Przekształcenia wykresu funkcji wykładniczej - przesunięcia, symetrie, moduł

Klasa 4 liceum i technikum

Przekształcenie wykresu funkcji wykładniczej to przesunięcie, odbicie lub złożenie z modułem wykresu $y = a^x$. Najważniejsza reguła: asymptota pozioma przesuwa się razem z wykresem - po przesunięciu o $q$ w pionie asymptotą jest prosta $y = q$, a zbiór wartości zmienia się na $(q, +\infty)$.

Ogólne zasady przekształcania wykresów dowolnych funkcji zna już Ci rozdział z klasy drugiej: przesunięcie wzdłuż osi OX, wzdłuż osi OY, symetria osiowa i wykresy z wartością bezwzględną. Tutaj stosujemy je do funkcji wykładniczej i patrzymy, co dzieje się z asymptotą, zbiorem wartości, miejscem zerowym i monotonicznością - bo o to pytają zadania.

Co się zmienia przy każdym przekształceniu

Dziedzina we wszystkich przypadkach pozostaje ta sama: $\mathbb{R}$. Przesunięcie nie zmienia monotoniczności, za to każda symetria względem jednej osi ją odwraca: $2^x$ rośnie, a $-2^x$ i $2^{-x}$ maleją.

Przykład 1 - przesunięcie o wektor

Zadanie. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{x - 2} - 1$. Podaj asymptotę, zbiór wartości, miejsce zerowe, punkt przecięcia z osią $OY$ i monotoniczność.

Krok 1. Wektor przesunięcia. Wzór ma postać $a^{x - p} + q$ z $p = 2$, $q = -1$, więc wykres $y = \left(\tfrac{1}{2}\right)^x$ przesuwamy o wektor $[2, -1]$: o $2$ w prawo i o $1$ w dół.

Krok 2. Asymptota i zbiór wartości. Asymptota $y = 0$ przechodzi w $y = -1$, więc $\text{ZW} = (-1, +\infty)$.

Krok 3. Punkty charakterystyczne. Punkt $(0, 1)$ wykresu bazowego przechodzi w $(2, 0)$ - to od razu miejsce zerowe. Sprawdzenie rachunkiem:

$\left(\tfrac{1}{2}\right)^{x - 2} = 1 = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{0} \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2$

Przecięcie z osią $OY$: $f(0) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-2} - 1 = 4 - 1 = 3$. Dodatkowy punkt: $f(1) = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-1} - 1 = 1$.

Odpowiedź. Asymptota $y = -1$, $\text{ZW} = (-1, +\infty)$, miejsce zerowe $x = 2$, punkt $(0, 3)$ na osi $OY$, funkcja malejąca (przesunięcie nie zmienia monotoniczności, a podstawa $\tfrac{1}{2} < 1$).

Przykład 2 - odbicia

Z wykresu $y = 3^x$ (rosnący, nad osią $OX$) dostajemy:

• $y = -3^x$ - odbicie względem osi $OX$: wykres pod osią, malejący, $\text{ZW} = (-\infty, 0)$;
• $y = 3^{-x} = \left(\tfrac{1}{3}\right)^x$ - odbicie względem osi $OY$: malejący, nad osią;
• $y = -3^{-x}$ - odbicie względem początku układu: rosnący, pod osią.

Zadanie. Podaj własności funkcji $g(x) = 1 - 3^x$.

Krok 1. $g(x) = -3^x + 1$: wykres $3^x$ odbijamy względem osi $OX$, a potem przesuwamy o $1$ w górę.

Krok 2. Po odbiciu zbiór wartości to $(-\infty, 0)$, po przesunięciu $(-\infty, 1)$. Asymptota: $y = 1$.

Krok 3. Miejsce zerowe: $3^x = 1$, więc $x = 0$ - wykres przechodzi przez początek układu.

Odpowiedź. $\text{ZW} = (-\infty, 1)$, asymptota $y = 1$, miejsce zerowe $x = 0$, funkcja malejąca. Uwaga: zbiór wartości jest teraz ograniczony od góry, nie od dołu.

Przykład 3 - mnożenie przez stałą to przesunięcie w poziomie

Dla funkcji wykładniczej mnożenie przez potęgę podstawy przesuwa wykres w lewo lub w prawo:

$4 \cdot 2^{x} = 2^{2} \cdot 2^{x} = 2^{x + 2}, \qquad \frac{2^{x}}{8} = 2^{x} \cdot 2^{-3} = 2^{x - 3}$

Wykres $y = 4 \cdot 2^x$ to więc wykres $2^x$ przesunięty o $2$ w lewo, a $y = \frac{2^x}{8}$ - o $3$ w prawo. Tak samo $9 \cdot 3^{x - 1} = 3^{x + 1}$. To przydaje się w zadaniach typu „wykres jakiej funkcji otrzymamy po przesunięciu”, gdzie wzór jest zapisany nietypowo. Ogólnie, dla $k > 0$: $k \cdot a^x = a^{x + \log_a k}$ (zob. logarytm).

Przykład 4 - wartość bezwzględna i liczba rozwiązań

Zadanie. Naszkicuj wykres funkcji $f(x) = |3^x - 3|$ i określ liczbę rozwiązań równania $|3^x - 3| = m$ w zależności od parametru $m$.

Krok 1. Wykres $y = 3^x - 3$. To wykres $3^x$ przesunięty o $3$ w dół: asymptota $y = -3$, miejsce zerowe $3^x = 3$, czyli $x = 1$. Dla $x < 1$ wykres leży pod osią $OX$.

Krok 2. Moduł. Część leżącą pod osią odbijamy do góry. Asymptota $y = -3$ po lewej stronie odbija się na $y = 3$: dla bardzo małych $x$ wartości $|3^x - 3|$ są bliskie $3$, ale mniejsze od $3$.

Krok 3. Prosta $y = m$. Przesuwamy poziomą prostą i liczymy punkty wspólne z wykresem:

• $m < 0$ - brak rozwiązań;
• $m = 0$ - jedno rozwiązanie ($x = 1$);
• $0 < m < 3$ - dwa rozwiązania (jedno po lewej od $x = 1$, jedno po prawej);
• $m \ge 3$ - jedno rozwiązanie (lewa gałąź nie osiąga wartości $3$).

Dla $m = 2$ rachunek potwierdza dwa rozwiązania: $3 - 3^x = 2$ daje $x = 0$, a $3^x - 3 = 2$ daje $3^x = 5$, czyli $x = \log_3 5 \approx 1{,}46$.

Odpowiedź. Brak rozwiązań dla $m < 0$, jedno dla $m = 0$ i dla $m \ge 3$, dwa dla $m \in (0, 3)$.

Pułapka: dla $m = 3$ łatwo odpowiedzieć „dwa”, patrząc na rysunek. Ale lewa gałąź tylko zbliża się do $y = 3$ - równanie $3 - 3^x = 3$ daje $3^x = 0$, a to jest niemożliwe.

Przykład 5 - wykres y = 2^|x|

Dla $x \ge 0$ mamy $2^{|x|} = 2^x$, a dla $x < 0$: $2^{|x|} = 2^{-x}$. Wykres składa się więc z prawej połowy wykresu $2^x$ i jej odbicia względem osi $OY$ - ma kształt litery „V” z zaokrąglonymi ramionami i wierzchołkiem w $(0, 1)$.

Własności: funkcja parzysta, malejąca w $(-\infty, 0]$, rosnąca w $[0, +\infty)$, wartość najmniejsza $1$ dla $x = 0$, $\text{ZW} = [1, +\infty)$, brak asymptoty.

Przykład 6 - wzór funkcji z wykresu

Zadanie. Wykres funkcji $f(x) = a^x + q$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, -1)$ i przechodzi przez punkt $(2, 7)$. Wyznacz $a$ i $q$ oraz asymptotę wykresu.

Krok 1. $f(0) = a^0 + q = 1 + q = -1$, więc $q = -2$.

Krok 2. $f(2) = a^2 - 2 = 7$, więc $a^2 = 9$ i (bo $a > 0$) $a = 3$.

Krok 3. $f(x) = 3^x - 2$: asymptota $y = -2$, zbiór wartości $(-2, +\infty)$.

Odpowiedź. $a = 3$, $q = -2$, asymptota $y = -2$.

Wskazówka: punkt przecięcia z osią $OY$ daje od razu $q$, bo $a^0 = 1$ niezależnie od podstawy. Wykres można sprawdzić w rysowniku funkcji.

Typowe błędy

• Zły kierunek przesunięcia poziomego. $2^{x - 3}$ to przesunięcie o $3$ w prawo, a $2^{x + 3}$ - w lewo.
• Asymptota zostaje na osi $OX$. Po przesunięciu o $q$ w pionie asymptotą jest $y = q$, nie $y = 0$.
• Zbiór wartości po odbiciu. $-2^x + 5$ ma zbiór wartości $(-\infty, 5)$, a nie $(5, +\infty)$.
• Mylenie $-2^x$ z $(-2)^x$. $-2^x$ to „minus dwa do potęgi $x$”, czyli $-(2^x)$; zapis $(-2)^x$ nie jest funkcją wykładniczą.

Najczęstsze pytania

Jak narysować wykres funkcji $y = 2^{x+1} - 3$? Przesuń wykres $2^x$ o $1$ w lewo i o $3$ w dół, czyli o wektor $[-1, -3]$. Asymptota to $y = -3$, zbiór wartości $(-3, +\infty)$, a punkt $(0, 1)$ przechodzi w $(-1, -2)$.

Jak wyznaczyć asymptotę funkcji wykładniczej? Dla funkcji $y = a^{x - p} + q$ asymptotą poziomą jest prosta $y = q$ - liczba dodana do potęgi na końcu wzoru. Przesunięcie w poziomie ($p$) asymptoty nie zmienia.

Jaki jest zbiór wartości funkcji $y = -2^x + 4$?$(-\infty, 4)$. Odbicie względem osi $OX$ daje $(-\infty, 0)$, a przesunięcie o $4$ w górę przesuwa ten przedział do $(-\infty, 4)$.

Co się dzieje z wykresem $2^x$ po pomnożeniu przez 8?$8 \cdot 2^x = 2^{x + 3}$ - wykres przesuwa się o $3$ w lewo. To nie jest „rozciągnięcie” w zwykłym sensie, bo dla funkcji wykładniczej oba przekształcenia dają ten sam wykres.

Czy funkcja $y = |2^x - 1|$ jest różnowartościowa? Nie. Na lewo od $x = 0$ maleje, na prawo rośnie, więc wartości z przedziału $(0, 1)$ przyjmuje dwukrotnie - na przykład $\tfrac{1}{2}$ dla $x = -1$ i dla $x = \log_2 \tfrac{3}{2}$.

Przećwicz

• Przekształcenia wykresów funkcji wykładniczej - zadania → - 8 zadań: wektor przesunięcia, odbicia, wykresy z modułem, parametry z asymptoty i z wykresu oraz liczba rozwiązań $|2^x - 4| = m$.
• Przekształcenia wykresów funkcji - zadania → - przesunięcia i symetrie dowolnych wykresów.
• Cały zestaw: funkcja wykładnicza - zadania →

Podsumowanie

• $y = a^{x - p} + q$: przesunięcie o wektor $[p, q]$, asymptota $y = q$, $\text{ZW} = (q, +\infty)$.
• $-a^x$ - symetria względem $OX$, $a^{-x}$ - względem $OY$, $-a^{-x}$ - względem początku układu; każda symetria względem jednej osi odwraca monotoniczność.
• $k \cdot a^x$ z $k = a^s$ to przesunięcie o $s$ w lewo: $4 \cdot 2^x = 2^{x + 2}$.
• Wykres $|a^x - c|$ ma po lewej stronie asymptotę $y = c$; liczbę rozwiązań $|a^x - c| = m$ odczytujemy prostą $y = m$ i pamiętamy, że wartość $c$ nie jest osiągana na lewej gałęzi.
• Punkt przecięcia z osią $OY$ wykresu $a^x + q$ to $(0, 1 + q)$.