Przekształcenia wykresu funkcji logarytmicznej - przesunięcia, symetrie, wartość bezwzględna

Klasa 4 liceum i technikum

Przekształcenie wykresu funkcji logarytmicznej to przesunięcie, odbicie albo złożenie z wartością bezwzględną, które z wykresu $y = \log_a x$ robi wykres nowej funkcji. Najważniejsza zasada: razem z wykresem przesuwa się asymptota pionowa, a z nią dziedzina - dlatego przy każdym przekształceniu zaczynamy od asymptoty.

Ogólne reguły przesuwania i odbijania wykresów dowolnych funkcji omawia rozdział klasy drugiej przekształcenia wykresów funkcji, a sam wykres $y = \log_a x$ - strona wykres funkcji logarytmicznej. Tutaj stosujemy te reguły do logarytmu i rozwiązujemy zadania, w których wykres jest narzędziem.

Przesunięcie o wektor [p, q]

Wykres $y = \log_a(x - p) + q$ powstaje z wykresu $y = \log_a x$ przez przesunięcie o $p$ w poziomie i o $q$ w pionie. Każdy punkt $(x, y)$ przechodzi w $(x + p, y + q)$, a asymptota $x = 0$ - w asymptotę $x = p$.

Przykład 1. Naszkicuj wykres $f(x) = \log_2(x - 2) + 1$ i podaj jego własności.

Krok 1. Wektor przesunięcia. $p = 2$, $q = 1$: wykres $\log_2 x$ przesuwamy o $2$ w prawo i o $1$ w górę.

Krok 2. Asymptota i dziedzina. Asymptota: $x = 2$. Warunek $x - 2 > 0$ daje $D = (2, +\infty)$. Zbiór wartości się nie zmienia: $\mathbb{R}$.

Krok 3. Punkty. Punkty $(1, 0)$, $(2, 1)$, $(4, 2)$ wykresu bazowego przechodzą w $(3, 1)$, $(4, 2)$, $(6, 3)$.

Krok 4. Miejsce zerowe i oś $OY$. $\log_2(x - 2) + 1 = 0 \iff \log_2(x - 2) = -1 \iff x - 2 = \frac{1}{2}$, więc $x = 2{,}5$. Wykres nie przecina osi $OY$, bo $0 \notin D$.

Odpowiedź. $D = (2, +\infty)$, $ZW = \mathbb{R}$, asymptota $x = 2$, miejsce zerowe $x = 2{,}5$, funkcja rosnąca.

Symetrie względem osi i początku układu

• $y = -\log_a x$ - odbicie względem osi $OX$. To ta sama funkcja co $y = \log_{1/a} x$, więc rosnąca zmienia się w malejącą.
• $y = \log_a(-x)$ - odbicie względem osi $OY$. Dziedzina: $(-\infty, 0)$. Na przykład $y = \log_2(-x)$ przechodzi przez $(-1, 0)$ i $(-2, 1)$.
• $y = -\log_a(-x)$ - odbicie względem początku układu (obie symetrie naraz).

Przy symetrii względem osi $OY$ asymptotą nadal jest $x = 0$, ale wykres leży teraz na lewo od niej.

Wykres y = |logₐx|

Wartość bezwzględna z całej funkcji zostawia część wykresu nad osią $OX$, a część spod osi odbija do góry. Dla $a > 1$ pod osią leży fragment dla $0 < x < 1$.

Własności $y = |\log_2 x|$: $D = (0, +\infty)$, $ZW = [0, +\infty)$, jedno miejsce zerowe $x = 1$, funkcja maleje na $(0, 1]$ i rośnie na $[1, +\infty)$.

Przykład 2 - liczba rozwiązań równania z parametrem. Ile rozwiązań ma równanie $|\log_2 x| = m$ w zależności od $m$?

Rozwiązania to punkty wspólne wykresu $y = |\log_2 x|$ i poziomej prostej $y = m$. Z rysunku:

• dla $m < 0$ - brak rozwiązań (wykres nie schodzi pod oś $OX$);
• dla $m = 0$ - jedno rozwiązanie, $x = 1$;
• dla $m > 0$ - dwa rozwiązania: $x = 2^m$ i $x = 2^{-m}$ (na rysunku dla $m = 1$: $x = 2$ i $x = \frac{1}{2}$).

Wykres y = logₐ|x|

Wartość bezwzględna z argumentu działa inaczej: dla $x > 0$ wzór się nie zmienia, a dla $x < 0$ funkcja przyjmuje te same wartości co w punkcie $-x$. Wykres to gałąź z prawej strony osi $OY$ plus jej lustrzane odbicie na lewą stronę.

Własności $y = \log_2|x|$: $D = \mathbb{R} \setminus \{0\}$, $ZW = \mathbb{R}$, miejsca zerowe $x = -1$ i $x = 1$, funkcja parzysta, asymptota pionowa $x = 0$ (z obu stron).

Wyznaczanie wzoru funkcji z wykresu

Asymptota daje przesunięcie poziome, a jeden punkt wykresu - pozostały parametr.

Przykład 3. Wykres $f(x) = \log_a(x + 1)$ przechodzi przez punkt $(2, 1)$. Wyznacz $a$. Podstawiamy: $\log_a 3 = 1$, czyli $a^1 = 3$, $a = 3$.

Przykład 4. Wykres $f(x) = \log_2(x + p) + q$ ma asymptotę $x = -3$ i miejsce zerowe $x = 1$. Wyznacz $p$ i $q$.

Krok 1. Asymptota to $x = -p$, więc $p = 3$.

Krok 2. $f(1) = \log_2 4 + q = 2 + q = 0$, więc $q = -2$.

Odpowiedź. $f(x) = \log_2(x + 3) - 2$.

Jak szkicować przekształcony wykres - schemat

1. Odczytaj z wzoru przesunięcie i odbicia (najpierw to, co dzieje się z argumentem, potem z wartością).
2. Narysuj asymptotę i zapisz dziedzinę.
3. Przekształć trzy punkty bazowe: $\left(\frac{1}{a}, -1\right)$, $(1, 0)$, $(a, 1)$.
4. Policz miejsce zerowe i ewentualne przecięcie z osią $OY$.
5. Połącz punkty krzywą, która przy asymptocie ucieka w nieskończoność.

Wykres możesz też sprawdzić w rysowniku funkcji z suwakami.

Najczęstsze pytania

Jak przesunąć wykres funkcji logarytmicznej? Wykres $y = \log_a(x - p) + q$ to wykres $y = \log_a x$ przesunięty o wektor $[p, q]$. Asymptota przechodzi z $x = 0$ na $x = p$, a dziedzina z $(0, +\infty)$ na $(p, +\infty)$.

Jaka jest asymptota wykresu y = log₂(x + 4)? Prosta $x = -4$, bo $x + 4 = x - (-4)$, czyli wykres przesunięto o $4$ w lewo. Dziedzina: $(-4, +\infty)$.

Czym różni się y = |log₂x| od y = log₂|x|? Pierwszy wykres ma dziedzinę $(0, +\infty)$ i wartości nieujemne - część spod osi $OX$ jest odbita do góry. Drugi ma dziedzinę $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, wartości dowolne i jest symetryczny względem osi $OY$.

Ile rozwiązań ma równanie |log₂x| = m? Żadnego dla $m < 0$, jedno ($x = 1$) dla $m = 0$ i dwa ($x = 2^m$, $x = 2^{-m}$) dla $m > 0$.

Czy przesunięty wykres logarytmu może przecinać oś OY? Tak, jeśli asymptota przesunęła się na lewo od osi $OY$. Na przykład $y = \log_2(x + 4)$ przecina oś $OY$ w punkcie $(0, 2)$.

Przećwicz

• Wykres funkcji logarytmicznej i jego przekształcenia - zadania → - szkice z asymptotą i dziedziną, wzór funkcji z wykresu, symetrie, wartość bezwzględna i liczba rozwiązań równania z parametrem.
• Przekształcenia wykresów - zadania → - te same reguły na innych funkcjach.

Podsumowanie

• $y = \log_a(x - p) + q$: przesunięcie o $[p, q]$, asymptota $x = p$, dziedzina $(p, +\infty)$.
• $-\log_a x$ - symetria względem $OX$; $\log_a(-x)$ - względem $OY$; $-\log_a(-x)$ - względem $O$.
• $|\log_a x|$ - wartości nieujemne, część spod osi odbita do góry.
• $\log_a |x|$ - dwie gałęzie symetryczne względem $OY$, miejsca zerowe $\pm 1$.
• Liczbę rozwiązań równania z parametrem odczytujemy z przecięć wykresu z prostą $y = m$.