Stożek - tworząca, pole powierzchni i objętość stożka

Klasa 4 liceum i technikum

Stożek to bryła powstała przez obrót trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z jego przyprostokątnych. Ta przyprostokątna jest wysokością stożka $H$, druga - promieniem podstawy $r$, a przeciwprostokątna - tworzącą $l$. Dlatego $l^2 = r^2 + H^2$. Objętość stożka jest trzy razy mniejsza niż objętość walca o tej samej podstawie i wysokości: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$.

Elementy stożka

• Wierzchołek $S$ i podstawa - koło o środku $O$ i promieniu $r$.
• Wysokość $H = |SO|$ - odcinek prostopadły do podstawy.
• Tworząca $l$ - każdy odcinek od wierzchołka do okręgu podstawy. Wszystkie tworzące są równe.
• Kąt nachylenia tworzącej do podstawy $\alpha$: $\cos\alpha = \frac{r}{l}$, $\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{r}$.

Przykład 1. Tworząca, pole i objętość. Stożek ma promień $5$ i wysokość $12$.

Krok 1. Tworząca. $l = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13$.

Krok 2. Pola. $P_b = \pi \cdot 5 \cdot 13 = 65\pi$, $P_c = 25\pi + 65\pi = 90\pi$.

Krok 3. Objętość. $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 25 \cdot 12 = 100\pi$.

Odpowiedź. $l = 13$, $P_c = 90\pi \approx 282{,}7$, $V = 100\pi \approx 314{,}2$.

Najczęstszy błąd to wstawienie do wzoru $P_b = \pi r l$ wysokości zamiast tworzącej. Wysokość idzie do objętości, tworząca - do pola.

Przekrój osiowy i kąt rozwarcia

Przekrój stożka płaszczyzną zawierającą jego oś jest trójkątem równoramiennym: podstawa $2r$, ramiona $l$, wysokość $H$. Kąt przy wierzchołku tego trójkąta to kąt rozwarcia stożka $2\beta$.

Wysokość $SO$ dzieli przekrój na dwa trójkąty prostokątne o kątach $\alpha$ i $\beta$, więc

$\sin\beta = \frac{r}{l}, \qquad \alpha + \beta = 90^\circ, \qquad P_{\text{przekroju}} = \frac{1}{2} \cdot 2r \cdot H = rH.$

Przykład 2. Stożek ma promień $6$ i wysokość $8$. Oblicz kąt nachylenia tworzącej do podstawy i kąt rozwarcia.

Krok 1. Tworząca. $l = \sqrt{36 + 64} = 10$.

Krok 2. Kąt nachylenia. $\cos\alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6$, z tablic $\alpha \approx 53{,}1^\circ$.

Krok 3. Kąt rozwarcia. $\beta = 90^\circ - \alpha \approx 36{,}9^\circ$, więc $2\beta \approx 73{,}7^\circ$.

Odpowiedź. $\alpha \approx 53{,}1^\circ$, kąt rozwarcia $\approx 73{,}7^\circ$. Pole przekroju osiowego: $rH = 48$.

Siatka stożka - wycinek koła

Po rozcięciu wzdłuż tworzącej powierzchnia boczna rozkłada się w wycinek koła o promieniu $l$. Jego łuk owijał się dookoła podstawy, więc ma długość obwodu podstawy, $2\pi r$.

Łuk wycinka to taka część pełnego okręgu o promieniu $l$, jaką kąt $\alpha$ jest częścią kąta pełnego:

$\frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{2\pi r}{2\pi l} = \frac{r}{l} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ.$

Ta sama proporcja daje wzór na pole boczne - wycinek to część $\frac{r}{l}$ koła o promieniu $l$:

$P_b = \frac{r}{l} \cdot \pi l^2 = \pi r l.$

Przykład 3. Stożek z rysunku ma $r = 2$, $l = 6$. Kąt wycinka: $\alpha = \frac{2}{6} \cdot 360^\circ = 120^\circ$, pole boczne $\frac{120^\circ}{360^\circ} \cdot 36\pi = 12\pi = \pi \cdot 2 \cdot 6$.

Przykład 4. Półkole zwinięte w stożek. Z półkola o promieniu $8$ zwinięto powierzchnię boczną stożka. Oblicz promień, wysokość i kąt rozwarcia stożka.

Krok 1. Tworząca. Promień półkola staje się tworzącą: $l = 8$.

Krok 2. Promień podstawy. Łuk półkola ma długość $8\pi$ i staje się obwodem podstawy: $2\pi r = 8\pi$, więc $r = 4$.

Krok 3. Wysokość i kąt. $H = \sqrt{64 - 16} = 4\sqrt{3}$, a $\sin\beta = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$, więc $\beta = 30^\circ$.

Odpowiedź. $r = 4$, $H = 4\sqrt{3}$, kąt rozwarcia $60^\circ$ - przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym.

Stożek równoboczny

Stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, ma $l = 2r$ i kąt rozwarcia $60^\circ$. Wtedy:

$H = r\sqrt{3}, \qquad P_b = 2\pi r^2, \qquad P_c = 3\pi r^2, \qquad V = \frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3.$

Jego siatka to dokładnie półkole, bo $\alpha = \frac{r}{2r} \cdot 360^\circ = 180^\circ$ - jak w przykładzie 4.

Dlaczego jedna trzecia walca

Stożek jest „ostrosłupem o okrągłej podstawie”, a każdy ostrosłup ma jedną trzecią objętości graniastosłupa o tej samej podstawie i wysokości. Można to zobaczyć doświadczalnie: stożkowe naczynie trzeba napełnić wodą trzy razy, żeby zapełnić walec o tej samej podstawie i wysokości. Ścisły dowód wymaga sumowania cienkich warstw - w szkole przyjmujemy wzór bez dowodu.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na pole powierzchni stożka?$P_c = \pi r^2 + \pi r l$: koło podstawy i powierzchnia boczna $P_b = \pi r l$, gdzie $l$ to tworząca, nie wysokość.

Co to jest tworząca stożka i jak ją obliczyć? Odcinek od wierzchołka do okręgu podstawy. Z twierdzenia Pitagorasa $l = \sqrt{r^2 + H^2}$ - np. dla $r = 3$, $H = 4$ tworząca ma długość $5$.

Jak obliczyć objętość stożka?$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$. Gdy znasz tworzącą zamiast wysokości, najpierw policz $H = \sqrt{l^2 - r^2}$.

Jak obliczyć kąt rozwarcia stożka? Z przekroju osiowego: $\sin\beta = \frac{r}{l}$, gdzie $\beta$ to połowa kąta rozwarcia. Kąt rozwarcia wynosi $2\beta$.

Jak obliczyć kąt wycinka koła w siatce stożka?$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$. Wycinek ma promień równy tworzącej, a jego łuk - długość obwodu podstawy.

Co to jest stożek równoboczny? Stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym: tworząca jest równa średnicy podstawy ($l = 2r$), a kąt rozwarcia wynosi $60^\circ$.

Przećwicz

• Stożek - zadania → - tworząca i wysokość, kąt nachylenia tworzącej i kąt rozwarcia, stożek ze stosunku pól, przekrój przez wierzchołek, rozwinięcie powierzchni bocznej i wycinek koła zwinięty w stożek.
• Cały zestaw: bryły obrotowe - zadania z rozwiązaniami

Podsumowanie

• Stożek powstaje z obrotu trójkąta prostokątnego dookoła przyprostokątnej: $l^2 = r^2 + H^2$.
• $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$, $P_b = \pi r l$, $P_c = \pi r^2 + \pi r l$.
• Przekrój osiowy: trójkąt równoramienny $2r$, $l$, $l$; kąt rozwarcia $2\beta$, $\sin\beta = \frac{r}{l}$.
• Siatka: wycinek koła o promieniu $l$ i kącie $\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ$.
• Stożek równoboczny: $l = 2r$, $H = r\sqrt{3}$, siatka boczna to półkole.