Rachunek prawdopodobieństwa - kurs dla liceum i technikum, klasa 4

Klasa 4 liceum i technikum

Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki, który opisuje liczbami zjawiska losowe: rzut kostką, losowanie kuli z urny, wynik testu medycznego, awarię urządzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia to liczba z przedziału $\langle 0, 1 \rangle$ - im bliżej $1$, tym częściej zdarzenie zachodzi przy wielokrotnym powtarzaniu doświadczenia. W szkole najczęściej liczymy je z definicji klasycznej: $P(A) = \tfrac{|A|}{|\Omega|}$, czyli liczba wyników sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich wyników.

W tym dziale idziemy od pojęć do narzędzi. Najpierw ustalamy, czym jest doświadczenie losowe, zbiór zdarzeń elementarnych $\Omega$ i zdarzenie, potem uczymy się działań na zdarzeniach i własności prawdopodobieństwa. Dalej liczymy prawdopodobieństwa w zadaniach z kostkami, kartami i kulami, rysujemy drzewka dla doświadczeń wieloetapowych, poznajemy prawdopodobieństwo warunkowe, wzór na prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa. Na końcu niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego (powtarzane próby) i wartość oczekiwana - średnia wygrana, która mówi, czy gra się opłaca.

Czego nauczysz się w tym dziale:

• dobierać model kombinatoryczny i liczyć $|\Omega|$ oraz $|A|$;
• opisywać doświadczenie losowe zbiorem $\Omega$ i zapisywać zdarzenia jako podzbiory $\Omega$;
• wykonywać działania na zdarzeniach: sumę, iloczyn, różnicę i zdarzenie przeciwne;
• stosować definicję klasyczną i własności prawdopodobieństwa, m.in. $P(A') = 1 - P(A)$;
• liczyć prawdopodobieństwo w doświadczeniach wieloetapowych za pomocą drzewka;
• obliczać prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite oraz odwracać warunek wzorem Bayesa;
• sprawdzać, czy zdarzenia są niezależne, i liczyć niezawodność układów;
• stosować schemat Bernoulliego i obliczać wartość oczekiwaną zmiennej losowej.

Potrzebna jest kombinatoryka z klasy 3 - pierwsza lekcja to krótkie powtórzenie, które pokazuje, jak jej wzory służą do liczenia $|\Omega|$. Krótkie zestawienie pojęć jest też na stronie rachunek prawdopodobieństwa - klasyczna definicja i przykłady, a ciekawsze twierdzenia z dowodami w dziale Twierdzenia: twierdzenie Bayesa, paradoks urodzin i problem Monty Halla z symulatorem.

Do lekcji są zadania z pełnym rozwiązaniem krok po kroku - rachunek prawdopodobieństwa - zadania z rozwiązaniami: od wypisywania $\Omega$ po wartość oczekiwaną.