Funkcja logarytmiczna - kurs, klasa 4: równania, nierówności, zastosowania

Klasa 4 liceum i technikum

Funkcja logarytmiczna to funkcja $f(x) = \log_a x$, gdzie $a > 0$, $a \ne 1$, określona dla $x > 0$. Jest odwrotna do funkcji wykładniczej $y = a^x$: odpowiada na pytanie, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę - a w zadaniach praktycznych na pytanie „po jakim czasie?”.

Ten dział jest ciągiem dalszym rozdziału funkcja wykładnicza. Logarytm i podstawowe własności funkcji logarytmicznej znamy z klasy pierwszej (definicja logarytmu, prawa logarytmów, funkcja logarytmiczna) - tutaj powtarzamy je krótko i idziemy dalej: monotoniczność jako narzędzie do porównywania logarytmów i rozwiązywania nierówności, różnowartościowość jako narzędzie do równań, przekształcenia wykresu i zadania z kontekstem, w których niewiadoma stoi w wykładniku.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• liczyć wyrażenia z logarytmem w wykładniku, iloczyny logarytmów i wyrażać logarytm przez dane $\log 2 = a$, $\log 3 = b$;
• uzasadniać monotoniczność funkcji logarytmicznej i porównywać logarytmy bez kalkulatora;
• wyznaczać funkcję odwrotną do wykładniczej i zbiór wartości logarytmu na przedziale;
• przesuwać i odbijać wykres $y = \log_a x$, rysować $y = |\log_a x|$ i $y = \log_a |x|$;
• rozwiązywać równania logarytmiczne wszystkimi metodami - z definicji, przez porównanie, podstawienie, sprowadzenie do wspólnej podstawy - zawsze z dziedziną;
• rozwiązywać nierówności logarytmiczne, pamiętając o zmianie zwrotu przy podstawie mniejszej od $1$;
• obliczać czas podwojenia, wiek znaleziska metodą C-14, pH, poziom dźwięku w decybelach i porównywać trzęsienia ziemi w skali Richtera.

Do każdej lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku w zestawie zadań z logarytmów: równania i nierówności logarytmiczne, własności i wykres funkcji logarytmicznej oraz zadania praktyczne.

Rysunek wykresu krok po kroku i porównanie wykresów $\log_2 x$, $\ln x$ i $\log x$ są na stronie wykres funkcji logarytmicznej, a o podstawie logarytmu naturalnego - na stronie liczba e.