matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator logarytmów krok po kroku

Logarytm log⁡ab\log_a b to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę aa, żeby otrzymać liczbę bb: log⁡ab=c  ⟺  ac=b\log_a b = c \iff a^c = b, przy założeniach a>0a > 0, a≠1a \ne 1 i b>0b > 0. Na przykład log⁡28=3\log_2 8 = 3, bo 23=82^3 = 8.

Ten kalkulator logarytmów liczy logarytm o dowolnej podstawie - także z ułamka, pierwiastka i liczby e - i rozpisuje rozwiązanie krok po kroku tak, jak w zeszycie: z definicji, przez potęgi wspólnej podstawy. Podaje wynik dokładny (log⁡24=4\log_{\sqrt{2}} 4 = 4, log⁡933=16\log_9 \sqrt[3]{3} = \tfrac{1}{6}), a gdy logarytm jest niewymierny - uzasadnienie, oszacowanie i przybliżenie. Wyznacza też podstawę albo liczbę logarytmowaną z równania i zamienia podstawę logarytmu.

Oblicz logarytm logₐ b

Wynik dokładny, gdy istnieje (np. log₄ 1/8 = −3/2), a gdy jest niewymierny - przybliżenie ze wzoru na zamianę podstawy i oszacowanie między liczbami całkowitymi. Puste pole podstawy oznacza logarytm dziesiętny.

Przykłady z lekcji:

log4 1/8 = −3/2

  1. Sprawdzamy założenia: a = 4 > 0 ✓, a ≠ 1 ✓, b = 1/8 > 0 ✓.
  2. Z definicji logarytmu: log4 1/8 = x ⇔ 4x = 1/8.
  3. Zapisujemy obie liczby jako potęgi liczby 2: 4 = 22 oraz 1/8 = 1/23 = 2−3.
  4. Podstawiamy do równania: (22)x = 22x = 2−3.
  5. Potęgi tej samej podstawy są równe tylko przy równych wykładnikach: 2x = −3, więc x = −3 : 2 = −3/2.
  6. Sprawdzenie: 4−3/2 = 2−3 = 1/8 ✓

Wyznacz niewiadomą z logₐ b = c

Zaznacz, czego szukasz: podstawy, liczby logarytmowanej albo wartości logarytmu. Kalkulator przepisuje równanie z definicji na potęgę i pilnuje założeń.

Szukam (x):
Przykłady z lekcji:

x = 5

  1. Sprawdzamy założenia: b = 25 > 0 ✓. Szukana podstawa musi spełniać x > 0 i x ≠ 1.
  2. Z definicji logarytmu: logx 25 = 2 ⇔ x2 = 25.
  3. Wykładnik 2 jest parzysty, więc równanie spełniają dwie liczby przeciwne: x = 5 albo x = −5. Podstawa logarytmu musi być dodatnia, więc odrzucamy x = −5.
  4. Podnosimy obie strony do potęgi 1/2 (odwrotność wykładnika): x = 251/2.
  5. Zapisujemy 25 jako potęgę liczby 5: 25 = 52, więc x = (52)1/2 = 5.
  6. x = 5 spełnia warunki x > 0 i x ≠ 1. Sprawdzenie: 52 = 25 ✓

Zamiana podstawy logarytmu

Logarytm o dowolnej podstawie przez logarytmy o podstawie c - dziesiętne (jak na kalkulatorze), naturalne albo inne. Gdy iloraz wychodzi dokładnie, kalkulator wskaże najwygodniejszą podstawę.

nowa podstawa:
Przykłady z lekcji:

log2 5 ≈ 2,3219

  1. Sprawdzamy założenia: a = 2 > 0 ✓, a ≠ 1 ✓, b = 5 > 0 ✓, nowa podstawa c = 10 > 0 i c ≠ 1 ✓.
  2. Wzór na zamianę podstawy: log2 5 = log 5 / log 2 (log bez podstawy to logarytm dziesiętny).
  3. Obliczamy oba logarytmy (kalkulatorem): log 5 ≈ 0,6990 oraz log 2 ≈ 0,3010.
  4. Dzielimy: log2 5 ≈ 0,6990 / 0,3010 ≈ 2,3219.
  5. Wynik jest liczbą niewymierną - dokładnie zapisujemy go jako log2 5.

Jak wpisywać liczby: całkowite (8), ułamki zwykłe (1/8), dziesiętne z przecinkiem lub kropką (0,01), pierwiastki (√2, 2√2, ∛4 - albo sqrt(2)), potęgi z daszkiem (2^(1/3), 2^-3) i liczbę Eulera (e, e^2, √e). Kolejność działań jak w matematyce: 2^1/3 to (2¹)/3, a pierwiastek trzeciego stopnia z dwójki to 2^(1/3) albo ∛2. Już pierwszy krok rozwiązania pokazuje, jak kalkulator odczytał wpisane liczby.

Jak obliczyć logarytm - metoda krok po kroku

Logarytm - definicja i wzory, z których korzysta kalkulator

log⁡ab=c  ⟺  ac=b(a>0, a≠1, b>0)\log_a b = c \iff a^c = b \qquad (a > 0,\ a \ne 1,\ b > 0)
log⁡a1=0log⁡aa=1alog⁡ab=b\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1 \qquad a^{\log_a b} = b
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca(c>0, c≠1)\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \qquad (c > 0,\ c \ne 1)
log⁡anbm=mnlog⁡ab\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b

Każdy logarytm liczymy, odpowiadając na jedno pytanie: do której potęgi podnieść podstawę, żeby otrzymać liczbę logarytmowaną? Kalkulator robi to w czterech krokach:

  1. sprawdza założenia: podstawa dodatnia i różna od 1, liczba logarytmowana dodatnia;
  2. zapisuje log⁡ab=x\log_a b = x jako potęgę ax=ba^x = b (definicja);
  3. przedstawia obie liczby jako potęgi tej samej, możliwie małej podstawy - ułamek 18\tfrac{1}{8} to 2−32^{-3}, a pierwiastek 43\sqrt[3]{4} to 22/32^{2/3};
  4. porównuje wykładniki - potęgi tej samej podstawy są równe tylko przy równych wykładnikach.
log⁡418=x  ⟺  4x=18  ⟺  22x=2−3  ⟺  x=−32\log_4 \tfrac{1}{8} = x \iff 4^x = \tfrac{1}{8} \iff 2^{2x} = 2^{-3} \iff x = -\tfrac{3}{2}

Gdy liczb nie da się zapisać jako potęg wspólnej podstawy, logarytm jest liczbą niewymierną. Kalkulator pokazuje wtedy, dlaczego tak jest (rozkład na czynniki pierwsze), szacuje wynik między dwiema liczbami całkowitymi i liczy przybliżenie ze wzoru na zamianę podstawy - tak jak robi się to na zwykłym kalkulatorze z przyciskami log i ln (zobacz log₂ 10).

Tabela potęg - najczęstsze logarytmy

Logarytm to wykładnik, więc tabelę logarytmów czyta się z tabeli potęg: w wierszu k stoi liczba, której logarytm przy podstawie z nagłówka kolumny wynosi k. Na przykład w kolumnie 2k i wierszu 5 jest 32, więc log₂ 32 = 5; w kolumnie 10k i wierszu −2 jest 0,01, więc log 0,01 = −2.

k2k3k5k10k
−31/81/271/1250,001
−21/41/91/250,01
−11/21/31/50,1
01111
1/2√2√3√5√10
123510
24925100
38271251000
4168162510 000
5322433125100 000
66472915 6251 000 000

Zamiana podstawy logarytmu

Kalkulatory naukowe mają zwykle tylko dwa logarytmy: dziesiętny (przycisk log) i naturalny (przycisk ln, podstawa e ≈ 2,718). Logarytm o innej podstawie liczy się ze wzoru log⁡ab=log⁡blog⁡a\log_a b = \frac{\log b}{\log a}: log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,6990 / 0,3010 ≈ 2,32 (ten przykład w kalkulatorze). Ten sam wzór pozwala liczyć dokładnie, gdy obie liczby są potęgami jednej liczby: log₄ 8 = log₂ 8 / log₂ 4 = 3/2 (zobacz). Wyprowadzenie wzoru jest w lekcji prawa logarytmów i zamiana podstawy.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć logarytm?

Zapisz log_a b = x i przepisz to z definicji jako a^x = b. Potem przedstaw obie liczby jako potęgi tej samej podstawy i porównaj wykładniki. Na przykład log₄ 1/8: 4 = 2², 1/8 = 2⁻³, więc 2^(2x) = 2^(−3), stąd 2x = −3 i x = −3/2.

Jak obliczyć logarytm o dowolnej podstawie na kalkulatorze?

Ze wzoru na zamianę podstawy: log_a b = log b / log a (albo ln b / ln a). Na przykład log₂ 5 = log 5 / log 2 ≈ 0,6990 / 0,3010 ≈ 2,32. Kalkulator naukowy ma zwykle tylko przyciski log (podstawa 10) i ln (podstawa e).

Kiedy logarytm nie istnieje?

Gdy podstawa nie jest dodatnia, gdy podstawa równa się 1 albo gdy liczba logarytmowana nie jest dodatnia. Dlatego log₂ 0, log₂ (−4), log₁ 5 i log₋₂ 8 nie istnieją. Warunki to a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Czy logarytm może być ujemny?

Tak - ujemny wynik oznacza ujemny wykładnik. Przy podstawie większej od 1 logarytm liczby z przedziału (0, 1) jest ujemny: log₂ 1/8 = −3, bo 2⁻³ = 1/8. Ujemna nie może być tylko liczba logarytmowana.

Kiedy wynik logarytmu jest liczbą niewymierną?

Gdy liczby b nie da się zapisać jako potęgi podstawy a o wymiernym wykładniku. log₂ 10 jest niewymierny, bo 10 = 2 · 5, a piątki nie ma w rozkładzie dwójki. Taki logarytm zostawia się w postaci log₂ 10 albo szacuje: 2³ < 10 < 2⁴, więc 3 < log₂ 10 < 4 (dokładniej ≈ 3,32).

Jak obliczyć podstawę logarytmu, na przykład gdy log_x 25 = 2?

Z definicji x² = 25, czyli x = 5 albo x = −5. Podstawa logarytmu musi być dodatnia i różna od 1, więc zostaje x = 5. Gdy wykładnik jest ułamkiem, podnosimy obie strony do potęgi odwrotnej: z x^(3/2) = 8 wynika x = 8^(2/3) = 4.

Jak wpisać ułamek, pierwiastek albo liczbę e do kalkulatora logarytmów?

Ułamek przez kreskę: 1/8. Ułamek dziesiętny z przecinkiem albo kropką: 0,01. Pierwiastek znakiem √ lub ∛ (są przyciski) albo słowem sqrt: √2, 2√2, ∛4. Potęgę daszkiem: 2^(1/3), 2^-3. Liczbę Eulera literą e: e, e^2, √e.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/funkcja-logarytmiczna/kalkulator-logarytmow · matematyka.net