Kalkulator ciągu arytmetycznego i geometrycznego

Q: Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego, znając dwa wyrazy?

Odejmij wyrazy i podziel przez różnicę ich numerów: r = (aₘ − aₖ) / (m − k). Dla a₃ = 11 i a₈ = 31 jest r = (31 − 11) / 5 = 4, a potem a₁ = a₃ − 2r = 3, więc aₙ = 4n − 1.

Q: Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego z dwóch wyrazów?

Podziel późniejszy wyraz przez wcześniejszy: aₘ / aₖ = qᵐ⁻ᵏ, i wyciągnij pierwiastek stopnia m − k. Dla a₂ = 6 i a₅ = 48 jest q³ = 8, więc q = 2. Gdy m − k jest parzyste, są dwa rozwiązania, np. q² = 9 daje q = 3 albo q = −3.

Q: Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny?

Policz różnice kolejnych wyrazów - jeśli są równe, ciąg jest arytmetyczny. Policz ilorazy kolejnych wyrazów - jeśli są równe, ciąg jest geometryczny. Ciąg 1, 4, 9, 16 nie jest żadnym z nich (różnice 3, 5, 7, ilorazy 4, 9/4, 16/9).

Q: Jak obliczyć sumę n wyrazów ciągu geometrycznego?

Dla q ≠ 1: Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q). Dla 2, 6, 18, … i n = 7: S₇ = 2 · (1 − 3⁷) / (1 − 3) = 2186. Dla q = 1 wszystkie wyrazy są równe i Sₙ = n · a₁.

Q: Kiedy można policzyć sumę szeregu geometrycznego?

Tylko gdy |q| < 1 - wtedy S = a₁ / (1 − q), np. 8 + 4 + 2 + 1 + … = 8 / (1 − 1/2) = 16. Przy |q| ≥ 1 (i a₁ ≠ 0) szereg jest rozbieżny i wzoru nie wolno użyć.

Q: Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu?

Przyrównaj wzór ogólny do tej liczby i wyznacz n. Liczba należy do ciągu tylko wtedy, gdy n wyjdzie liczbą naturalną dodatnią. W ciągu aₙ = 4n − 1 liczba 199 to wyraz nr 50, a 200 nie jest wyrazem, bo n = 201/4.

Q: Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny albo równy zero?

Tak. Przy q < 0 wyrazy mają znaki na przemian (5, −10, 20, …) i ciąg nie jest monotoniczny. Przy q = 0 po pierwszym wyrazie są same zera (5, 0, 0, …).

Kalkulator ciągów wyznacza ciąg arytmetyczny albo geometryczny z dowolnych dwóch informacji - pierwszego wyrazu i różnicy (ilorazu), dwóch wyrazów o podanych numerach albo kilku pierwszych wyrazów - i podaje różnicę r lub iloraz q, wzór ogólny aₙ, wyraz o wybranym numerze, sumę Sₙ, monotoniczność i sumę szeregu geometrycznego. Każdy wynik jest rozpisany krok po kroku, w ułamkach dokładnych, tymi samymi metodami co lekcje działu ciągi liczbowe. Sprawdzi też, który wyraz ciągu jest równy danej liczbie - albo że żaden.

Ciąg: arytmetyczny geometryczny

Znam: a₁ i r dwa wyrazy pierwsze wyrazy

a =

Małe pole to numer wyrazu: a₁ i a_n, a₃ i a₈ - dowolne dwa różne numery.

Numer wyrazu n (i liczba wyrazów sumy) Który wyraz jest równy X? (opcjonalnie)

Liczby wpisuj jako całkowite (−3), dziesiętne (2,5) albo ułamki (1/3). Wynik przelicza się na bieżąco.

Ciąg arytmetyczny:

Ciąg geometryczny:

Szereg i przypadki szczególne:

Ciąg arytmetyczny
Różnica r	4
Pierwszy wyraz a₁	3
Wzór ogólny	aₙ = 4n − 1
Wyraz a₁₀	39
Suma S₁₀	210
Monotoniczność	rosnący
Wyraz równy 199	a₅₀ = 199

Pierwsze wyrazy i sumy
n	aₙ	Sₙ
1	3	3
2	7	10
3	11	21
4	15	36
5	19	55
6	23	78
7	27	105
8	31	136
…	…	…
10	39	210

Rozwiązanie krok po kroku

Różnica i pierwszy wyraz

r = 4, a₁ = 3

Od a₃ do a₈ jest 8 − 3 = 5 kroków, a każdy krok dodaje r: a₈ = a₃ + 5r.
31 = 11 + 5r ⇔ 5r = 31 − 11 = 20 ⇔ r = 20 : 5 = 4.
Cofamy się do a₁ o 2 kroki: a₁ = a₃ − 2r = 11 − 2 · 4 = 3.

Wzór ogólny ciągu

aₙ = 4n − 1

Wzór na n-ty wyraz: aₙ = a₁ + (n − 1) · r.
aₙ = 3 + (n − 1) · 4 = 4n − 1
Kontrola: dla n = 1 wzór daje 4 · 1 − 1 = 3 = a₁.

Wyraz o numerze 10

a₁₀ = 39

a₁₀ = a₁ + (10 − 1) · r = 3 + 9 · 4 = 3 + 36 = 39

Suma 10 początkowych wyrazów

S₁₀ = 210

Wzór: Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n, przy czym a₁₀ = 39 (obliczone wyżej).
S₁₀ = (3 + 39) / 2 · 10 = 21 · 10 = 210
Sprawdzenie drugim wzorem: S₁₀ = (2a₁ + (10 − 1) · r) / 2 · 10 = (2 · 3 + 9 · 4) / 2 · 10 = 42 / 2 · 10 = 210

Monotoniczność

ciąg rosnący

Różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała: aₙ₊₁ − aₙ = r = 4.
r > 0, więc każdy wyraz jest większy od poprzedniego - ciąg jest rosnący.

Który wyraz jest równy 199?

a₅₀ = 199

Szukamy n, dla którego aₙ = 199: 3 + (n − 1) · 4 = 199.
(n − 1) · 4 = 199 − 3 = 196, więc n − 1 = 196 : 4 = 49.
n = 49 + 1 = 50.
n = 50 jest liczbą naturalną: 199 to wyraz nr 50, a₅₀ = 199.

Wzory, z których korzysta kalkulator

Ciąg arytmetyczny i geometryczny - wzory

Ciąg arytmetyczny (różnica $r = a_{n+1} - a_n$ ):

a_n = a_1 + (n - 1)r \qquad a_m = a_k + (m - k)r

S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n

Ciąg geometryczny (iloraz $q = \frac{a_{n+1}}{a_n}$ ):

a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1} \qquad a_m = a_k \cdot q^{\,m-k}

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \ \ (q \neq 1), \qquad S_n = n \cdot a_1 \ \ (q = 1)

Szereg geometryczny (suma nieskończenie wielu wyrazów):

S = \frac{a_1}{1 - q} \quad \text{dla } |q| < 1

Jak wyznaczyć ciąg arytmetyczny z dwóch wyrazów

Od wyrazu aₖ do aₘ jest m − k kroków, a każdy dodaje różnicę r, więc aₘ = aₖ + (m − k)r. Dla a₃ = 11 i a₈ = 31: 31 = 11 + 5r, czyli r = 4. Pierwszy wyraz dostajemy, cofając się o dwa kroki: a₁ = 11 − 2 · 4 = 3, a wzór ogólny to aₙ = 3 + (n − 1) · 4 = 4n − 1. Ten przykład kalkulator pokazuje od razu po otwarciu strony - razem z odpowiedzią, że 199 to wyraz nr 50. Pełne omówienie: lekcja ciąg arytmetyczny.

Iloraz ciągu geometrycznego - kiedy są dwa ciągi

W ciągu geometrycznym od aₖ do aₘ mnożymy przez q dokładnie m − k razy, więc qᵐ⁻ᵏ = aₘ / aₖ. Przy nieparzystym wykładniku jest jedno rozwiązanie (a₂ = 6, a₅ = 48: q³ = 8, q = 2). Przy parzystym są dwa: a₃ = 4 i a₅ = 36 dają q² = 9, czyli q = 3 albo q = −3 - kalkulator liczy wtedy oba ciągi (zobacz ten przykład). Gdy wyjdzie liczba ujemna pod pierwiastkiem parzystego stopnia (q² = −4), takiego ciągu nie ma. A gdy iloraz jest niewymierny, np. q² = 2, kalkulator liczy dalej dokładnie, z pierwiastkiem: q = √2 albo q = −√2 (przykład). Dokładnie liczy pierwiastki do szóstego stopnia; wyższe zgłasza jako ograniczenie.

Suma ciągu i suma szeregu geometrycznego

Sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego daje wzór Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n (1 + 2 + … + 100 = 5050). W ciągu geometrycznym Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q), a przy q = 1 po prostu Sₙ = n · a₁. Gdy |q| < 1, sumy częściowe zbliżają się do liczby S = a₁ / (1 − q) - to suma szeregu geometrycznego, np. 8 + 4 + 2 + 1 + … = 16 (w kalkulatorze). Tak samo zamienia się ułamek okresowy na zwykły: 0,(27) = 0,27 + 0,0027 + … = 3/11 (przykład). Więcej: lekcje suma ciągu arytmetycznego, suma ciągu geometrycznego i szereg geometryczny.

Który wyraz ciągu jest równy danej liczbie

Wpisz liczbę w pole „Który wyraz jest równy X?”. Kalkulator przyrówna wzór ogólny do tej liczby i wyznaczy n. Liczba należy do ciągu tylko wtedy, gdy n wyjdzie liczbą naturalną dodatnią: w ciągu 4n − 1 liczba 199 to a₅₀, ale 200 nie jest wyrazem (n = 201/4). W ciągu geometrycznym 3, 6, 12, … liczba 20 też nie jest wyrazem, bo leży między a₃ = 12 i a₄ = 24. Szczególne przypadki - q = 1, q = −1, q = 0, ciąg stały - kalkulator rozpoznaje i opisuje osobno.

Najczęstsze pytania

Jak obliczyć różnicę ciągu arytmetycznego, znając dwa wyrazy?

Odejmij wyrazy i podziel przez różnicę ich numerów: r = (aₘ − aₖ) / (m − k). Dla a₃ = 11 i a₈ = 31 jest r = (31 − 11) / 5 = 4, a potem a₁ = a₃ − 2r = 3, więc aₙ = 4n − 1.

Jak obliczyć iloraz ciągu geometrycznego z dwóch wyrazów?

Podziel późniejszy wyraz przez wcześniejszy: aₘ / aₖ = qᵐ⁻ᵏ, i wyciągnij pierwiastek stopnia m − k. Dla a₂ = 6 i a₅ = 48 jest q³ = 8, więc q = 2. Gdy m − k jest parzyste, są dwa rozwiązania, np. q² = 9 daje q = 3 albo q = −3.

Jak sprawdzić, czy ciąg jest arytmetyczny albo geometryczny?

Policz różnice kolejnych wyrazów - jeśli są równe, ciąg jest arytmetyczny. Policz ilorazy kolejnych wyrazów - jeśli są równe, ciąg jest geometryczny. Ciąg 1, 4, 9, 16 nie jest żadnym z nich (różnice 3, 5, 7, ilorazy 4, 9/4, 16/9).

Jak obliczyć sumę n wyrazów ciągu geometrycznego?

Dla q ≠ 1: Sₙ = a₁ · (1 − qⁿ) / (1 − q). Dla 2, 6, 18, … i n = 7: S₇ = 2 · (1 − 3⁷) / (1 − 3) = 2186. Dla q = 1 wszystkie wyrazy są równe i Sₙ = n · a₁.

Kiedy można policzyć sumę szeregu geometrycznego?

Tylko gdy |q| < 1 - wtedy S = a₁ / (1 − q), np. 8 + 4 + 2 + 1 + … = 8 / (1 − 1/2) = 16. Przy |q| ≥ 1 (i a₁ ≠ 0) szereg jest rozbieżny i wzoru nie wolno użyć.

Jak sprawdzić, czy liczba jest wyrazem ciągu?

Przyrównaj wzór ogólny do tej liczby i wyznacz n. Liczba należy do ciągu tylko wtedy, gdy n wyjdzie liczbą naturalną dodatnią. W ciągu aₙ = 4n − 1 liczba 199 to wyraz nr 50, a 200 nie jest wyrazem, bo n = 201/4.

Czy iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny albo równy zero?

Tak. Przy q < 0 wyrazy mają znaki na przemian (5, −10, 20, …) i ciąg nie jest monotoniczny. Przy q = 0 po pierwszym wyrazie są same zera (5, 0, 0, …).

Przećwicz i doczytaj

Ciąg arytmetyczny - różnica, wzór na n-ty wyraz, ciąg z dwóch wyrazów
Ciąg geometryczny - iloraz, wzór aₙ = a₁ · qⁿ⁻¹, dwa ciągi przy parzystej potędze
Suma ciągu arytmetycznego i suma ciągu geometrycznego
Szereg geometryczny - warunek |q| < 1 i ułamki okresowe
Ciąg arytmetyczny i geometryczny - zadania łączące oba rodzaje
Ciągi - zadania z rozwiązaniami, m.in. ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny, suma ciągu arytmetycznego, suma ciągu geometrycznego, szereg geometryczny