Prawdopodobieństwo - definicja klasyczna, aksjomaty i własności z dowodami

Klasa 4 liceum i technikum

Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ to liczba $P(A)$ z przedziału $\langle 0, 1 \rangle$, która mówi, jak często $A$ zachodzi przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczenia. Gdy wszystkie wyniki doświadczenia są jednakowo prawdopodobne, liczymy ją z definicji klasycznej: $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$ - liczba wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników. Przy rzucie kostką prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej to $\tfrac{3}{6} = \tfrac{1}{2}$.

Definicja klasyczna i jej założenie

Definicję klasyczną sformułował w 1812 roku Pierre-Simon Laplace. Ma ona jedno założenie, o którym łatwo zapomnieć: wszystkie zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne. Dlatego w poprzedniej lekcji tak pilnowaliśmy, by $\Omega$ dla dwóch kostek miało $36$ par, a nie $11$ sum.

Przykład 1. Rzucamy dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma oczek wynosi $7$?

$|\Omega| = 36$, a sumie $7$ sprzyja $6$ par: $(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$. Zatem

$P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}.$

Gdyby za $\Omega$ przyjąć zbiór sum $\{2, \ldots, 12\}$, wyszłoby błędnie $\tfrac{1}{11}$ - bo sumy nie są jednakowo prawdopodobne.

Kiedy definicja klasyczna nie działa. Kostka jest sfałszowana: szóstka wypada z prawdopodobieństwem $\tfrac{1}{3}$, a każda z pozostałych liczb z prawdopodobieństwem $\tfrac{2}{15}$. Wyniki nie są jednakowo prawdopodobne, więc nie liczymy „$3$ z $6$”. Sumujemy prawdopodobieństwa wyników sprzyjających:

$P(\text{parzysta}) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} + \frac{1}{3} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}.$

Rozkład jest poprawny, bo wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do jedności: $5 \cdot \tfrac{2}{15} + \tfrac{1}{3} = \tfrac{10}{15} + \tfrac{5}{15} = 1$.

Prawdopodobieństwo a częstość

Jeśli rzucisz monetą $10$ razy, możesz dostać $7$ orłów - częstość $0{,}7$. Przy $1000$ rzutach częstość orłów będzie już zwykle bardzo bliska $0{,}5$. To nie przypadek, tylko twierdzenie: prawo wielkich liczb mówi, że częstość zdarzenia przy rosnącej liczbie niezależnych powtórzeń zbliża się do jego prawdopodobieństwa. Można to zobaczyć na własne oczy w symulatorze prawa wielkich liczb.

Częstość jest więc przybliżeniem prawdopodobieństwa z doświadczenia, a prawdopodobieństwo - wartością, do której częstość dąży. Częstość zmienia się z serii na serię, prawdopodobieństwo nie.

Aksjomaty prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna nie obejmuje kostek sfałszowanych ani zdarzeń o wynikach nierówno prawdopodobnych. Dlatego w 1933 roku Andriej Kołmogorow zdefiniował prawdopodobieństwo przez trzy aksjomaty - warunki, które musi spełniać każda funkcja $P$ przypisująca zdarzeniom liczby. Dla skończonego $\Omega$ wyglądają tak:

1. $P(A) \ge 0$ dla każdego zdarzenia $A$;
2. $P(\Omega) = 1$;
3. jeśli $A \cap B = \varnothing$, to $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Definicja klasyczna spełnia wszystkie trzy (sprawdź: $|A| \ge 0$, $\tfrac{|\Omega|}{|\Omega|} = 1$, a dla rozłącznych $|A \cup B| = |A| + |B|$). Kostka sfałszowana z przykładu wyżej też. Wszystkie własności poniżej wynikają wyłącznie z aksjomatów, więc działają w każdym modelu.

Własności prawdopodobieństwa z dowodami

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: $P(A') = 1 - P(A)$.

Dowód. $A$ i $A'$ wykluczają się, a $A \cup A' = \Omega$. Z aksjomatów 3 i 2: $P(A) + P(A') = P(\Omega) = 1$. $\blacksquare$

Z tej własności: $P(\varnothing) = 1 - P(\Omega) = 0$ oraz $P(A) \le 1$ (bo $P(A') \ge 0$).

Prawdopodobieństwo różnicy: $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$.

Dowód. $A$ rozkłada się na dwie rozłączne części: $A \setminus B$ i $A \cap B$. Z aksjomatu 3: $P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B)$. $\blacksquare$

Monotoniczność: jeśli $A \subset B$, to $P(A) \le P(B)$.

Dowód. Gdy $A \subset B$, to $A \cap B = A$, więc z poprzedniej własności $P(B \setminus A) = P(B) - P(A)$. Lewa strona jest nieujemna, zatem $P(B) \ge P(A)$. $\blacksquare$

Prawdopodobieństwo sumy: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Dowód. $A \cup B$ to suma rozłącznych zbiorów $A$ i $B \setminus A$. Z aksjomatu 3 i wzoru na różnicę: $P(A \cup B) = P(A) + P(B \setminus A) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. $\blacksquare$

Wzór na sumę to wersja „prawdopodobieństwowa” wzoru $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ z lekcji o działaniach na zdarzeniach.

Własności w zadaniach

Przykład 2 (zdarzenie przeciwne). Rzucamy kostką. Prawdopodobieństwo, że nie wypadnie szóstka: $P(A') = 1 - \tfrac{1}{6} = \tfrac{5}{6}$.

Przykład 3 (typowe zadanie maturalne). O zdarzeniach $A, B \subset \Omega$ wiadomo, że $P(A) = 0{,}7$, $P(B) = 0{,}6$ i $P(A \cup B) = 0{,}9$. Oblicz $P(A \cap B)$, $P(A \setminus B)$ oraz prawdopodobieństwo, że nie zajdzie żadne ze zdarzeń.

Krok 1. Ze wzoru na sumę: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}9 = 0{,}4$.

Krok 2. Różnica: $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3$.

Krok 3. „Żadne” to $(A \cup B)'$: $P = 1 - 0{,}9 = 0{,}1$.

Odpowiedź: $P(A \cap B) = 0{,}4$, $P(A \setminus B) = 0{,}3$, a żadne nie zajdzie z prawdopodobieństwem $0{,}1$. Takie dane da się zrealizować: wystarczy $\Omega$ z $10$ jednakowo prawdopodobnymi wynikami, z których $7$ należy do $A$, $6$ do $B$, a $4$ do obu.

Przykład 4 (sprzeczne dane). Czy mogą istnieć zdarzenia, dla których $P(A) = 0{,}3$, $P(B) = 0{,}4$ i $P(A \cap B) = 0{,}5$?

Nie: $A \cap B \subset A$, więc z monotoniczności $P(A \cap B) \le P(A) = 0{,}3$, a tu miałoby być $0{,}5$.

Przykład 5 (oszacowanie). Wiadomo, że $P(A) = 0{,}8$ i $P(B) = 0{,}7$. Jakie najmniejsze może być $P(A \cap B)$?

Ponieważ $P(A \cup B) \le 1$, ze wzoru na sumę: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) \ge 0{,}8 + 0{,}7 - 1 = 0{,}5$. Zdarzenia z tak dużymi prawdopodobieństwami muszą się „zachodzić na siebie” co najmniej w połowie $\Omega$.

Typowe błędy

• Definicja klasyczna dla wyników nierówno prawdopodobnych (sumy oczek, kostka sfałszowana).
• $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ dla zdarzeń, które się nie wykluczają - zapomniana część wspólna.
• Wynik większy od $1$ albo ujemny. Prawdopodobieństwo zawsze leży w $\langle 0, 1 \rangle$ - taki wynik oznacza błąd rachunkowy.
• Mylenie częstości z prawdopodobieństwem: $7$ orłów w $10$ rzutach nie znaczy, że $P(O) = 0{,}7$.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo? Dla jednakowo prawdopodobnych wyników: $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$, gdzie $|A|$ to liczba wyników sprzyjających, a $|\Omega|$ - liczba wszystkich wyników.

Czy prawdopodobieństwo może być większe od 1? Nie. Z aksjomatów wynika $0 \le P(A) \le 1$. Wynik większy od $1$ zawsze oznacza błąd.

Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego i niemożliwego? Zdarzenia pewnego $\Omega$ - $1$, zdarzenia niemożliwego $\varnothing$ - $0$.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?$P(A') = 1 - P(A)$. Jeśli szansa deszczu to $0{,}3$, szansa, że nie będzie padać, to $0{,}7$.

Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń?$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Dla zdarzeń wykluczających się ostatni składnik jest zerem.

Czym różni się częstość od prawdopodobieństwa? Częstość to wynik konkretnej serii doświadczeń (np. $7$ orłów na $10$ rzutów), a prawdopodobieństwo - stała liczba, do której częstość zbliża się przy coraz dłuższych seriach (prawo wielkich liczb).

Przećwicz

• Własności prawdopodobieństwa - zadania → - P(A’), P(A ∪ B) i P(A ∩ B) z danych, różnica zdarzeń, sprzeczne dane, oszacowania i dowód nierówności (zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku).
• Cały zestaw: rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami →

Podsumowanie

• Definicja klasyczna $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$ wymaga jednakowo prawdopodobnych wyników.
• Aksjomaty: $P(A) \ge 0$, $P(\Omega) = 1$, addytywność dla zdarzeń rozłącznych.
• $P(A') = 1 - P(A)$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, $P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B)$.
• Z $A \subset B$ wynika $P(A) \le P(B)$ - stąd $P(A \cap B) \le \min(P(A), P(B))$.
• Częstość przybliża prawdopodobieństwo coraz lepiej przy rosnącej liczbie prób.