Kula i sfera - objętość kuli, pole sfery i przekrój kuli

Klasa 4 liceum i technikum

Sfera o środku $O$ i promieniu $R$ to zbiór wszystkich punktów przestrzeni odległych od $O$ dokładnie o $R$ - sama powierzchnia. Kula to sfera razem z wnętrzem: wszystkie punkty odległe od $O$ o co najwyżej $R$. Kula powstaje z obrotu półkola dookoła prostej zawierającej jego średnicę. Objętość kuli to $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, a pole sfery (pole powierzchni kuli) to $P = 4\pi R^2$.

Kula, sfera i koło wielkie

Rozróżnienie jest takie samo jak między okręgiem a kołem na płaszczyźnie:

• sfera ↔ okrąg (sam brzeg) - ma pole, ale nie ma objętości;
• kula ↔ koło (brzeg z wnętrzem) - ma objętość.

Dlatego mówimy „pole sfery” albo „pole powierzchni kuli” i „objętość kuli”. Przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek to koło wielkie - największy możliwy przekrój, o promieniu $R$. Pole sfery jest równe czterem polom koła wielkiego: $4 \cdot \pi R^2$.

Objętość kuli i pole sfery

Przykład 1. Kula ma promień $6$. Oblicz jej objętość i pole powierzchni.

$V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi, \qquad P = 4\pi \cdot 36 = 144\pi.$

Odpowiedź. $V = 288\pi \approx 904{,}8$, $P = 144\pi \approx 452{,}4$.

Przykład 2. Promień z objętości. Kula ma objętość $36\pi$. Oblicz pole jej powierzchni.

Krok 1. Promień. $\frac{4}{3}\pi R^3 = 36\pi$, więc $R^3 = 27$ i $R = \sqrt[3]{27} = 3$.

Krok 2. Pole. $P = 4\pi \cdot 9 = 36\pi$.

Odpowiedź. $P = 36\pi$. Liczby wyszły równe tylko dlatego, że $R = 3$ - pole i objętość mają różne jednostki (cm² i cm³), więc nie da się ich porównywać.

Promień z objętości wymaga pierwiastka trzeciego stopnia, a promień z pola - kwadratowego: z $4\pi R^2 = P$ mamy $R = \sqrt{\frac{P}{4\pi}}$.

Przykład 3. Ile waży kula ze stali? Stalowa kulka ma średnicę $4$ cm, a stal ma gęstość $7{,}8 \text{ g/cm}^3$. Promień to $2$ cm, objętość $\frac{4}{3}\pi \cdot 8 = \frac{32}{3}\pi \approx 33{,}5 \text{ cm}^3$, więc kulka waży około $33{,}5 \cdot 7{,}8 \approx 261$ g.

Przekrój kuli płaszczyzną

Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem. Jeśli płaszczyzna jest odległa od środka kuli o $d$ ($0 \le d < R$), to środek przekroju $M$, środek kuli $O$ i dowolny punkt $K$ brzegu przekroju tworzą trójkąt prostokątny z kątem prostym przy $M$.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$r^2 + d^2 = R^2 \quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{R^2 - d^2}.$

Dla $d = 0$ dostajemy koło wielkie ($r = R$), a im dalej od środka, tym przekrój mniejszy.

Przykład 4. Kulę o promieniu $13$ przecięto płaszczyzną odległą od środka o $5$. Oblicz pole przekroju.

Krok 1. Promień przekroju. $r = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.

Krok 2. Pole koła. $P = \pi \cdot 12^2 = 144\pi$.

Odpowiedź. $144\pi \approx 452{,}4$.

Ten sam trójkąt działa w drugą stronę: gdy znamy promień przekroju i odległość od środka, obliczamy promień kuli. Na kuli ziemskiej przekroje równoległe do równika to równoleżniki - im bliżej bieguna, tym krótsze. Przykład z liczbami jest w zadaniach o kuli.

Półkula

Płaszczyzna przez środek dzieli kulę na dwie półkule. Objętość półkuli to połowa objętości kuli, ale z polem trzeba uważać - powierzchnia półkuli to połowa sfery i koło wielkie, które powstało przy przecięciu:

$V = \frac{2}{3}\pi R^3, \qquad P_c = \frac{1}{2} \cdot 4\pi R^2 + \pi R^2 = 3\pi R^2.$

Kopuła (bez podłogi) ma pole tylko $2\pi R^2$ - tyle trzeba blachy na jej pokrycie.

Skąd się biorą wzory

Wzory na kulę odkrył Archimedes w III wieku p.n.e. Porównał kulę z walcem, w który jest wpisana (promień $R$, wysokość $2R$): kula ma $\frac{2}{3}$ objętości tego walca, $\frac{2}{3} \cdot 2\pi R^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$, a jej pole jest równe polu bocznemu walca, $2\pi R \cdot 2R = 4\pi R^2$. Szczegóły: walec, kula i stożek Archimedesa. W szkole wzory przyjmujemy bez dowodu - ścisłe wyprowadzenie wymaga całek.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na objętość kuli?$V = \frac{4}{3}\pi R^3$. Dla $R = 3$: $V = \frac{4}{3}\pi \cdot 27 = 36\pi \approx 113{,}1$.

Jak obliczyć pole powierzchni kuli?$P = 4\pi R^2$, czyli cztery pola koła wielkiego. Dla $R = 5$: $P = 100\pi \approx 314{,}2$.

Czym różni się kula od sfery? Sfera to sama powierzchnia (punkty odległe od środka dokładnie o $R$), kula to sfera z wnętrzem. Sfera ma pole, kula - objętość.

Co to jest koło wielkie kuli? Przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek. Ma promień równy promieniowi kuli i jest największym możliwym przekrojem.

Jak obliczyć promień kuli z objętości? Przekształć wzór: $R^3 = \frac{3V}{4\pi}$, a potem wyciągnij pierwiastek trzeciego stopnia.

Jak obliczyć promień przekroju kuli?$r = \sqrt{R^2 - d^2}$, gdzie $d$ to odległość płaszczyzny od środka kuli.

Przećwicz

• Kula i sfera - zadania → - objętość i pole, promień z pola lub objętości i z koła wielkiego, przekrój kuli płaszczyzną i dwa przekroje równoległe, równoleżnik na kuli ziemskiej, piłka w litrach, półkula i zmiana promienia o procent.
• Cały zestaw: bryły obrotowe - zadania z rozwiązaniami

Podsumowanie

• Sfera to powierzchnia, kula - sfera z wnętrzem; kula powstaje z obrotu półkola.
• $V = \frac{4}{3}\pi R^3$, $P = 4\pi R^2$ (cztery koła wielkie).
• Przekrój w odległości $d$ od środka: koło o promieniu $\sqrt{R^2 - d^2}$.
• Półkula: $V = \frac{2}{3}\pi R^3$, $P_c = 3\pi R^2$.
• Promień z objętości - pierwiastek trzeciego stopnia, z pola - kwadratowy.