Proste skośne i równoległość prostych i płaszczyzn - kąt między prostymi skośnymi

Q: Co to są proste skośne?

Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie - nie przecinają się i nie są równoległe. Przykład: krawędzie AB i CC_1 sześcianu.

Q: Czy proste skośne mogą być prostopadłe?

Tak. Kąt między prostymi skośnymi mierzymy po przesunięciu jednej z nich, i może on wynosić 90° - tak jest dla krawędzi AB i CC_1 sześcianu.

Q: Jak obliczyć kąt między prostymi skośnymi?

Przesuń jedną prostą równolegle tak, żeby przecięła drugą, uzupełnij kąt do trójkąta o znanych bokach i policz go z trygonometrii albo twierdzenia cosinusów.

Q: Ile krawędzi sześcianu jest skośnych z daną krawędzią?

Cztery. Spośród 11 pozostałych krawędzi 4 ją przecinają, 3 są do niej równoległe, a 4 są skośne.

Q: Czy dwie proste bez punktów wspólnych są zawsze równoległe?

Na płaszczyźnie tak, w przestrzeni nie - mogą być skośne. Równoległe muszą jeszcze leżeć w jednej płaszczyźnie.

Q: Kiedy prosta jest równoległa do płaszczyzny?

Gdy jest równoległa do jakiejkolwiek prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

Klasa 4 liceum i technikum

Proste skośne i równoległość - najważniejsze fakty

Dwie proste w przestrzeni: przecinają się (1 punkt wspólny, jedna płaszczyzna) · są równoległe (jedna płaszczyzna, brak punktów wspólnych albo pokrywają się) · są skośne (nie leżą w żadnej wspólnej płaszczyźnie).

Kąt między prostymi skośnymi $k$ i $l$ to kąt między prostą $k$ a prostą $l'$ równoległą do $l$ i przecinającą $k$ :

$0^\circ < \varphi \leq 90^\circ$

Cecha równoległości prostej i płaszczyzny: $l \parallel m$ i $m \subset \pi$ $\Rightarrow$ $l \parallel \pi$ .

Cecha równoległości płaszczyzn: dwie przecinające się proste płaszczyzny $\alpha$ są równoległe do płaszczyzny $\beta$ $\Rightarrow$ $\alpha \parallel \beta$ .

Proste skośne to dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie - nie przecinają się i nie są równoległe. W sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ skośne są na przykład krawędzie $AB$ i $CC_1$ : biegną w różnych kierunkach, a mimo to nigdy się nie spotkają.

Na płaszczyźnie dwie proste rozłączne były zawsze równoległe. W przestrzeni pojawia się trzecia możliwość i to ona sprawia najwięcej kłopotów - zarówno przy rozpoznawaniu położenia prostych, jak i przy liczeniu kątów. W tej lekcji uporządkujemy położenie dwóch prostych, nauczymy się mierzyć kąt między prostymi skośnymi i poznamy cechy równoległości, które przydadzą się przy przekrojach. Pojęcia, których tu używamy (płaszczyzna, punkt przebicia), omawia lekcja płaszczyzny i proste w przestrzeni.

Trzy położenia dwóch prostych

Dwie różne proste $k$ i $l$ w przestrzeni są:

przecinające się - mają dokładnie jeden punkt wspólny; leżą w jednej płaszczyźnie;
równoległe - leżą w jednej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych;
skośne - nie istnieje płaszczyzna, która zawiera obie.

Zwróć uwagę na definicję równoległości: w przestrzeni nie wystarczy „nie mają punktów wspólnych”. Trzeba jeszcze, żeby proste leżały w jednej płaszczyźnie - inaczej są skośne.

Krawędź AB (gruba) i trzy inne: AD ją przecina, D₁C₁ jest do niej równoległa, a CC₁ jest z nią skośna - nie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przykład 1. Ile krawędzi sześcianu jest skośnych z krawędzią $AB$ ? Ile jest do niej równoległych, a ile ją przecina?

Sześcian ma 12 krawędzi. Poza samą $AB$ zostaje 11:

przecinają $AB$ (wychodzą z $A$ lub z $B$ ): $AD$ , $AA_1$ , $BC$ , $BB_1$ - 4 krawędzie;
równoległe do $AB$ : $DC$ , $A_1B_1$ , $D_1C_1$ - 3 krawędzie;
skośne z $AB$ : pozostałe $11 - 4 - 3 = 4$ , czyli $CC_1$ , $DD_1$ , $A_1D_1$ , $B_1C_1$ .

Odpowiedź. 4 krawędzie skośne, 3 równoległe i 4 przecinające $AB$ .

Jak rozpoznać proste skośne

Sprawdzanie „nie istnieje żadna wspólna płaszczyzna” bywa niewygodne. W praktyce korzysta się z cechy:

Twierdzenie (cecha prostych skośnych). Jeżeli prosta $k$ leży w płaszczyźnie $\pi$ , a prosta $l$ przebija $\pi$ w punkcie $P$ , który nie leży na $k$ , to proste $k$ i $l$ są skośne.

Dowód. Przypuśćmy, że $k$ i $l$ leżą w jednej płaszczyźnie $\rho$ . Płaszczyzna $\rho$ zawiera prostą $k$ i punkt $P$ spoza niej, a takie dane wyznaczają dokładnie jedną płaszczyznę - tę samą, co $\pi$ (bo $\pi$ też zawiera $k$ i $P$ ). Zatem $\rho = \pi$ i cała prosta $l$ leżałaby w $\pi$ , a przecież przebija ją tylko w jednym punkcie. Sprzeczność. $\blacksquare$

Prosta k leży w π, a prosta l przebija π w punkcie P, który nie leży na k. Takie proste są skośne.

Na bryłach wygląda to tak: krawędź $AB$ leży w płaszczyźnie podstawy, a krawędź $CC_1$ przebija tę płaszczyznę w punkcie $C$ , który nie leży na prostej $AB$ . Zatem $AB$ i $CC_1$ są skośne.

Kąt między prostymi skośnymi

Proste skośne się nie przecinają, więc nie tworzą „zwykłego” kąta. Umawiamy się, że:

Kątem między prostymi skośnymi $k$ i $l$ nazywamy kąt między prostą $k$ a dowolną prostą $l'$ równoległą do $l$ , która przecina $k$ .

Wynik nie zależy od wyboru $l'$ - wszystkie takie proste są równoległe, więc tworzą z $k$ ten sam kąt. Kąt ten jest zawsze z przedziału $(0^\circ, 90^\circ]$ . Jeśli wynosi $90^\circ$ , mówimy, że proste skośne są prostopadłe - na przykład $AB$ i $CC_1$ w sześcianie.

Przepis na rachunek:

Przesuń jedną z prostych równolegle tak, żeby przecięła drugą - najlepiej do wierzchołka bryły.
Uzupełnij powstały kąt do trójkąta, którego boki umiesz obliczyć.
Kąt policz z trygonometrii kąta ostrego albo z twierdzenia cosinusów.

Przykład 2. Oblicz kąt między prostymi $A_1B$ i $B_1C$ w sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ .

Proste $A_1B$ (przekątna przedniej ściany) i $B_1C$ (przekątna prawej ściany) są skośne. Ściana $ADD_1A_1$ jest przesunięciem ściany $BCC_1B_1$ o wektor $\overrightarrow{BA}$ , więc przekątna $A_1D$ jest równoległa do $B_1C$ . Szukany kąt to kąt $BA_1D$ .

Trójkąt $A_1BD$ ma trzy boki, które są przekątnymi ścian sześcianu o krawędzi $a$ :

$|A_1B| = |BD| = |A_1D| = a\sqrt{2}.$

Jest więc równoboczny, a każdy jego kąt ma $60^\circ$ .

Odpowiedź. Kąt między prostymi $A_1B$ i $B_1C$ wynosi $60^\circ$ .

Proste A₁B i B₁C są skośne. Przesuwamy B₁C równolegle do A₁D - kąt między skośnymi to kąt BA₁D w trójkącie równobocznym A₁BD, czyli 60°.

Przykład 3. Prostopadłościan $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma krawędzie podstawy $|AB| = 4$ i $|BC| = 3$ . Oblicz cosinus kąta między przekątną podstawy $AC$ a krawędzią $B_1C_1$ .

Krawędź $B_1C_1$ jest równoległa do $BC$ , która przecina $AC$ w punkcie $C$ . Szukamy więc kąta $\varphi = \angle ACB$ w trójkącie prostokątnym $ABC$ (kąt prosty przy $B$ ):

$|AC| = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5, \qquad \cos\varphi = \frac{|BC|}{|AC|} = \frac{3}{5}.$

Odpowiedź. $\cos\varphi = \frac{3}{5}$ , czyli $\varphi \approx 53^\circ$ . Wysokość prostopadłościanu nie ma tu żadnego znaczenia.

Krawędź B₁C₁ jest równoległa do BC, więc kąt między skośnymi AC i B₁C₁ to kąt φ = ∠ACB w trójkącie prostokątnym ABC.

Przykład 4. Czy przekątna podstawy $AC$ sześcianu jest prostopadła do przekątnej $B_1D_1$ górnej podstawy?

Proste $AC$ i $B_1D_1$ są skośne (leżą w równoległych płaszczyznach podstaw i nie są równoległe). Przekątna $B_1D_1$ jest równoległa do $BD$ , a przekątne kwadratu $ABCD$ są prostopadłe.

Odpowiedź. Tak - kąt między $AC$ a $B_1D_1$ wynosi $90^\circ$ , choć proste się nie przecinają.

Prosta równoległa do płaszczyzny

Prosta $l$ jest równoległa do płaszczyzny $\pi$ , gdy nie ma z nią punktów wspólnych albo w niej leży. Jak to sprawdzić bez wychodzenia w nieskończoność? Wystarczy znaleźć w płaszczyźnie jedną prostą równoległą do $l$ :

Twierdzenie (cecha równoległości prostej i płaszczyzny). Jeżeli prosta $l$ jest równoległa do pewnej prostej $m$ leżącej w płaszczyźnie $\pi$ , to $l \parallel \pi$ .

Przykład: krawędź $A_1B_1$ sześcianu jest równoległa do krawędzi $AB$ , która leży w płaszczyźnie podstawy, więc $A_1B_1$ jest równoległa do płaszczyzny $ABCD$ . Tak samo przekątna $A_1C_1$ górnej podstawy jest równoległa do płaszczyzny dolnej podstawy (bo $A_1C_1 \parallel AC$ ).

Płaszczyzny równoległe

Twierdzenie (cecha równoległości płaszczyzn). Jeżeli dwie przecinające się proste płaszczyzny $\alpha$ są równoległe do płaszczyzny $\beta$ , to $\alpha \parallel \beta$ .

Jedna prosta to za mało: krawędź $A_1B_1$ jest równoległa do płaszczyzny $ABCD$ , ale ściana $ABB_1A_1$ , w której leży, przecina podstawę. Dopiero dwie przecinające się proste - np. $A_1B_1$ i $A_1D_1$ - przesądzają, że górna podstawa jest równoległa do dolnej.

Najważniejsza w zadaniach jest jednak konsekwencja tej definicji:

Twierdzenie. Jeżeli płaszczyzna przecina dwie płaszczyzny równoległe, to krawędzie przecięcia są prostymi równoległymi.

Dowód jest krótki: obie krawędzie leżą w płaszczyźnie przecinającej, a nie mają punktów wspólnych, bo leżą w płaszczyznach rozłącznych. Dwie proste w jednej płaszczyźnie bez punktów wspólnych są równoległe. $\blacksquare$

Płaszczyzna ACC₁A₁ przecina równoległe płaszczyzny podstaw wzdłuż prostych równoległych AC i A₁C₁.

To twierdzenie jest silnikiem konstrukcji przekrojów: jeżeli przekrój przecina przeciwległe ściany graniastosłupa, to odcinki przekroju na tych ścianach są równoległe.

Przykład 5. Płaszczyzna przechodzi przez wierzchołki $A$ i $C$ prostopadłościanu oraz przez punkt $M$ leżący na krawędzi $A_1D_1$ . Jak biegnie przekrój na górnej podstawie?

Płaszczyzny podstaw są równoległe, więc odcinek przekroju na górnej podstawie jest równoległy do $AC$ . Prowadzimy więc przez $M$ prostą równoległą do $A_1C_1$ - przetnie ona krawędź $C_1D_1$ w punkcie $N$ , a przekrojem jest trapez $ACNM$ .

Odpowiedź. Odcinek $MN \parallel A_1C_1$ , przekrój jest trapezem $ACNM$ (dla $M = A_1$ - prostokątem $ACC_1A_1$ ).

Najczęstsze pytania

Co to są proste skośne? Dwie proste w przestrzeni, które nie leżą w jednej płaszczyźnie - nie przecinają się i nie są równoległe. Przykład: krawędzie $AB$ i $CC_1$ sześcianu.

Czy proste skośne mogą być prostopadłe? Tak. Kąt między prostymi skośnymi mierzymy po przesunięciu jednej z nich, i może on wynosić $90^\circ$ - tak jest dla krawędzi $AB$ i $CC_1$ sześcianu.

Jak obliczyć kąt między prostymi skośnymi? Przesuń jedną prostą równolegle tak, żeby przecięła drugą, uzupełnij kąt do trójkąta o znanych bokach i policz go z trygonometrii albo twierdzenia cosinusów.

Ile krawędzi sześcianu jest skośnych z daną krawędzią? Cztery. Spośród 11 pozostałych krawędzi 4 ją przecinają, 3 są do niej równoległe, a 4 są skośne.

Czy dwie proste bez punktów wspólnych są zawsze równoległe? Na płaszczyźnie tak, w przestrzeni nie - mogą być skośne. Równoległe muszą jeszcze leżeć w jednej płaszczyźnie.

Kiedy prosta jest równoległa do płaszczyzny? Gdy jest równoległa do jakiejkolwiek prostej leżącej w tej płaszczyźnie.

Przećwicz

Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - rozpoznawanie prostych skośnych, kąt między prostymi skośnymi w sześcianie i prostopadłościanie, równoległość prostej i płaszczyzny.

Wszystkie typy: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

Dwie proste w przestrzeni przecinają się, są równoległe albo są skośne.
Proste skośne nie leżą w jednej płaszczyźnie; rozpoznajemy je cechą: jedna leży w płaszczyźnie, druga przebija ją poza pierwszą.
Kąt między prostymi skośnymi mierzymy po równoległym przesunięciu jednej z nich; należy do $(0^\circ, 90^\circ]$ .
Prosta jest równoległa do płaszczyzny, gdy jest równoległa do jakiejś prostej tej płaszczyzny.
Płaszczyzna przecina dwie płaszczyzny równoległe wzdłuż prostych równoległych.