak logarytmu. Logarytm jest dodatni, gdy podstawa i liczba logarytmowana leżą po tej samej stronie jedynki (obie większe od $1$ albo obie z przedziału $(0, 1)$), a ujemny - gdy po przeciwnych. Na przykład $\log_{1/2} 3 < 0$, ale $\log_{0{,}5} 0{,}2 > 0$.

Zbiór wartości funkcji logarytmicznej na przedziale

Funkcja monotoniczna przyjmuje skrajne wartości na końcach przedziału - trzeba tylko pilnować, który koniec daje wartość najmniejszą.

Przykład 3. $f(x) = \log_3 x$ na przedziale $\left[\frac{1}{9}, 27\right]$. Funkcja rośnie, więc $f\left(\frac{1}{9}\right) = -2$ to najmniejsza wartość, a $f(27) = 3$ - największa: $ZW = [-2, 3]$.

Przykład 4. $g(x) = \log_{1/2} x$ na przedziale $\left(\frac{1}{4}, 8\right]$. Funkcja maleje, więc najmniejszą wartość przyjmuje na prawym końcu: $g(8) = -3$. Przy lewym końcu wartości zbliżają się do $g\left(\frac{1}{4}\right) = 2$, ale jej nie osiągają, bo $\frac{1}{4}$ nie należy do przedziału: $ZW = [-3, 2)$.

Dziedzina funkcji z logarytmem

Wypisujemy wszystkie warunki: liczba logarytmowana dodatnia, a jeśli podstawa zawiera $x$ - podstawa dodatnia i różna od $1$.

Przykład 5. $f(x) = \log(x^2 - 9)$: warunek $x^2 - 9 > 0$, czyli $D = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)$.

Przykład 6. $g(x) = \log_x (6 - x)$: warunki $x > 0$, $x \ne 1$, $6 - x > 0$, czyli $D = (0, 1) \cup (1, 6)$.

Najczęstsze pytania

Kiedy funkcja logarytmiczna jest rosnąca, a kiedy malejąca? Rosnąca dla podstawy $a > 1$ (np. $\log_2 x$, $\log x$, $\ln x$), malejąca dla $0 < a < 1$ (np. $\log_{1/2} x$). Podstawa $a = 1$ jest niedozwolona.

Jak porównać dwa logarytmy bez kalkulatora? Przy tej samej podstawie porównaj liczby logarytmowane (dla podstawy mniejszej od $1$ porządek się odwraca). Przy różnych podstawach znajdź liczbę pośrednią, np. $\log_2 5 > 2 > \log_3 8$, albo przejdź na wspólną podstawę.

Który logarytm jest większy: log₂6 czy log₃6?$\log_2 6$. Dla liczby większej od $1$ logarytm o mniejszej podstawie jest większy, bo mniejszą podstawę trzeba podnieść do wyższej potęgi, żeby dojść do tej samej liczby.

Jaka funkcja jest odwrotna do funkcji wykładniczej? Funkcja logarytmiczna o tej samej podstawie: odwrotną do $y = a^x$ jest $y = \log_a x$. Wykresy obu funkcji są symetryczne względem prostej $y = x$.

Kiedy logarytm jest ujemny? Gdy podstawa i liczba logarytmowana leżą po przeciwnych stronach jedynki, np. $\log_2 0{,}5 = -1$ albo $\log_{1/3} 9 = -2$.

Przećwicz

• Własności funkcji logarytmicznej i porównywanie logarytmów → - porównywanie logarytmów, ustawianie liczb w kolejności, dziedzina funkcji złożonej, parametr w podstawie, funkcja odwrotna i zbiór wartości na przedziale.
• Cały zestaw: logarytmy - zadania →

Podsumowanie

• $f(x) = \log_a x$: $D = (0, +\infty)$, $ZW = \mathbb{R}$; rosnąca dla $a > 1$, malejąca dla $0 < a < 1$.
• Różnowartościowość: $\log_a u = \log_a w \iff u = w$, ale tylko przy $u, w > 0$.
• $y = \log_a x$ jest funkcją odwrotną do $y = a^x$; wykresy są symetryczne względem $y = x$.
• Porównywanie: ta sama podstawa - monotoniczność; różne podstawy - liczba pośrednia albo wspólna podstawa.
• Zbiór wartości na przedziale odczytujemy z końców przedziału, pamiętając o kierunku monotoniczności.