Bryły podobne - stosunek pól k² i stosunek objętości k³

Q: Jak zmieni się objętość, gdy wszystkie wymiary zwiększymy dwa razy?

Wzrośnie osiem razy (2³). Pole powierzchni wzrośnie cztery razy (2²).

Q: Jaki jest stosunek objętości brył podobnych?

Sześcian skali podobieństwa: V'/V = k³. Stosunek pól to k², a stosunek długości - k.

Q: Jak obliczyć objętość stożka ściętego?

Jako różnicę dwóch stożków podobnych albo ze wzoru V = 1/3π H(R² + Rr + r²).

Klasa 4 liceum i technikum

Bryły podobne w skali k

$\frac{\text{długość}'}{\text{długość}} = k \qquad\qquad \frac{P'}{P} = k^2 \qquad\qquad \frac{V'}{V} = k^3$

$k = \sqrt{\frac{P'}{P}} = \sqrt[3]{\frac{V'}{V}}$

$\text{stożek ścięty: } V = \frac{1}{3}\pi H\left(R^2 + Rr + r^2\right)$

Dwie bryły są podobne w skali $k$ , gdy jedną można otrzymać z drugiej przez przekształcenie, które wszystkie odległości mnoży przez tę samą liczbę $k > 0$ . Wtedy wszystkie wymiary liniowe (krawędzie, promienie, wysokości, przekątne) rosną $k$ razy, pola powierzchni $k^2$ razy, a objętości $k^3$ razy. Dwukrotnie wyższy, szerszy i głębszy model waży osiem razy więcej.

Kiedy bryły są podobne

Podobieństwo w przestrzeni działa tak samo jak na płaszczyźnie: kształt się nie zmienia, zmienia się tylko rozmiar.

Wszystkie kule są podobne - skala to stosunek promieni. Tak samo wszystkie sześciany.
Dwa walce są podobne, gdy mają ten sam stosunek wysokości do promienia: $\frac{H'}{r'} = \frac{H}{r}$ . Walec $r = 2$ , $H = 5$ jest podobny do walca $r = 6$ , $H = 15$ (skala $3$ ), ale nie do walca $r = 6$ , $H = 5$ .
Dwa stożki są podobne, gdy mają ten sam kąt rozwarcia, czyli ten sam stosunek $\frac{H}{r}$ .
Dwa wielościany są podobne, gdy mają odpowiednie ściany podobne w tej samej skali i równe kąty między ścianami - np. ostrosłup i ostrosłup odcięty od niego płaszczyzną równoległą do podstawy.

Dlaczego pola k², a objętości k³

Weźmy walec o promieniu $r$ i wysokości $H$ i powiększmy go w skali $k$ : promień $kr$ , wysokość $kH$ .

$P' = 2\pi (kr)^2 + 2\pi (kr)(kH) = k^2\left(2\pi r^2 + 2\pi r H\right) = k^2 P,$

$V' = \pi (kr)^2 \cdot kH = k^3 \cdot \pi r^2 H = k^3 V.$

To samo wychodzi dla każdej bryły: w każdym wzorze na pole stoi iloczyn dwóch długości ( $r^2$ , $rH$ , $rl$ , $a^2$ ), a w każdym wzorze na objętość - iloczyn trzech ( $r^2 H$ , $R^3$ , $abc$ ). Każda długość mnoży się przez $k$ , więc pole mnoży się przez $k \cdot k$ , a objętość przez $k \cdot k \cdot k$ .

Walce podobne w skali k = 2: promień i wysokość dwa razy większe, pole powierzchni cztery razy, objętość osiem razy.

Przykład 1. Promienie dwóch kul są w stosunku $2 : 5$ . W jakim stosunku są ich pola i objętości?

Skala $k = \frac{5}{2}$ , więc pola są w stosunku $2^2 : 5^2 = 4 : 25$ , a objętości $2^3 : 5^3 = 8 : 125$ . Większa kula ma ponad $15$ razy większą objętość, choć promień ma tylko $2{,}5$ raza większy.

Przykład 2. Skala z objętości. Objętości dwóch stożków podobnych są w stosunku $27 : 64$ . W jakim stosunku są ich wysokości i pola powierzchni?

Krok 1. Skala. $k^3 = \frac{64}{27}$ , więc $k = \sqrt[3]{\frac{64}{27}} = \frac{4}{3}$ .

Krok 2. Wysokości i pola. Wysokości są w stosunku $3 : 4$ , a pola - $k^2$ , czyli $9 : 16$ .

Odpowiedź. $3 : 4$ i $9 : 16$ . Pułapka: stosunek pól to nie $27 : 64$ - z objętości najpierw wyciągamy pierwiastek trzeciego stopnia, a dopiero potem podnosimy do kwadratu.

Stożek przecięty płaszczyzną równoległą do podstawy

Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina od stożka mniejszy stożek podobny - ma ten sam wierzchołek i ten sam kąt rozwarcia. Skalą jest stosunek odległości płaszczyzny od wierzchołka do wysokości: $k = \frac{h}{H}$ . Pozostała część to stożek ścięty.

Płaszczyzna równoległa do podstawy, odległa o h od wierzchołka, odcina stożek podobny w skali k = h/H. Promień przekroju r′ = k · r.

Przykład 3. Stożek ma promień $3$ i wysokość $6$ . Przecięto go płaszczyzną równoległą do podstawy, odległą o $2$ od wierzchołka. Oblicz objętość odciętego stożka i stożka ściętego.

Krok 1. Skala. $k = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , więc promień przekroju $r' = \frac{1}{3} \cdot 3 = 1$ .

Krok 2. Objętości. Cały stożek: $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 6 = 18\pi$ . Mały stożek: $k^3 V = \frac{1}{27} \cdot 18\pi = \frac{2}{3}\pi$ (sprawdzenie: $\frac{1}{3}\pi \cdot 1 \cdot 2 = \frac{2}{3}\pi$ ).

Krok 3. Stożek ścięty. $18\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{52}{3}\pi$ .

Odpowiedź. $\frac{2}{3}\pi$ i $\frac{52}{3}\pi$ - części są w stosunku $1 : 26$ .

Odejmowanie stożków daje ogólny wzór na objętość stożka ściętego o promieniach $R$ (dół), $r$ (góra) i wysokości $H$ :

$V = \frac{1}{3}\pi H\left(R^2 + Rr + r^2\right).$

Dla przykładu 3: $R = 3$ , $r = 1$ , $H = 4$ , więc $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 4 \cdot (9 + 3 + 1) = \frac{52}{3}\pi$ - zgadza się.

To dlatego naczynie w kształcie stożka (kieliszek, lejek) napełnione „do połowy wysokości” zawiera tylko $\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}$ swojej pojemności.

Wielościany podobne

Te same prawa obowiązują dla graniastosłupów i ostrosłupów. Sześcian o krawędzi $2a$ ma pole $6 \cdot 4a^2 = 4 \cdot 6a^2$ i objętość $8a^3$ . Płaszczyzna równoległa do podstawy ostrosłupa odcina ostrosłup podobny: jeśli przetnie wysokość w połowie, odcięty ostrosłup ma podstawę $4$ razy mniejszą i objętość $8$ razy mniejszą od całego.

Przykład 4. Ostrosłup ma objętość $81$ . Płaszczyzna równoległa do podstawy przecina wysokość w odległości $\frac{2}{3}$ wysokości od wierzchołka. Oblicz objętość odciętego ostrosłupa.

$V' = \left(\frac{2}{3}\right)^3 \cdot 81 = \frac{8}{27} \cdot 81 = 24.$

Odpowiedź. $24$ - mimo że odcięty ostrosłup ma aż $\frac{2}{3}$ wysokości, zajmuje mniej niż jedną trzecią objętości.

Podobieństwo w praktyce

Makiety i modele. Model w skali $1 : 50$ ma pola $2500$ razy, a objętości $125\,000$ razy mniejsze niż oryginał.
Owoce i zakupy. Arbuz o średnicy $1{,}5$ raza większej ma $1{,}5^3 \approx 3{,}4$ raza więcej miąższu, ale tylko $1{,}5^2 = 2{,}25$ raza więcej skórki.
Zwierzęta. Masa rośnie jak $k^3$ , a przekrój kości jak $k^2$ - dlatego słoń nie może mieć proporcji mrówki, a małe zwierzęta szybciej tracą ciepło (więcej powierzchni na jednostkę objętości).

Najczęstsze pytania

Jak zmieni się objętość, gdy wszystkie wymiary zwiększymy dwa razy? Wzrośnie osiem razy ( $2^3$ ). Pole powierzchni wzrośnie cztery razy ( $2^2$ ).

Jaki jest stosunek objętości brył podobnych? Sześcian skali podobieństwa: $\frac{V'}{V} = k^3$ . Stosunek pól to $k^2$ , a stosunek długości - $k$ .

Czy wszystkie kule są podobne? Tak. Każde dwie kule są podobne, a skalą jest stosunek ich promieni. Podobne są też wszystkie sześciany, ale nie wszystkie walce ani stożki.

Jak obliczyć skalę podobieństwa z objętości? Wyciągnij pierwiastek trzeciego stopnia ze stosunku objętości: $k = \sqrt[3]{\frac{V'}{V}}$ . Dla objętości w stosunku $8 : 27$ skala wynosi $\frac{3}{2}$ (licząc od mniejszej bryły).

Jak obliczyć objętość stożka ściętego? Jako różnicę dwóch stożków podobnych albo ze wzoru $V = \frac{1}{3}\pi H\left(R^2 + Rr + r^2\right)$ .

Przećwicz

Bryły podobne - zadania → - skala z wysokości, pól i objętości, stożek przecięty płaszczyzną, kieliszek napełniony do części wysokości, makieta w skali, ostrosłup przecięty równolegle do podstawy i który arbuz bardziej się opłaca.
Kula i sfera → - zmiana promienia o procent.
Cały zestaw: bryły obrotowe - zadania z rozwiązaniami

Podsumowanie

Bryły podobne w skali $k$ : długości $\times k$ , pola $\times k^2$ , objętości $\times k^3$ .
Wszystkie kule i sześciany są podobne; walce i stożki - gdy mają ten sam stosunek $\frac{H}{r}$ .
Skala z pól: $\sqrt{\frac{P'}{P}}$ , z objętości: $\sqrt[3]{\frac{V'}{V}}$ .
Płaszczyzna równoległa do podstawy odcina od stożka (ostrosłupa) bryłę podobną w skali $\frac{h}{H}$ .
Stożek ścięty: $V = \frac{1}{3}\pi H\left(R^2 + Rr + r^2\right)$ .