Funkcja wykładnicza - kurs, klasa 4: wykresy, równania i nierówności wykładnicze

Klasa 4 liceum i technikum

Funkcja wykładnicza to funkcja $f(x) = a^x$, w której zmienna stoi w wykładniku, a podstawa $a$ jest stałą liczbą dodatnią różną od $1$. Opisuje każdy proces, który w równych odstępach czasu zmienia się o ten sam procent: kapitał na lokacie, liczbę bakterii, masę substancji promieniotwórczej, temperaturę stygnącej herbaty.

Funkcję wykładniczą poznaliśmy już w klasie pierwszej - w lekcji funkcja wykładnicza - definicja, własności i przykłady narysowaliśmy wykresy $2^x$ i $\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ i odczytaliśmy z nich podstawowe własności. W klasie czwartej idziemy dalej: uzasadniamy monotoniczność i różnowartościowość, przesuwamy i odbijamy wykresy, a przede wszystkim uczymy się rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze wszystkimi metodami, które pojawiają się na maturze. Dział kończą zadania z życia: wzrost i zanik, czas połowicznego rozpadu, czas podwojenia kapitału.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• sprowadzać liczby do wspólnej podstawy ($8 = 2^3$, $\sqrt{2} = 2^{1/2}$, $\tfrac{1}{9} = 3^{-2}$) i porównywać potęgi o wykładnikach rzeczywistych;
• uzasadniać, kiedy funkcja wykładnicza jest rosnąca, a kiedy malejąca, i korzystać z jej różnowartościowości;
• szkicować wykresy $y = a^{x - p} + q$, $y = -a^x$, $y = a^{-x}$, $y = |a^x - c|$ i odczytywać z nich asymptotę i zbiór wartości;
• rozwiązywać równania wykładnicze: przez wspólną podstawę, wyłączenie czynnika przed nawias, podstawienie $t = a^x$ i logarytm;
• rozwiązywać nierówności wykładnicze i pamiętać o zmianie zwrotu przy podstawie mniejszej od $1$;
• budować modele wykładnicze i liczyć czas połowicznego rozpadu, czas podwojenia i wartość po $n$ okresach.

Warto wcześniej znać potęgę o wykładniku wymiernym, logarytm, przesunięcia wykresów oraz nierówności kwadratowe - wiele równań i nierówności wykładniczych po podstawieniu $t = a^x$ staje się kwadratowymi.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku w zestawie funkcja wykładnicza - zadania z rozwiązaniami. Wykres funkcji wykładniczej krok po kroku, z porównaniem podstaw $2$, $e$ i $10$, omawia strona wykres funkcji wykładniczej.