Płaszczyzna w przestrzeni - jak ją wyznaczyć i położenie prostej względem płaszczyzny

Klasa 4 liceum i technikum

Stereometria to geometria przestrzeni trójwymiarowej: bada położenie punktów, prostych i płaszczyzn oraz bryły takie jak graniastosłupy i ostrosłupy. Płaszczyznę wyznaczają jednoznacznie trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej - dlatego stół na trzech nogach nigdy się nie kiwa, a na czterech czasem tak.

W planimetrii (geometrii płaskiej) wszystko działo się na jednej płaszczyźnie. Teraz płaszczyzn jest nieskończenie wiele, więc pierwsze pytanie brzmi: jak opisać jedną z nich i jak mogą się względem siebie układać proste i płaszczyzny. Krótkie zestawienie definicji jest też na stronie proste i płaszczyzny w przestrzeni, a tutaj przechodzimy przez to krok po kroku, z uzasadnieniami i przykładami w sześcianie.

Pojęcia pierwotne i aksjomaty

Punkt, prosta i płaszczyzna są pojęciami pierwotnymi - nie definiujemy ich, tylko opisujemy ich własności aksjomatami (zdaniami przyjmowanymi bez dowodu). W szkole wystarczą cztery:

1. Przez trzy punkty, które nie leżą na jednej prostej, przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna.
2. Jeżeli dwa punkty prostej leżą w płaszczyźnie, to cała prosta leży w tej płaszczyźnie.
3. Jeżeli dwie różne płaszczyzny mają punkt wspólny, to mają wspólną prostą przechodzącą przez ten punkt.
4. Istnieją cztery punkty, które nie leżą w jednej płaszczyźnie (przestrzeń nie jest „płaska”).

Płaszczyzny oznaczamy małymi literami greckimi ($\pi$, $\alpha$, $\rho$) albo wypisując trzy jej punkty, np. „płaszczyzna $ABC$”. Na rysunku płaszczyznę przedstawiamy jako równoległobok - to obraz prostokątnego fragmentu płaszczyzny widzianego z ukosa (o rysowaniu brył w ten sposób jest lekcja rysowanie figur w rzucie równoległym).

Jak wyznaczyć płaszczyznę

Z aksjomatów 1 i 2 wynikają cztery sposoby, każdy daje dokładnie jedną płaszczyznę:

• trzy punkty niewspółliniowe $A$, $B$, $C$ - to aksjomat 1;
• prosta $k$ i punkt $C$ spoza niej - wybieramy na $k$ dwa punkty $A$, $B$ i mamy trzy punkty niewspółliniowe, a z aksjomatu 2 cała prosta $k$ leży w płaszczyźnie $ABC$;
• dwie proste przecinające się w punkcie $P$ - bierzemy $P$ i po jednym innym punkcie z każdej prostej;
• dwie różne proste równoległe - z definicji leżą w jednej płaszczyźnie (patrz następna lekcja).

Dlaczego trzy punkty, a nie dwa? Przez dwa punkty przechodzi jedna prosta, a przez prostą - nieskończenie wiele płaszczyzn: wyobraź sobie kartkę obracającą się wokół zgięcia jak drzwi na zawiasach. Trzeci punkt spoza prostej „zatrzymuje” ten obrót.

Przykład 1. Ile płaszczyzn wyznaczają wierzchołki czworościanu (ostrosłupa trójkątnego)?

Wierzchołki $A$, $B$, $C$, $S$ nie leżą w jednej płaszczyźnie, więc każde trzy z nich są niewspółliniowe i wyznaczają płaszczyznę. Trójek jest tyle, ile sposobów wyboru 3 punktów z 4:

$\binom{4}{3} = 4.$

Odpowiedź. Cztery płaszczyzny - to płaszczyzny czterech ścian czworościanu.

Przykład 2. Danych jest 6 punktów, z których żadne cztery nie leżą w jednej płaszczyźnie. Ile płaszczyzn wyznaczają?

Każda płaszczyzna jest wyznaczona przez jedną trójkę punktów i różne trójki dają różne płaszczyzny (gdyby dwie trójki dawały tę samą, cztery punkty leżałyby w jednej płaszczyźnie):

$\binom{6}{3} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20.$

Odpowiedź. 20 płaszczyzn. Liczenie trójek omawia lekcja kombinacje.

Położenie prostej względem płaszczyzny

Prosta $l$ i płaszczyzna $\pi$ mogą mieć:

• co najmniej dwa punkty wspólne - wtedy z aksjomatu 2 prosta leży w płaszczyźnie: $l \subset \pi$;
• dokładnie jeden punkt wspólny $P$ - prosta przebija płaszczyznę, a $P$ nazywamy punktem przebicia;
• żadnego punktu wspólnego - prosta jest równoległa do płaszczyzny i z nią rozłączna.

Prostą leżącą w płaszczyźnie też zalicza się do równoległych (tak jak prostą pokrywającą się z drugą prostą na płaszczyźnie). Innych możliwości nie ma: jeśli punktów wspólnych jest więcej niż jeden, to od razu cała prosta leży w płaszczyźnie.

Na rysunku część prostej $m$, która znajduje się „pod” płaszczyzną, jest zasłonięta - rysujemy ją linią przerywaną. To ta sama konwencja co przy niewidocznych krawędziach brył.

Przykład 3. Sześcian $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ma krawędź $4$. Punkt $M$ jest środkiem krawędzi $CC_1$. Znajdź punkt przebicia prostej $D_1M$ z płaszczyzną podstawy $ABCD$ i oblicz jego odległość od wierzchołka $C$.

Prosta $D_1M$ leży w płaszczyźnie ściany $CDD_1C_1$, więc przebija płaszczyznę podstawy w punkcie $P$ prostej $DC$ (to krawędź przecięcia płaszczyzny ściany z płaszczyzną podstawy). Odcinki $CM$ i $DD_1$ są równoległe (oba pionowe), więc trójkąty $PCM$ i $PDD_1$ są podobne. Oznaczmy $x = |CP|$:

$\frac{|CM|}{|DD_1|} = \frac{|PC|}{|PD|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{4} = \frac{x}{x + 4} \quad\Longrightarrow\quad 2x + 8 = 4x \quad\Longrightarrow\quad x = 4.$

Odpowiedź. Prosta $D_1M$ przebija płaszczyznę $ABCD$ w punkcie $P$ na przedłużeniu krawędzi $DC$ za punkt $C$, $|CP| = 4$.

Szukanie punktu przebicia przez krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn to podstawowy chwyt przy konstrukcji przekrojów wielościanów.

Położenie dwóch płaszczyzn

Dwie płaszczyzny $\pi$ i $\rho$ mogą:

• pokrywać się ($\pi = \rho$);
• przecinać się - z aksjomatu 3 ich częścią wspólną jest prosta $k$, nazywana krawędzią przecięcia (krawędzią kąta dwuściennego);
• być równoległe i rozłączne - nie mają żadnego punktu wspólnego.

Płaszczyzny pokrywające się zalicza się do równoległych. Ważne: dwie różne płaszczyzny nie mogą mieć dokładnie jednego punktu wspólnego - jeśli mają jeden, to mają ich nieskończenie wiele, całą prostą.

Przykład 4. W sześcianie $ABCDA_1B_1C_1D_1$ wyznacz krawędź przecięcia płaszczyzn $ACC_1$ i $BDD_1$.

Wystarczą dwa punkty wspólne obu płaszczyzn. Punkt $O$ - środek podstawy $ABCD$ - leży na przekątnej $AC$ i na przekątnej $BD$, więc należy do obu płaszczyzn. Tak samo środek $O_1$ górnej podstawy leży na $A_1C_1$ i na $B_1D_1$. Dwie różne płaszczyzny mające dwa wspólne punkty przecinają się wzdłuż prostej przez te punkty.

Odpowiedź. Krawędzią przecięcia jest prosta $OO_1$ łącząca środki podstaw - oś sześcianu.

Jak to czytać na bryłach

W zadaniach rzadko spotkasz „gołe” płaszczyzny - najczęściej są to płaszczyzny ścian i przekrojów wielościanu. Kilka spostrzeżeń, które przydają się od razu:

• płaszczyzna ściany sześcianu jest wyznaczona przez trzy jej wierzchołki, np. $ABB_1$;
• prosta przechodząca przez dwa punkty jednej ściany leży w płaszczyźnie tej ściany;
• dwie sąsiednie ściany przecinają się wzdłuż wspólnej krawędzi, np. ściany $ABCD$ i $BCC_1B_1$ wzdłuż prostej $BC$;
• ściany przeciwległe (np. $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1$) leżą w płaszczyznach równoległych.

Te fakty wykorzystujemy w następnej lekcji, gdzie zajmujemy się prostymi skośnymi i równoległością.

Najczęstsze pytania

Ile punktów wyznacza płaszczyznę? Trzy, pod warunkiem że nie leżą na jednej prostej. Dwa punkty wyznaczają tylko prostą, a przez prostą przechodzi nieskończenie wiele płaszczyzn.

Ile płaszczyzn przechodzi przez jedną prostą? Nieskończenie wiele - tworzą „pęk płaszczyzn” obracających się wokół tej prostej. Przez prostą i punkt spoza niej przechodzi już dokładnie jedna płaszczyzna.

Czy dwie płaszczyzny mogą mieć tylko jeden punkt wspólny? Nie. Dwie różne płaszczyzny albo nie mają punktów wspólnych, albo przecinają się wzdłuż całej prostej.

Co to jest punkt przebicia? Jedyny punkt wspólny prostej i płaszczyzny, gdy prosta nie leży w płaszczyźnie i nie jest do niej równoległa.

Jakie jest wzajemne położenie prostej i płaszczyzny? Prosta leży w płaszczyźnie, przebija ją w jednym punkcie albo jest do niej równoległa i nie ma z nią punktów wspólnych.

Dlaczego stół na trzech nogach się nie kiwa? Bo końce trzech nóg to trzy punkty niewspółliniowe, a przez takie punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna - podłoga zawsze ją „znajdzie”. Końce czterech nóg nie muszą leżeć w jednej płaszczyźnie.

Przećwicz

• Proste i płaszczyzny w przestrzeni → - położenie prostych i płaszczyzn w sześcianie i prostopadłościanie, proste skośne, prostopadłość, rzut i trzy proste prostopadłe.

Wszystkie typy: graniastosłupy i ostrosłupy - zadania z rozwiązaniami.

Podsumowanie

• Punkt, prosta i płaszczyzna to pojęcia pierwotne opisane aksjomatami.
• Płaszczyznę wyznaczają: trzy punkty niewspółliniowe, prosta i punkt spoza niej, dwie proste przecinające się albo dwie proste równoległe.
• Prosta leży w płaszczyźnie, przebija ją w jednym punkcie albo jest do niej równoległa.
• Dwie płaszczyzny pokrywają się, przecinają się wzdłuż prostej albo są równoległe.
• $n$ punktów, z których żadne cztery nie są współpłaszczyznowe, wyznacza $\binom{n}{3}$ płaszczyzn.